1.简介
众所周知的奥斯特罗斯基定理[1]给出了Picard迭代局部收敛的充分条件（迭代映射在不动点上的雅可比谱半径小于1）。“然而，目前还不知道对吸引力球大小的估计”[2] (2009). 许多作者考虑了不同迭代方法的局部收敛半径估计问题，特别是牛顿法及其变种得到了几个结果。然而“……收敛半径的有效、可计算估计值很少可用”[三] (1975). 最近的一篇论文也发表了类似的评论[4]（2015）：“迭代方法收敛到方程解的起始近似位置是一个难以解决的问题”。值得注意的是，吸引力盆地的形状是一个不可预测且复杂的集合，特别是对于高阶方法，因此为这些方法找到一个好的收敛球确实是一项困难的任务。在这个主题上最古老的已知结果中，我们可以提到Vertgeim、Rall、Rheinboldt、Traub和Wozniakowski、Deufhard和Potra、Smale给出的结果[三,5,6,7,8,9]. Argyros传达了相对较新的结果[10,11,12]，费雷拉[13]埃尔南德斯·维隆和罗梅罗[4]、任[14]，王[15]. 迪弗哈德和波特拉[5]对牛顿法提出了以下估计。让是一个非线性映射，其中是Banach空间。假设F类为Frchet可微D类，那个每个都是可逆的，以及为所有人在这些条件下，方程式有解决方案.让这样的话和。然后牛顿法仍然适用于并收敛到. 在[2]作者提出了一个简单而优雅的公式来估计Picaed迭代的收敛半径，该算法假定给出了一个尖锐的值。更准确地说，让是一个非线性映射的固定点G公司。假设G公司在某个以中心为中心的球上是可微的,和的导数G公司满足 定义然后是局部收敛半径的估计。 埃尔南德斯和罗梅罗[4]给出了求解非线性方程组的三阶多点法的以下算法在巴拿赫空间[16]. 假设第页是方程的解，存在,和k-Lipschitz在某些上是连续的吗.让，其中和是一个三次代数方程的正实根。然后是局部收敛半径。对于一般类数值参数的特定值，将在本研究中进行研究的这类特殊方法是以下一点方法 事实上，这是一种改进的牛顿法，其中导数在两个步骤后定期重新计算。注意，在这种特殊情况下，公式给出了，是我们将称之为（1）单点Ezquerro-Hernandez方法。
备注 1 说明一个算法（公式）给出最佳收敛半径的常见方法是，对于一个特定函数，在收敛球的边界上存在一个不满足收敛条件或考虑的迭代无法收敛的点并声称建议的半径是最好的，以这种方式进行。如果对某些类型的映射或至少对某些测试映射测试所提出的算法，则会更令人满意。
找到一个好的局部收敛半径值是一项相当困难的任务，而找到最佳值则要困难得多。我们提出了一种估计Picard迭代收敛半径的算法。数值实验表明，该算法提供的收敛球与最佳收敛球接近甚至相同。它与中提出的Mann迭代算法类似（但在某些细节上有所不同）[17]. 从计算的角度来看，大多数算法都涉及H的计算lder（Lipschitz）常数k个迭代映射或方程映射的导数。这种评估需要解决一个约束优化问题，并且优化必须是全局的。通常，无论使用什么样的线性映射范数，解决这个问题都不是一件容易的事情。但是，使用k个在一定程度上减少了收敛半径估计。使用向量范数和标量积，该算法的计算量可能更低。
论文组织如下。以下是一些初步措施第2节.中证明了两个定理第3节关于Picard迭代的局部收敛性。算法描述见第4节作者进行的大量数值实验的一部分表明，所提出的算法给出的半径接近最佳可能值，如所示第5节。所提出算法的主要步骤的计算机程序如所示附录A. 2.前期工作
让具有内积的实Hilbert空间和规范然后让C是的开放子集.
我们回顾以下两个对我们的发展至关重要的基本概念：非收缩性和准膨胀性.
地图如果不动点集为T型是非空的，、和哪里该条件等效于以下两种情况之一：哪里注意，（3）通常更适合于希尔伯特空间，从而更容易处理标量积和范数。条件（4）在[18]证明这类映射的Picard迭代的T-稳定性。注意，非压缩映射的不动点集是闭的和凸的[19]. 我们说映射T型是准扩张的，如果哪里.如果然后这证明了术语的合理性。很明显，映射的不动点集T型它满足（5）由一个唯一的元素组成第页在里面C. 条件（5）类似于以下条件：哪里，在[20,21]作为证明Banach空间中非扩张（拟单扩张）映射的Mann迭代强收敛性的一个附加条件。 3.局部收敛
以下定理是我们估计局部收敛半径的方法的基础。其证明类似于定理1的证明[22]，除了一些细节。我们在此提供详细的完整性证明。 定理 1 让是具有非空不动点集的（非线性）映射，其中C是实希尔伯特空间的开集.让成为一个固定点并让是这样的.我们假设（如果有界且，则此条件适用于任何和合适的). 进一步假设- （i）
在C为零时除雾，
- （ii）
T与在,
然后是序列由Picard迭代给出，保留在中并弱收敛到T的某个不动点，
- （iii）
T在上是准扩张的,
然后是T的唯一不动点和顺序强烈收敛于.
证明。 让第页是…的固定点T型.如果然后，使用（ii），我们有 因此，对于任何，包括,和即。，此外，，所以 作为弱致密是有界的，存在一个子序列弱收敛到q个。那么和（i）暗示假设现在存在两个子序列，比如和，弱收敛到u个和v（v）分别是。如上所述，和,.因此 我们有作为另一方面，这需要.因此.
最后，从（iii）可以得出：是的唯一固定点T型在里面和以便. ☐ 非压缩映射是弱压缩的，而拟扩张映射是弱膨胀的。下一个定理表明，非压缩性和拟扩张性并不矛盾，存在一类相对较大的映射，它们既是非压缩的又是拟扩张的。
定理 2 让是（非线性）映射，其中C是。假设T在C上是可微的那么T在C上既是半收缩的又是拟扩张的。
证明。 （一）T型在上是准扩展的C（因此由一个独特的元素组成）。
让第页是…的固定点T型.对于任何，我们有 使用符号，我们有和.根据Banach引理，结果是存在和.因此那就是T型是准扩张的. （二）T型处于非收缩状态C具有.
由于这种情况，我们有.让λ是这样的考虑二次多项式 最大的零点P（P）是和.作为和，我们有，这需要。对于任何我们有 拿和，我们得到了非对称性的条件。☐
4.算法
在有限维空间中，拟扩张条件是多余的，因为定理1的前两个条件足以使Picard迭代收敛。因此，在有限维空间中，假设满足定理1的条件（i），我们可以开发以下算法来估计局部收敛半径：
查找的最大值这样的话和. 该算法的主要处理是求解约束优化问题（6）。因此，我们需要使用全局约束优化方法，该方法通常具有相当大的计算工作量。在我们的经验中，我们将基于人群的元启发式方法与局部搜索方法相结合。
该算法包括一个外部迭代（用于线搜索过程）和一个内部迭代（用于求解约束优化问题）。在N个-维空间，内部迭代的每一步都涉及一些函数的计算N个每个变量（T型)，用于计算和.
备注 2 估计收敛半径的大多数算法都涉及计算T导数的最优Hölder/Lipschitz常数。这意味着对N个变量中的某些函数进行求值（T导数的分量）。因此，内部迭代的一步包括2阶多项式复杂度和计算T分量的复杂度。所提出的算法包括估计T和的分量的复杂性较低。然而，这种估计只有相对的价值，因为对计算工作量的主要影响是由全局约束优化方法施加的，众所周知，这是一种非常昂贵的计算。这些算法的良好实现对计算过程有一定的积极影响。
5.数值实验
本节将进行数值实验，以评估所提算法的性能。将获得的半径与最大收敛半径进行比较（用数字或图形表示）。在我们的实验中，最大半径是通过直接检查从给定点网的所有点开始的迭代过程的收敛性来计算的。用这种方法计算的吸引池（因此是最大收敛半径）只有相对的精度。然而，该方法提供了有关吸引盆地的重要信息，并且可以从这个角度准确评估算法的性能。
为了验证该方法，进行了一维和多维的数值实验。值得强调的是，所提算法获得的值在某种程度上大于其他方法给出的值，并且在某些情况下，我们的程序给出的局部收敛半径非常接近于最大值。
5.1. 实验1
我们用所提出的算法计算了单点Ezquerro-Hernandez方法和一些实函数的局部收敛半径。在大多数示例中，估计半径接近（甚至与）最大半径。例如，在函数的情况下和估计值和最佳半径（以15位小数计算）相同，.
5.2. 实验2
我们应用该算法估计了Picard迭代和多变量映射的局部收敛半径。对于以下三个测试映射（我们将其称为示例1-3）：结果如所示图1. 黑色区域表示对应于不动点的收敛域（对于所有三个示例），白色圆圈表示局部收敛球。可以看出，这些估计值令人满意地接近于尽可能好的估计值。
5.3. 实验3
迭代（1）可视为Picard迭代，，其中 因此，我们可以应用我们的算法来估计该方法的局部收敛半径。结果见图2. 可以看出，在这种特殊情况下，估计值接近（非常接近）最佳可能半径。
5.4. 实验4
在本实验中，我们使用针对Picard、Newton和单点Ezquerro-Hernandez方法以及测试映射提出的算法来数值估计收敛半径。为了进行比较，我们还使用了其他几种算法来估计它们。在下表中，我们使用Catinas、Deufhard-Potra和Hernandez-Romero提出的算法给出了结果（这些算法专门用于考虑的方法）。每个表的最后一行包含最大收敛半径。
表1包含Catinas获得的结果和Picard迭代的建议算法。 Catinas算法要求我们估计H迭代映射（7）的导数的lder（Lipschitz）常数。即使对于二维映射（这是我们测试映射的情况），计算工作量也非常大。因此，中Catinas算法的值表2仅为近似值（我们使用符号≈表示这些值）。该实验验证了实验3的结果，该算法给出的半径非常接近单点Ezquerro-Hernandez方法的最大半径。 表3包含Deufhard-Potra获得的结果以及牛顿法的拟议算法。 Deufhard-Potra算法为牛顿法提供了令人满意的良好估计。同时，该算法不需要对H进行评估方程映射导数的lder（Lipschitz）常数，因此计算工作量相对较低。注意，在我们的实验中，参数秒选择了算法的，这似乎是最合适的（算法对这个参数不是很敏感）。
表2包含Catinas、Hernandez-Romero获得的结果以及单点Ezquerro-Hernandz方法的建议算法。 6.结论
提出的算法提供了接近（或非常接近）最佳可能的收敛半径，在某些情况下（如一维的单点Ezquerro-Hernandez方法），估计值似乎与最大半径一致。由于我们的研究仅通过数值实验强调了所提算法的这一显著特征，因此要找到两个半径相同的情况将是一个挑战。
