A Preconditioned Iterative Method for Solving Systems of Nonlinear Equations Having Unknown Multiplicity

Ahmad, Fayyaz; Bhutta, Toseef Akhter; Shoaib, Umar; Zaka Ullah, Malik; Alshomrani, Ali Saleh; Ahmad, Shamshad; Ahmad, Shahid

doi:10.3390/a10010017

开放式访问第条

求解具有未知多重性的非线性方程组的预处理迭代法

¹

意大利科莫22100，Via Valleggio 11，意大利安省大学，阿尔塔技术科学研究院

²

西班牙巴塞罗那爱德华·马里斯塔努加泰罗尼亚政治大学Fysica i Enginyeria Nuclear部门，邮编：08019

^三

巴基斯坦伊斯兰堡44000 UCERD（私人）有限公司

⁴

巴基斯坦古吉拉特邦大学计算机科学系，古吉拉特50700

⁵

沙特阿拉伯吉达阿卜杜拉齐兹国王大学数学系，邮编：21589

⁶

西班牙科罗姆11加泰罗尼亚工业大学热质传递技术中心，特拉萨08222

⁷

巴基斯坦拉合尔54000拉合尔政府学院数学系

^*

信件应寄给的作者。

算法 2017,10(1), 17;https://doi.org/10.3390/a10010017

收到的提交文件：2016年11月13日/修订日期：2016年12月24日/接受日期：2017年1月13日/出版日期：2017年1月18日

下载版本注释

摘要

:

对现有的计算非线性方程组或非线性方程组未知重数零点的迭代方法进行了改进。我们将预条件引入非线性方程或非线性方程组及其相应的雅可比矩阵。预条件的加入提供了数值稳定性和准确性。预条件的不同选择提供了一系列迭代方法。我们对现有方法进行了修改，使其不改变继承的二次收敛性。数值模拟证实了预处理迭代方法的二次收敛性。预条件的影响清楚地反映在计算解的数值精度上。

关键词：

非线性方程组;非线性方程组;奇异雅可比矩阵;重数未知的根;非线性预处理器;辅助功能

1.简介

设计求解非线性方程组和非线性方程组的迭代方法是一个活跃的研究领域。许多研究人员提出了求解非线性和非线性方程组的迭代方法，以找到简单零点或重数大于1的零点[1,2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]. 求解非线性方程组和非线性方程组以找到简单零点的经典迭代方法是牛顿法，它具有二次收敛性[16,17]在某些条件下。当我们谈论求解非线性方程组或非线性方程组以找到重数大于1的零点的迭代方法时，经典的牛顿方法需要修改。求解非线性方程重数大于1的零点的修正牛顿法可以写成

\begin{matrix} \{\begin{matrix} {z（z）}_{0} = 最初的 猜测 \\ {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - 米 \frac{ϕ ({z（z）}_{k个})}{ϕ^{'} ({z（z）}_{k个})}, k个 = 0, 1, \dots, \end{matrix} \end{matrix}

(1)

哪里

ϕ ({z（z）}_{k个}) = 0

是非线性方程。Jose等人[18]提出了多维版本的of（1）as

\begin{matrix} \{\begin{matrix} {z（z）}_{0} = 最初的 猜测 \\ {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - Φ^{'} {({z（z）}_{k个})}^{- 1} 诊断 (米) Φ ({z（z）}_{k个}), k个 = 0, 1, \dots, \end{matrix} \end{matrix}

(2)

哪里

米 = {[米_{1}, 米_{2}, \dots, 米_{n个}]}^{T型}

是非线性方程组的重数向量

Φ (z（z）) = 0

，以及

诊断 (\cdot)

表示将向量保持在其主对角线的对角线矩阵。（2）的二次收敛性证明见[18]. 吴[19]借助辅助指数函数或预条件指数函数，提出了牛顿法的一种变体。假设我们有一个非线性方程组

Φ (z（z）) = 0

，并且我们定义了一个新的非线性方程组，它具有一个具有相同根的非线性预处理函数

\begin{matrix} Ψ (z（z）) = {e（电子）}^{v（v） ⊙ z（z）} ⊙ Φ (z（z）) = 0, \end{matrix}

(3)

其中⊙是两个向量的元素乘法。牛顿法在（3）中的应用是

\begin{matrix} \begin{matrix} {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - Ψ^{'} {({z（z）}_{k个})}^{- 1} Ψ ({z（z）}_{k个}) \\ {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - {(诊断 ({e（电子）}^{v（v） ⊙ z（z）}) (Φ^{'} (z（z）) + 诊断 (v（v） ⊙ Φ (z（z）))))}^{- 1} {e（电子）}^{v（v） ⊙ z（z）} ⊙ Φ (z（z）) \\ {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - {(Φ^{'} (z（z）) + 诊断 (v（v） ⊙ Φ (z（z）)))}^{- 1} 诊断 {({e（电子）}^{v（v） ⊙ z（z）})}^{- 1} {e（电子）}^{v（v） ⊙ z（z）} ⊙ Φ (z（z）) \\ {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - {(Φ^{'} (z（z）) + 诊断 (v（v） ⊙ Φ (z（z）)))}^{- 1} Φ (z（z）) . \end{matrix} \end{matrix}

（4）

（4）的收敛速度是二次的。A修改[18]in（1）是通过使用指数预处理器提出的

\begin{matrix} Ψ (z（z）) = {e（电子）}^{v（v） ⊙ z（z）} ⊙ Φ {(z（z）)}^{1 / 米} = 0, \end{matrix}

(5)

哪里

1 / 米 = {[1 / 米_{1}, 1 / 米_{2}, \dots, 1 / 米_{n个}]}^{T型}

和的力量

Φ (z（z）)

是组件式的。牛顿法在（5）中的应用给出了

{z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - {(Φ^{'} (z（z）) + 诊断 (v（v） ⊙ Φ (z（z）)))}^{- 1} 诊断 (米) Φ (z（z）) .

(6)

非线性预处理函数的最初思想是在[19]. Noor等人[20]提出了一种带有一般预条件的牛顿法。他们定义了一个预处理的非线性方程组，如下所示：

\begin{matrix} Ψ (z（z）) = Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）) = 0, \end{matrix}

(7)

哪里

Λ (z（z）) \neq 0

注意

Ψ (z（z）) = 0

和

Φ (z（z）) = 0

是相同的，因为

Λ (z（z）) \neq 0

为所有人

z（z）

.（7）的一阶Fréchet导数可以计算为

\begin{matrix} Ψ_{我} (z（z）) = Φ_{我} (z（z）) Λ_{我} (z（z）) \\ \nabla Ψ_{我} {(z（z）)}^{T型} = Φ_{我} (z（z）) \nabla Λ_{我} {(z（z）)}^{T型} + Λ_{我} (z（z）) \nabla Φ_{我} {(z（z）)}^{T型}, 我 = 1, 2, \dots, n个 \\ [\begin{matrix} \nabla Ψ_{1} {(z（z）)}^{T型} \\ \nabla Ψ_{2} {(z（z）)}^{T型} \\ \nabla Ψ_{三} {(z（z）)}^{T型} \\ ⋮ \\ \nabla Ψ_{n个} {(z（z）)}^{T型} \end{matrix}] = [\begin{matrix} Φ_{1} (z（z）) & 0 & \dots & 0 \\ 0 & Φ_{2} (z（z）) & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & Φ_{n个} (z（z）) \end{matrix}] [\begin{matrix} \nabla Λ_{1} {(z（z）)}^{T型} \\ \nabla Λ_{2} {(z（z）)}^{T型} \\ \nabla Λ_{三} {(z（z）)}^{T型} \\ ⋮ \\ \nabla Λ_{n个} {(z（z）)}^{T型} \end{matrix}] + [\begin{matrix} Λ_{1} (z（z）) & 0 & \dots & 0 \\ 0 & Λ_{2} (z（z）) & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & Λ_{n个} (z（z）) \end{matrix}] [\begin{matrix} \nabla Φ_{1} {(z（z）)}^{T型} \\ \nabla Φ_{2} {(z（z）)}^{T型} \\ \nabla Φ_{三} {(z（z）)}^{T型} \\ ⋮ \\ \nabla Φ_{n个} {(z（z）)}^{T型} \end{matrix}] \end{matrix}

(8)

根据（8）

Φ (z（z）) ⊙ Λ (z（z）)

是

\begin{matrix} \begin{matrix} {(Φ (z（z）) ⊙ Λ (z（z）))}^{'} = 诊断 (Φ (z（z）)) Λ^{'} (z（z）) + 诊断 (Λ (z（z）)) Φ^{'} (z（z）) \\ Ψ^{'} (z（z）) = 诊断 (Λ (z（z）)) Φ^{'} (z（z）) + 诊断 (Φ (z（z）)) Λ^{'} (z（z）) \\ Ψ^{'} (z（z）) = 诊断 (Λ (z（z）)) (Φ^{'} (z（z）) + 诊断 (Φ (z（z）)) 诊断 {(Λ (z（z）))}^{- 1} Λ^{'} (z（z）)) . \end{matrix} \end{matrix}

(9)

如果我们将牛顿法应用于（7），我们将得到

\begin{matrix} \begin{matrix} {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - {(Φ^{'} (z（z）) + 诊断 (Φ (z（z）)) 诊断 {(Λ (z（z）))}^{- 1} Λ^{'} (z（z）))}^{- 1} 诊断 {(Λ (z（z）))}^{- 1} Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）) \\ {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - {(Φ^{'} (z（z）) + 诊断 (Φ (z（z）)) 诊断 {(Λ (z（z）))}^{- 1} Λ^{'} (z（z）))}^{- 1} Φ (z（z）) . \end{matrix} \end{matrix}

(10)

（10）的收敛阶是2。带有一般预条件的迭代方法（6）可以写成

{z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - {(Φ^{'} (z（z）) + 诊断 (Φ (z（z）)) 诊断 {(Λ (z（z）))}^{- 1} Λ^{'} (z（z）))}^{- 1} 诊断 (米) Φ (z（z）) .

(11)

（11）的收敛阶也是2。修正牛顿法[17,21,22]用这种方法可以求解具有未知多重性的非线性方程。我们定义了一个新函数

秒 (z（z）) = \frac{ϕ (z（z）)}{ϕ^{'} (z（z）)} .

(12)

牛顿法在（12）中的应用给出了

\begin{matrix} \begin{matrix} {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - \frac{秒 ({z（z）}_{k个})}{秒^{'} ({z（z）}_{k个})} \\ {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - \frac{ϕ^{'} ({z（z）}_{k个}) ϕ ({z（z）}_{k个})}{ϕ^{'} {({z（z）}_{k个})}^{2} - ϕ^{″} ({z（z）}_{k个}) ϕ ({z（z）}_{k个})} . \end{matrix} \end{matrix}

(13)

（13）的收敛阶是2。努尔和他的合作研究人员[23]通过引入预条件，构造了一类求解多重未知非线性方程的迭代方法。他们定义了一个新功能

q个 (z（z）) = \frac{ϕ (z（z）) λ (z（z）)}{ϕ^{'} (z（z）)}

(14)

并将牛顿法应用于（14），得到

\begin{matrix} \begin{matrix} {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - \frac{q个 ({z（z）}_{k个})}{{q个}^{'} ({z（z）}_{k个})} \\ {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - \frac{ϕ^{'} ({z（z）}_{k个}) ϕ ({z（z）}_{k个}) λ ({z（z）}_{k个})}{ϕ^{'} ({z（z）}_{k个}) {(ϕ ({z（z）}_{k个}) λ ({z（z）}_{k个}))}^{'} - ϕ^{″} ({z（z）}_{k个}) ϕ ({z（z）}_{k个}) λ ({z（z）}_{k个})}, \end{matrix} \end{matrix}

(15)

哪里

λ (z（z）)

是一个非零函数。（15）的收敛阶是2。

2.建议方法

当我们观察到（14）时，我们可以注意到预条件只针对

ϕ (z（z）)

，不适用于

ϕ^{'} (z（z）)

。我们还将为

ϕ^{'} (z（z）)

，并将表明（14）的收敛阶仍然是二次的。我们定义了一个新函数

q个 (z（z）) = \frac{λ (z（z）) ϕ (z（z）)}{{(ω (z（z）) ϕ (z（z）))}^{'}},

(16)

应用牛顿法后，我们得到

\begin{matrix} \begin{matrix} {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - \frac{q个 ({z（z）}_{k个})}{{q个}^{'} ({z（z）}_{k个})} \\ {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - \frac{{(ω ({z（z）}_{k个}) ϕ ({z（z）}_{k个}))}^{'} λ ({z（z）}_{k个}) ϕ ({z（z）}_{k个})}{{(ω ({z（z）}_{k个}) ϕ ({z（z）}_{k个}))}^{'} {(λ ({z（z）}_{k个}) ϕ ({z（z）}_{k个}))}^{'} - {(ω ({z（z）}_{k个}) ϕ ({z（z）}_{k个}))}^{″} λ ({z（z）}_{k个}) ϕ ({z（z）}_{k个})}, \end{matrix} \end{matrix}

(17)

哪里

ω (z（z）)

是一个非零函数。为了将迭代方法（17）推广到非线性方程组，我们定义了一个新的函数

问 (z（z）)

问 (z（z）) = {({(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'})}^{- 1} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）)) = 0 .

（18）

（18）的一阶Fréchet导数可以写成

\begin{matrix} 问^{'} (z（z）) = {({({(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'})}^{- 1})}^{2} {({(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} \\ - {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{''} {({(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'})}^{- 1} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))) . \end{matrix}

(19)

进一步简化

问^{'} {(z（z）)}^{- 1} 问 (z（z）)

给予

\begin{matrix} 问^{'} {(z（z）)}^{- 1} 问 (z（z）) = ({(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} {(Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} - {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{''} \\ {({(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'})}^{- 1} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))) {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）)) . \end{matrix}

(20)

如果比较（17）和（20）中带下划线的表达式，它们是不同的。一般来说，上下班是不可能的

{(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'}

具有

{(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{''}

然而，我们人为地消除了条款

{(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'}

和

{({(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'})}^{- 1}

来自表达式

{(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{''} {({(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'})}^{- 1}

，并得到以下迭代方法。

\begin{matrix} {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - {({(Ω ({z（z）}_{k个}) ⊙ Φ ({z（z）}_{k个}))}^{'} {(Λ ({z（z）}_{k个}) ⊙ Φ ({z（z）}_{k个}))}^{'} - {(Ω ({z（z）}_{k个}) ⊙ Φ ({z（z）}_{k个}))}^{″} (Λ ({z（z）}_{k个}) ⊙ Φ ({z（z）}_{k个})))}^{- 1} \\ {(Ω ({z（z）}_{k个}) ⊙ Φ ({z（z）}_{k个}))}^{'} (Λ ({z（z）}_{k个}) ⊙ Φ ({z（z）}_{k个})) . \end{matrix}

(21)

可以看出，迭代法（21）并不是牛顿法（18）的应用。求解具有未知多重性的标量非线性方程的迭代方法（17）与向量形式（21）完全相同。我们只提供（21）的二次收敛证明，它自动适用于标量版本（17）。在中提出了一种迭代方法[24]计算具有多重非线性方程组的零点，该系统对非线性方程组使用预条件，但对非线性方程系统的雅可比矩阵不使用预条件。注意，在本文中，我们将为非线性方程组引入预条件以及非线性方程组的雅可比矩阵。

3.融合

在下面的定理中，我们建立了（21）的二次收敛性的证明。

定理 1

让

Φ : 天 \subseteq {R（右）}^{n个} ⟶ {R（右）}^{n个}

和

κ = {[κ_{1}, κ_{2}, κ_{三}, \dots, κ_{n个}]}^{T型} \in 天

是的根

Φ (z（z）) = {(z（z） - κ)}^{米} ⊙ P（P） (z（z）) = 0

具有相应的重数向量

米 = {[米_{1}, 米_{2}, \dots, 米_{n个}]}^{T型}

和非零函数

P（P） = {[对_{1} (z（z）), 对_{2} (z（z）), \dots, 对_{n个} (z（z）)]}^{T型}

具有

对_{我} (z（z）) (\neq 0) \in C^{2} (天)

然后，存在一个子集

E类 \subseteq 天

这样&如果我们选择

{z（z）}_{0} \in E类

-迭代法（21）在E中具有二次收敛性。

证明。

让

ϵ = z（z） - κ

然后

Φ (z（z）) = ϵ^{米} ⊙ P（P） (z（z）)

。每当我们计算向量的向量幂时，它总是分量式的。所以，

ϵ^{米} = {[ϵ_{1}^{米_{1}}, ϵ_{2}^{米_{2}}, \dots, ϵ_{n个}^{米_{n个}}]}^{T型}

.的一阶Fréchet导数

Φ (z（z）)

是

Φ^{'} (z（z）) = 诊断 (米 ⊙ ϵ^{米 - 1} ⊙ P（P） (z（z）)) + 诊断 (ϵ^{米}) {P（P）}^{'} (z（z）) .

(22)

（21）中的术语表达式计算如下。

{(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} = 诊断 (米 ⊙ ϵ^{米 - 1} ⊙ P（P） (z（z）) ⊙ Ω (z（z）)) + 诊断 (ϵ^{米} ⊙ Ω (z（z）)) {P（P）}^{'} (z（z）) + 诊断 (ϵ^{米} ⊙ P（P） (z（z）)) Ω^{'} (z（z）)

(23)

{(Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} = 诊断 (米 ⊙ ϵ^{米 - 1} ⊙ P（P） (z（z）) ⊙ Λ (z（z）)) + 诊断 (ϵ^{米} ⊙ Λ (z（z）)) {P（P）}^{'} (z（z）) + 诊断 (ϵ^{米} ⊙ P（P） (z（z）)) Λ^{'} (z（z）)

(24)

通过使用（23）和（24），我们可以写出

{(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'}

和

{(Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'}

作为

{(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} {(Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} = (米^{2} ⊙ ϵ^{2 米 - 2} ⊙ P（P） {(z（z）)}^{2} ⊙ Ω (z（z）) ⊙ Λ (z（z）)) + O（运行） (诊断 (ϵ^{2 米 - 1})) .

（25）

接下来，我们计算

{(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'}

.让ϕ是长度的标量向量n个

{(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} ϕ = 米 ⊙ ϵ^{米 - 1} ⊙ P（P） (z（z）) ⊙ Ω (z（z）) ⊙ ϕ + A类 (ϕ),

(26)

哪里

A类 (ϕ) = 诊断 (ϵ^{米} ⊙ Ω (z（z）)) {P（P）}^{'} (z（z）) ϕ + 诊断 (ϵ^{米} ⊙ P（P） (z（z）)) Ω^{'} (z（z）) ϕ

.我们再次计算（26）的一阶Fréchet导数

\begin{matrix} {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{''} ϕ = & 诊断 (米 ⊙ (米 - 1) ⊙ ϵ^{米 - 1} ⊙ ϕ ⊙ P（P） (z（z）) ⊙ Ω (z（z）)) \\ + 诊断 (米 ⊙ ϵ^{米 - 1} ⊙ ϕ) {(P（P） (z（z）) ⊙ Ω (z（z）))}^{'} + {A类}^{'} (ϕ) \\ {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{''} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）)) & = 诊断 (米 ⊙ (米 - 1) ⊙ ϵ^{2 米 - 2} ⊙ P（P） {(z（z）)}^{2} ⊙ Ω (z（z）)) \\ + 诊断 (米 ⊙ ϵ^{2 米 - 1} ⊙ P（P） (z（z）)) {(P（P） (z（z）) ⊙ Ω (z（z）))}^{'} {A类}^{'} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）)) \\ {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{''} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）)) = & 诊断 (米 ⊙ (米 - 1) ⊙ ϵ^{2 米 - 2} ⊙ P（P） {(z（z）)}^{2} ⊙ Ω (z（z）)) + O（运行） (诊断 (ϵ^{2 米 - 1})) . \end{matrix}

(27)

从（25）中减去（27），我们得到

\begin{matrix} {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} {(Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} - {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{''} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）)) = 诊断 (米 ⊙ ϵ^{2 米 - 2} ⊙ P（P） {(z（z）)}^{2} ⊙ Ω (z（z）)) \\ (我 + O（运行） (诊断 (ϵ))) . \\ {({(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} {(Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} - {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{''} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）)))}^{- 1} = \\ (我 - O（运行） (诊断 (ϵ))) {(诊断 (米 ⊙ ϵ^{2 米 - 2} ⊙ P（P） {(z（z）)}^{2} ⊙ Ω (z（z）)))}^{- 1} . \end{matrix}

(28)

通过使用（26）

{(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))

是

{(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）)) = 米 ⊙ ϵ^{2 米 - 1} ⊙ P（P） {(z（z）)}^{2} ⊙ Ω (z（z）) ⊙ (1 + O（运行） (ϵ)) .

(29)

从（28）和（29），我们得到

\begin{matrix} {({(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} {(Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} - {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{''} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）)))}^{- 1} {(Ω (z（z）) ⊙ Φ (z（z）))}^{'} (Λ (z（z）) ⊙ Φ (z（z）)) \\ = (我 - O（运行） (诊断 (ϵ))) {(诊断 (米 ⊙ ϵ^{2 米 - 2} ⊙ P（P） {(z（z）)}^{2} ⊙ Ω (z（z）)))}^{- 1} 米 ⊙ ϵ^{2 米 - 1} ⊙ P（P） {(z（z）)}^{2} ⊙ Ω (z（z）) ⊙ (1 + O（运行） (ϵ)) \\ = (我 - O（运行） (诊断 (ϵ))) 诊断 (ϵ) (1 + O（运行） (ϵ)) = ϵ + O（运行） (ϵ^{2}) . \end{matrix}

（30）

（21）的误差方程可以写成

ϵ_{k个 + 1} = ϵ_{k个} - (ϵ_{k个} + O（运行） (ϵ_{k个}^{2})) = O（运行） (ϵ_{k个}^{2}) .

(31)

（21）的误差方程（31）表明，所提迭代方法的收敛阶为二次。☐

4.数值测试

两个预条件

ω (z（z）)

和

λ (z（z）)

产生一系列迭代方法。如果我们定义

ω (z（z）) = e（电子） x个 对 (ϖ z（z）)

和

λ (z（z）) = e（电子） x个 对 (ϑ z（z）)

，我们得到了求解具有未知重数的零非线性方程组的以下两参数迭代方法族。

S公司 1 : {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - \frac{(ϖ ϕ (z（z）) + ϕ^{'} (z（z）)) ϕ (z（z）)}{(ϑ - ϖ) ϕ^{'} (z（z）) (ϖ + ϕ (z（z）)) ϕ^{'} {(z（z）)}^{2} - ϕ^{''} (z（z）) ϕ (z（z）)} .

现在我们选择

ω (z（z）) = e（电子） x个 对 (ϖ ϕ (z（z）))

和

λ (z（z）) = (ϑ ϕ (z（z）))

，并获得以下方法

S公司 2 : {z（z）}_{k个 + 1} = {z（z）}_{k个} - \frac{ϕ^{'} (z（z）) (1 + ϖ ϕ (z（z）)) ϕ (z（z）)}{ϕ^{'} {(z（z）)}^{2} (1 + (ϑ - ϖ) (1 + ϖ ϕ (z（z）)) ϕ (z（z）)) - ϕ^{''} (z（z）) ϕ (z（z）) (1 + ϖ ϕ (z（z）))} .

我们只对非线性方程组进行了数值测试，非线性方程组的情况类似。测试所提迭代方法的计算收敛阶（CCO）非常重要。在我们的所有模拟中，我们采用了以下CCO定义：

CCO公司 = \frac{我 o个 克 (| | Φ ({z（z）}_{k个 + 1}) {| |}_{\infty} / | | Φ ({z（z）}_{k个}) {| |}_{\infty})}{我 o个 克 (| | Φ ({z（z）}_{k个}) {| |}_{\infty} / | | Φ ({z（z）}_{k个 - 1}) {| |}_{\infty})} 或 \frac{我 o个 克 (| | {z（z）}_{k个 + 1} - {κ | |}_{\infty} / | | {z（z）}_{k个} - κ {| |}_{\infty})}{我 o个 克 (| | {z（z）}_{k个} - {κ | |}_{\infty} / | | {z（z）}_{k个 - 1} - κ {| |}_{\infty})} .

(32)

对于数值模拟，选择了三个具有不同多重性的问题。相对而言，迭代法（11）的性能并不好。预处理器的各种选择如下表1,表2和表3这三个问题。在表1，我们已经证明了预条件的选择对具有多重性的计算零点的数值精度有影响。此外，执行不同操作的计算成本是合理的，因为在所有情况下，我们选择预条件的方式都是使其一阶和二阶Fréchet导数是对角矩阵。当我们选择

Λ (z（z）) = 6 + c（c） o个 秒 (z（z）) / 10

和

Ω (z（z）) = 6 + c（c） o个 秒 (z（z）) / 10

对于问题1，我们在具有不同重数的计算零点中获得了最佳精度。对于第二个问题，表2显示了选择

Λ (z（z）)

产生良好的精度。在表3同样，两个预处理器的选择提供了最好的准确性。

问题 1 = \{\begin{matrix} Φ_{1} (z（z）) = {({z（z）}_{1} - 1)}^{4} e（电子） x个 对 ({z（z）}_{2}) = 0 \\ Φ_{2} (z（z）) = {({z（z）}_{2} - 2)}^{5} ({z（z）}_{1} {z（z）}_{2} - 1) = 0 \\ Φ_{三} (z（z）) = {({z（z）}_{三} + 4)}^{6} = 0 \end{matrix}

(33)

问题 2 = \{\begin{matrix} Φ_{1} (z（z）) = {z（z）}_{1} {z（z）}_{2} = 0 \\ Φ_{2} (z（z）) = {z（z）}_{2} {z（z）}_{三} = 0 \\ Φ_{三} (z（z）) = {z（z）}_{三} {z（z）}_{4} = 0 \\ Φ_{4} (z（z）) = {z（z）}_{4} {z（z）}_{1} = 0 \end{matrix}

(34)

问题 三 = \{\begin{matrix} Φ_{1} (z（z）) = \sqrt{{z（z）}_{1} - 1} {z（z）}_{2} {z（z）}_{三} = 0 \\ Φ_{2} (z（z）) = \sqrt{{z（z）}_{2} - 1} {z（z）}_{1} {z（z）}_{三} = 0 \\ Φ_{三} (z（z）) = \sqrt{{z（z）}_{三} - 1} {z（z）}_{1} {z（z）}_{2} = 0 \end{matrix}

(35)

5.结论

在现有的求解非线性方程组的重数零点迭代方法中加入预条件可以提高数值稳定性和数值精度。该方法对非线性方程组和非线性方程组同样有效。假设在所有情况下，预条件都应该是非零的，因为这样，它不会影响非线性方程组或非线性方程组的零点。预条件的不同选择提供了不同的迭代方法族。通过计算所有数值模拟中的计算收敛阶，也验证了所声称的收敛阶。研究非线性预条件器的动力学以寻找具有多重非线性方程和非线性方程组的零点可能是一个有趣的研究课题。

作者贡献

第一作者确立了这一观点，所有其他作者在这篇文章中贡献均等。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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表1。问题1：初步猜测=

[2, 1, - 2]

,

米 = [4, 5, 6]

.CCO：计算收敛阶。

**表1。**问题1：初步猜测= $[2, 1, - 2]$ , $米 = [4, 5, 6]$ .CCO：计算收敛阶。
	$Λ (z（z）)$	$Ω (z（z）)$	伊特。	$\| \| z（z） - {κ \| \|}_{\infty}$	CCO公司
迭代法（21）	$1$	$1$	6	$O（运行） (10^{- 43})$	$2$
	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	$1$	6	$O（运行） (10^{- 51})$	$2.05$
	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	$1$	6	$O（运行） (10^{- 42})$	$2$
	$e（电子） x个对 (- z（z） / 100)$	$1$	6	$O（运行） (10^{- 46})$	$2$
	$1$	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	6	$O（运行） (10^{- 38})$	$2$
	$1$	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	6	$O（运行） (10^{- 46})$	$2$
	$1$	$e（电子） x个对 (- z（z） / 100)$	6	$O（运行） (10^{- 39})$	$2$
	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	6	$O（运行） (10^{- 41})$	$2$
	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	6	$O（运行） (10^{- 65})$	$2$
	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	$e（电子） x个对 (- z（z） / 100)$	6	$O（运行） (10^{- 43})$	$2$
	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	6	$O（运行） (10^{- 45})$	$2$
	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	6	$O（运行） (10^{- 37})$	$2$
	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	$e（电子） x个对 (- z（z） / 100)$	6	$O（运行） (10^{- 38})$	$2$
	$e（电子） x个对 (- z（z） / 100)$	$e（电子） x个对 (- z（z） / 100)$	6	$O（运行） (10^{- 41})$	$2$
	$e（电子） x个对 (- z（z） / 100)$	$e（电子） x个对 (z（z） / 100)$	6	$O（运行） (10^{- 53})$	$2$
	$e（电子） x个对 (- z（z） / 100)$	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	6	$O（运行） (10^{- 40})$	$2$
	$e（电子） x个对 (- z（z） / 100)$	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	6	$O（运行） (10^{- 53})$	$2$
迭代法（11）	$1$	-	6	$O（运行） (10^{- 30})$	$2$
	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	-	6	$O（运行） (10^{- 30})$	$2$
	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	-	6	$O（运行） (10^{- 30})$	$2$
	$e（电子） x个对 (z（z） / 100)$	-	6	$O（运行） (10^{- 30})$	$2$

表2。问题2：初步猜测=

[1, 2, 4, 三]

,

米 = [2, 2, 2, 2]

.

**表2。**问题2：初步猜测= $[1, 2, 4, 三]$ , $米 = [2, 2, 2, 2]$ .
	$Λ (z（z）)$	$Ω (z（z）)$	伊特。	${\| \| Φ (z（z）) \| \|}_{\infty}$	CCO公司
迭代法（21）	$1$	$1$	1	-	-
	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	$1$	7	$O（运行） (10^{- 2042})$	$3$
	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	$1$	7	$O（运行） (10^{- 8482})$	$3.98$
	$e（电子） x个对 (z（z） / 100)$	$1$	7	$O（运行） (10^{- 376})$	$2$
迭代法（11）	$1$	-	1	-	-
	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	-	20	$O（运行） (10^{- 23})$	$1$
	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	-	20	未汇聚	-
	$e（电子） x个对 (z（z） / 100)$	-	7	$O（运行） (10^{- 443})$	$2$

表3。问题3：初步猜测=

[2, 4, 三]

,

米 = [1 / 2, 1 / 2, 1 / 2]

.

**表3。**问题3：初步猜测= $[2, 4, 三]$ , $米 = [1 / 2, 1 / 2, 1 / 2]$ .
	$Λ (z（z）)$	$Ω (z（z）)$	伊特。	${\| \| Φ (z（z）) \| \|}_{\infty}$	CCO公司
迭代法（21）	$1$	$1$	12	$O（运行） (10^{- 2011})$	$2$
	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	$1$	12	$O（运行） (10^{- 1914})$	$2$
	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	$1$	12	$O（运行） (10^{- 1248})$	$2$
	$e（电子） x个对 (- z（z） / 10)$	$1$	12	$O（运行） (10^{- 2767})$	$2$
	$e（电子） x个对 (- z（z） / 10)$	$e（电子） x个对 (z（z） / 10000)$	12	$O（运行） (10^{- 2110})$	$2$
	$e（电子） x个对 (- z（z） / 10)$	$e（电子） x个对 (- z（z） / 10000)$	12	$O（运行） (10^{- 2771})$	$2$
迭代法（11）	$1$	-	1	-	-
	$6 + c（c） o个秒 (z（z）) / 10$	-	12	$O（运行） (10^{- 56})$	$2$
	$1 + {z（z）}^{三} / 1000$	-	20	未汇聚	-
	$e（电子） x个对 (- z（z） / 10)$	-	7	$O（运行） (10^{- 35})$	$2$

分享和引用

MDPI和ACS样式

艾哈迈德·F。；T.A.布塔。；美国Shoaib。；Zaka Ullah，M。；阿尔索姆拉尼，A.S。；艾哈迈德，S。；艾哈迈德，S。求解具有未知多重性的非线性方程组的预处理迭代方法。算法 2017,10, 17.https://doi.org/10.3390/a10010017

AMA风格

Ahmad F、Bhutta TA、Shoaib U、Zaka Ullah M、Alshomrani AS、Ahmad S、Ahmad-S。求解具有未知多重性的非线性方程组的预处理迭代方法。算法. 2017; 10(1):17.https://doi.org/10.3390/a10010017

芝加哥/图拉宾风格

Ahmad、Fayyaz、Toseef Akhter Bhutta、Umar Shoaib、Malik Zaka Ullah、Ali Saleh Alshomrani、Shamshad Ahmad和Shahid Ahmad。2017.“求解具有未知多重性的非线性方程组的预处理迭代方法”算法第10页，第1页：第17页。https://doi.org/10.3390/a10010017

请注意，从2016年第一期开始，本期刊使用文章编号，而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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求解具有未知多重性的非线性方程组的预处理迭代法

摘要

1.简介

2.建议方法

3.融合

4.数值测试

5.结论

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