Nonlocal Tensor Sparse Representation and Low-Rank Regularization for Hyperspectral Image Compressive Sensing Reconstruction

Xue, Jize; Zhao, Yongqiang; Liao, Wenzhi; Chan, Jonathan Cheung-Wai

doi:10.3390/rs11020193

开放式访问第条

高光谱图像压缩传感重建的非局部张量稀疏表示和低秩正则化

通过

薛继泽

¹,

赵永强

^2,*

,

廖文治

^三

和

乔纳森·张伟珍

⁴

¹

西北工业大学自动化学院，西安710072

²

中国深圳西北工业大学研究开发院，邮编：518057

^三

根特大学电信和信息处理系TELIN IMEC，比利时根特9000

⁴

比利时布鲁塞尔1050年布鲁塞尔大学Vrije电子信息系

^*

信件应寄给的作者。

远程传感器。 2019,11(2), 193;https://doi.org/10.3390/rs11020193

收到的提交文件：2018年12月7日/修订日期：2019年1月13日/接受日期：2019年1月17日/发布时间：2019年1月19日

（本文属于特刊学习理解遥感图像)

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版本注释

摘要

:

高光谱图像压缩感知重建（HSI-CSR）是遥感领域的一个重要问题，近年来越来越多地采用基于稀疏先验的方法进行研究。然而，现有的大多数HSI-CSR方法都是通过将高光谱立方体沿某一维度矢量化来考虑空间和光谱向量域中的稀疏先验。此外，在以往的大多数工作中，很少关注HSI空间域中潜在的非局部结构的开发。本文提出了一种非局部张量稀疏低秩正则化（NTSRLR）方法，该方法可以对HSI的本质结构稀疏性进行编码，并探索其在HSI-CSR任务中的优势。具体来说，我们研究如何合理利用

我_{1}

-基于核心张量的稀疏性和张量核范数函数分别作为张量稀疏和低秩正则化，来描述隐藏在HSI中的非局部空间谱相关性。为了研究该算法的最小化问题，我们设计了一种基于交替方向乘法器（ADMM）技术的快速实现策略。在各种HSI数据集上的实验结果验证了所提出的HSI-CSR算法在HSI恢复方面可以显著优于现有最先进的CSR技术。

关键词：

高光谱图像;压缩传感;结构稀疏性;张量稀疏分解;张量低阶近似

1.简介

高光谱图像（HSI）是通过同时捕获两个空间和一个光谱维上的信息而形成的三维数据立方体。丰富的空间光谱信息能够在不同的材料上提供更准确可靠的特征，这有助于场景分类等各种应用[1]，目标检测[2]、环境监测[三]然而，由于HSI的数据量很大，在有限资源平台上的存储和传输成为一个挑战性的问题。虽然有各种方法，主要包括小波变换[4,5,6]，分时长+分时长[7]、DPCM[8]和JPEG2000[9,10]为了有效地压缩HSI，他们将HSI视为单波段图像的集合，而忽略了空间-光谱知识冗余。因此，如何构建合理而强大的HSI压缩重建模型仍然是一个值得研究的问题。

最近，压缩传感（CS）[11,12,13]理论为HSI采集或压缩提供了一个全新的领域，它只需要在成像阶段捕获少量非相干测量。然后，可以使用所获取的测量来重建整个HSI。为了在HSI上方便地应用CS，许多著名的技术[14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41]用于将HSI转换为稀疏信号。虽然与传统的压缩方法相比，HSI CS可以大大降低成像、存储和传输的资源消耗，但如何从较少的测量值中精确重建HSI仍然是一个具有挑战性的问题。

不适定重建问题的一个主要问题是通过施加适当的稀疏先验将HSI转换为稀疏描述形式。例如，一些有效的稀疏项

我_{0}

,

我_{1}

和

我_{第页}

(

0 < 第页 < 1

)规范[13,14,15,16]已经提出表征信号恢复的稀疏性，但这些方法忽略了底层结构信息。基于规则的方法通常将先验知识纳入观测模型，并开发一个统一的框架[17,18,19,20]. 对于这些方法，一个关键问题是如何设计合适的正则化项来表征HSI的稀疏性。中的工程[21,22,23]通过对HSI进行线性分解，主要考虑丰度矩阵的稀疏性，然后利用光谱分解程序建立HSI CS模型。通过引入跨空间或光谱维度的结构化稀疏性，Zhang等人[24,25,26,27,28]将基于稀疏表示/字典学习的压缩方法扩展到HSI压缩。最近，Meza等人[29,30]探索了基于组稀疏性的空间/光谱冗余结构，以实现HSI压缩感知重建（HSI-CSR）。Golbabaee等人提出的HSI CS模型[31,32,33,34]利用分段平滑结构来解释HSI的潜在梯度稀疏性。然而，由于这些技术在向量空间中描述HSI稀疏性，因此将稀疏性的描述形式作为一个向量处理，而不考虑其多维结构。它不可避免地会导致有用结构信息的丢失和失真。

基于张量的HSI-CSR方法可以显著提高HSI恢复质量，因为现有方法联合考虑了空间谱信息，并减少了HSI重构引起的损失和失真[35,36,37,38,39,40,41,42,43,44]. Karami等人[35,36]利用离散小波变换和塔克分解（DWT-TD）对HSI的空间谱信息进行编码。这些技术背后的核心思想是，首先使用DWT有效地将HSI分为不同的子图像，然后对HSI频带的DWT系数应用TD来压缩子图像的能量。Zhang等人[37,38]将HSI压缩为核心张量，通过因子矩阵的多线性投影可以重建HSI。这些方法仅将HSI视为一个完整的三维张量，而缺乏对HSI空间谱结构的更有力约束。杨[39]使用非线性张量稀疏表示从少量测量值中恢复HSI，并需要一些训练示例。王[40]使用HSI中的全局空间谱相关性和局部平滑特性来增强HSI-CSR任务，其中张量Tucker分解和三维总变分共同表征HSI的稀疏性。杜[41]针对HSI-CSR算法，提出了一种基于补丁的低秩张量分解方法，该方法将空间域上的非局部相似性和谱域上的低秩性质结合在一个统一的框架中。

尽管中报告了方法[37,38,40,41]与基于向量的方法相比，HSI-CSR方法非常有效，很难估计张量分解下的精确秩并进一步获得唯一分解。因此，基于张量分解的方法无法对HSI-CSR问题中的空间谱信息进行精细表征。在[42,43]，这种对全局谱间相关性（GCS）和非局部空间自相似（NSS）先验知识的合理使用导致了非常强大的HSI去噪算法，并且GCS和NSS对HSI-CSR的有效性在公开文献中尚未报道。这些事实启发我们通过基于GCS和NSS的结构化稀疏性来解决具有挑战性的HSI-CSR问题，并提出了一个将非局部张量稀疏表示与低阶正则化相结合的统一框架，如图1本文的主要贡献如下。

据我们所知，我们是第一个利用GCS和NSS来构建HSI的非局部结构稀疏性的人，这是HSI-CSR任务的忠实结构稀疏性表示形式。
对于通过分组非局部相似立方体而形成的每个立方体，引入基于张量稀疏和低秩近似的张量表示来编码固有的空间谱相关性。
HSI-CSR任务被视为一个优化问题；我们采用交替方向乘数法（ADMM）[44]来解决这个问题。

这部作品的初步版本出现在[45]，介绍了基本方法。在[45]，我们从张量低秩性质的角度建立了非局部结构稀疏性，它采用了两种最常用的张量低阶表示形式：张量低序近似和张量低阶分解。本文通过张量低阶近似和稀疏表示刻画了非局部结构稀疏性。虽然张量低秩分解和稀疏表示是从塔克分解模型导出的，但前者需要沿所有维度预设秩，而后者引入了

我_{1}

-基于核张量的稀疏项。在实际应用中，后者通过减少张量秩过拟合或欠拟合，具有可靠的高维数据表示能力。此外，本文还补充了：（1）HSI-CSR的详细背景；（2） NTSRLR的理论分析；（3）额外的HSI-CSR实验。

本文的其余部分组织如下。第2节介绍了本文中常用的张量符号和运算，以及CS的背景。在第3节提出了一种基于NTSRLR模型的HSI-CSR算法。第4节展示了大量实验的结果第5节得出结论。

2.HSI-CS的符号和背景

2.1. 符号

在整篇文章中，我们分别用非粗体字母、粗体小写字母、黑体大写字母和书法大写字母表示标量、向量、矩阵和张量。此外，我们还介绍了关于张量的一些必要的符号和预备知识，如下所示。阶张量N个，对应于N个-维度数据数组，表示为

X（X） \in R（右）^{我_{1} \times \dots \times 我_{n个} \times \dots \times 我_{N个}}

.的元素

X（X）

表示为

一_{我_{1} \dots 我_{n个} \dots 我_{N个}}

，其中

1 \leq 我_{n个} \leq 我_{n个}

本文中张量术语的定义与[46]. 表示

{∥ X（X） ∥}_{F类} = 〈X（X）, X（X）〉 {(\sum_{我_{1} 我_{2}, \dots, 我_{N个}} {| 一_{我_{1} 我_{2}, \dots, 我_{N个}} |}^{2})}^{1 / 2}

,

{∥X（X）∥}_{1} = \sum_{我_{1} 我_{2}, \dots, 我_{N个}} |一_{我_{1} 我_{2}, \dots, 我_{N个}}|

和

{∥X（X）∥}_{0}

作为F类-标准，

我_{1}

规范和

我_{0}

张量范数

X（X）

分别是。

{∥X（X）∥}_{0} \leq K（K）

意味着K（K）是的非零项目数

X（X）

在算法中，将张量展开为矩阵是很方便的。沿模式“展开”操作-n个关于张量

X（X）

定义为

展开_{n个} (X（X）) : = {X（X）}_{(n个)} \in R（右）^{我_{n个} \times (我_{1} \times \dots \times 我_{n个 - 1} 我_{n个 + 1} \times \dots \times 我_{N个})}

，其相反的操作“折叠”定义为

折叠_{n个} ({X（X）}_{(n个)}) : = X（X）

矩阵的Kronecker乘积

一 \in R（右）^{我 \times J型}

和

B类 \in R（右）^{K（K） \times L（左）}

是一个大小矩阵

我 K（K）

×

J型 L（左）

，表示为

一 \otimes B类

张量的乘法

X（X）

使用矩阵

Y（Y） \in R（右）^{我_{k个} \times {J型}_{k个}}

打开模式-k个表示为

X（X） \times_{k个} Y（Y） = Z轴

，也可以根据模式定义-k个展开为

{Z轴}_{k个} = Y（Y） {X（X）}_{k个}

.

定义 1

（塔克分解）[46]张量的塔克分解形式

X（X）

是：

X（X） = G公司 \times_{1} {U型}_{1} \times_{2} \dots \times_{N个} {U型}_{N个}

(1)

哪里

G公司 \in R（右）^{{J型}_{1} \times {J型}_{2} \times \dots \times {J型}_{N个}}

是核心张量，它反映了沿不同模式的组件之间的相互作用，以及

{U型}_{n个} \in R（右）^{我_{n个} \times {J型}_{n个}}

是每个模式中的正交因子矩阵。因此，我们可以在方程中实现Tucker分解的k展开形式(1)

{X（X）}^{(n个)} = {U型}_{n个} {G公司}^{(n个)} ({U型}_{N个} \otimes \dots \otimes {U型}_{n个 + 1} \otimes {U型}_{n个 - 1} \otimes \dots \otimes {U型}_{1})

(2)

2.2. HSI-CS背景

对于给定的HSI

X（X） \in R（右）^{W公司 \times H（H） \times S公司}

(

W公司 \times H（H）

空间分辨率和S公司光谱带），

x个 \in R（右）^{W公司 H（H） S公司}

表示的向量形式

X（X）

.让

N个 = W公司 H（H） S公司

，然后是压缩测量

年 \in R（右）^{M（M）}

可以从以下CS模型中获得：

年 = Φ x个

(3)

哪里

Φ \in R（右）^{M（M） \times N个} (M（M） < N个)

表示压缩运算符。CS理论表明，足够稀疏的信号x个只需几次观察就能准确地重建年当压缩运算符

Φ

满足受限等距属性（RIP）[11]. 在RIP下，通过追求最稀疏信号，不适定恢复问题可以表述为以下形式x个即。，

x个 = \underset{x个}{最小值} {∥ x个 ∥}_{0}, 秒 . t吨 . 年 = Φ x个

(4)

哪里

{∥ \cdot ∥}_{0}

表示

我_{0}

范数作为稀疏约束。然而

我_{0}

方程中的范数极小化(4)组合为NP-hard，在噪声中不稳定。因此，一个可行的策略是取代非凸

我_{0}

作为凸的范数

我_{1}

对应方[15,47]如下：

x个 = \underset{x个}{最小值} {∥ x个 ∥}_{1}, 秒 . t吨 . 年 = Φ x个

(5)

上述优化

我_{1}

-最小化CS问题可以采用迭代收缩算法[48]和Bregman Split算法[49].

由于HSI在某个领域中可以稀疏地表示，因此已经为HSI提出了许多CS模型。Zhang等人[21,22,23]使用端元矩阵将HSI分解为空间稀疏丰度矩阵。Meza等人[29,30,31]提取空间/光谱冗余结构，然后应用组稀疏性约束。戈尔巴贝[34]使用小波基将HSI变换为稀疏矩阵，然后采用低秩和

我_{1}

联合编码矩阵稀疏性的范数。Zhang等人[37,38]描述了核心张量域中HSI的稀疏性，而不是重塑的向量域。进一步的工作[39,40,41]采用稀疏张量分解来表征HSI的稀疏性。然而，这些稀疏约束项无法捕获HSI中的底层结构或处理CSR过程中不需要的噪声和伪影。在我们的方法中，我们尝试通过引入更精细的HSI先验知识来处理这些问题，以完美地提升HSI-CSR性能。

3.通过NTSRLR拟定HSI-CSR

结构稀疏性对于HSI-CSR模型非常重要，该模型通常揭示了空间域上丰富的自竞争结构以及光谱域上高度相关的频带。以前的一些利用非局部先验知识的工作表明，基于非局部自相似性的结构化稀疏性对于图像恢复是相当有效的[18,19]. 然而，HSI-CSR领域的研究工作尚未记录在案。本文通过非局部张量稀疏表示和低阶近似，利用结构稀疏性，提出了HSI-CSR的统一框架。

3.1. 结构稀疏性的非局部张量公式

所提出的结构化稀疏性正则化模型由两个步骤组成：用于表征GCS和NSS的立方体分组和用于稀疏性强制的张量公式。

3.1.1. 非局部结构稀疏性分析

关于HSI下的GCS和NNS，我们对非局部张量稀疏性和低秩进行了分析，如图2首先，对于初始三阶张量HSI

X（X） \in R（右）^{W公司 \times H（H） \times S公司}

（例如。，帕维奥数据集），我们将HSI划分为一组3D全频带立方体（FBC）

{{P（P）}_{我, j个}}_{1 \leq 我 \leq W公司 - w个 + 1, 1 \leq j个 \leq H（H） - 小时 + 1} \in {R（右）}^{w个 \times 小时 \times S公司} (w个 < W公司, 小时 < H（H）)

有重叠。对于示例立方体

{P（P）}_{我, j个}

尺寸为8×8×60，位于空间位置

(我, j个)

在里面图2a标记为红色，我们首先搜索K（K）-1（这里，我们设置K（K）=80）本地窗口内k-NN的相似立方体（例如，70×70），显示为中的k-NN聚类图2b.然后，为了避免破坏高光谱相关性，我们沿着光谱模式将一系列3D立方体展开为相应的2D矩阵(图2c），并获得一个新的三阶张量

{Y（Y）}_{第页}

尺寸为64×80×60，通过堆叠一系列类似物品(图2d），其中

第页 = 1, \dots P（P）

、和P（P）表示组号。这种构造的三阶张量同时利用了空间局部稀疏性（模式1）、立方体之间的非局部相似性（模式2）和强谱相关性（模式3）。这种安排的结果最大限度地利用了非局部张量表示形式的优点。接下来，我们对非局部张量稀疏性和低阶性质给出了直观的解释。

首先，通过对非局部相似立方体群的Tucker分解帕维奥数据集，图2e表示奇异值在核心张量中的位置，其中元素的更红和更蓝的颜色分别表示大值和小值。为了进一步了解张量核的稀疏性，图2（e2）–（e4）给出了三个典型的核心张量切片。很容易发现核心张量满足稀疏性，其82.59%的元素为零。其次，低阶分析沿着其局部空间、非局部空间和全局光谱模式进行，如图2f.显然，三条曲线上奇异值的衰减趋势（粉色、蓝色和绿色曲线分别对应于局部空间模式、非局部空间模式和全局光谱模式）表明三种模式之间存在较强的相关性。相比之下，模式2中曲线的衰减趋势最为剧烈，这与[50]. 根据顶部累积能量比（Aer）的定义k个奇异值[50]计算了三种模式的前10个奇异值，得到了0.8029、0.9031和0.8186的Aers。定量值（即Aers）还表明，通过分组非局部相似立方体，每个立方体可以沿模式2具有强低阶相关性。

3.1.2. 非局部结构稀疏建模

在图2f、我们可以观察到，形成的FBC具有低秩特性，一个容易处理的策略是使用该模式-n个等级

({第页}_{1}, \dots, {第页}_{n个})

用塔克分解估计张量秩[46]. 对于N个四阶张量

X（X）

，塔克等级定义为

等级 (X（X）) : = [等级 ({X（X）}_{(1)}), 等级 ({X（X）}_{(2)}), \dots, 等级 ({X（X）}_{(N个)})]

，其中

{X（X）}_{(我)}

是模式-我的展开

X（X）

[51]. 根据实际应用，核范数是谱范数单位球内矩阵秩的凸包络，进而是张量核范数，

{∥X（X）∥}_{*} = \sum_{n个 = 1}^{N个} {α_{n个} ∥{X（X）}_{(n个)}∥}_{*}

定义为沿每个模式加权展开矩阵核范数。因此，对于每种情况，我们都采用以下松弛形式

{X（X）}_{第页}

基于GCS和NSS来表征低阶属性：

L（左） ({X（X）}_{第页}) = \sum_{我}^{三} α_{我} ∥ {X（X）}_{第页}_{(我)} ∥_{*}

(6)

哪里

∥ {X（X）}_{第页 (我)} ∥_{*} = \sum_{k个 = 1}^{最小值 (米, n个)} σ_{k个} ({X（X）}_{第页 (我)})

表示矩阵的核范数

{X（X）}_{第页 (我)}

大小为

米 \times n个

.

实际上，

{{Y（Y）}_{第页}}_{第页 = 1}^{P（P）}

可能包含一些噪音，数据

{Y（Y）}_{第页}

可以建模为：

{Y（Y）}_{第页} = {X（X）}_{第页} + {W公司}_{第页}

，其中

{X（X）}_{第页}

和

{W公司}_{第页}

分别表示低阶分量和噪声分量。因此，我们可以估计低阶张量

{X（X）}_{第页}

通过以下优化问题：

{X（X）}_{第页} = \underset{{X（X）}_{第页}}{最小值} L（左） ({X（X）}_{第页}), 秒 . t吨 . {∥{Y（Y）}_{第页} - {X（X）}_{第页}∥}_{F类}^{2} \leq ε

(7)

哪里

ε

与噪声级相关。方程式中的模型(7)类似于中的矩阵情况[18]不同之处主要体现在我们考虑了沿局域-非局域空间模式和谱模式的相关性的组合，并测量了三阶张量的低秩

{X（X）}_{第页}

通过每个展开的秩的加权和。此外，考虑到模式2的强非局部空间低阶性，我们在实验中为模式2设置了更大的权重。

此外，如所示图2e、我们详细分析了基于张量稀疏分解的稀疏先验的另一种显著表示形式，这表明我们可以从核张量的角度描述HSI的结构化稀疏性。一些开创性的工作在[42,43,52,53,54]. 在这里，我们注意张量稀疏表示框架下HSI的结构化稀疏性公式，因此每个三阶张量

{X（X）}_{第页}

可以通过以下问题进行近似：

\begin{matrix} \underset{{G公司}_{第页}, {U型}_{1 第页}, {U型}_{2 第页}, {U型}_{三 第页}}{最小值} S公司 ({G公司}_{第页}), 秒 . t吨 . {X（X）}_{第页} = {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三 第页}, {U型}_{我 第页}^{T型} {U型}_{我 第页} = 我 (我 = 1, 2, 三) \end{matrix}

(8)

哪里

{U型}_{1 第页}, {U型}_{2 第页}

、和

{U型}_{三 第页}

是因子矩阵和

S公司 ({G公司}_{第页})

是稀疏约束项，我们假设

S公司 ({G公司}_{第页}) = {∥{G公司}_{第页}∥}_{0}

如中所建议[42,43,52]. 然而，优化问题基于

我_{0}

由方程式推导的约束(8)非凸，研究[53,54]进一步放松

我_{0}

-基于核心稀疏性

我_{1}

大小写为

S公司 ({G公司}_{第页}) = {∥{G公司}_{第页}∥}_{1}

.对应于

我_{1}

案例可以用拉格朗日形式表示如下：

\begin{matrix} \underset{{G公司}_{第页}, {U型}_{1 第页}, {U型}_{2 第页}, {U型}_{三 第页}}{最小值} \frac{λ_{1}}{2} {∥{X（X）}_{第页} - {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三 第页}∥}_{F类}^{2} + λ_{2} {∥{G公司}_{第页}∥}_{1}, 秒 . t吨 . {U型}_{我 第页}^{T型} {U型}_{我 第页} = 我 (我 = 1, 2, 三) \end{matrix}

(9)

哪里

λ_{1}

和

λ_{2}

是权衡参数。本质上，所有因子矩阵都是沿局部-非局部空间模式和谱模式的正交字典。可以看出，张量稀疏表示模型通过自适应多功能学习在不同维度上探索了HSI的GCS和NSS。与矩阵稀疏表示技术的比较[19,20]，张量建模的优点在于，它不仅表征了空间光谱相关性，而且还表征了HSI中非局部相似立方体的相关性。

3.2. 建议的模型

基于前面的分析，我们现在推导出以下模型来解决HSI-CSR问题：

\begin{matrix} \underset{x个, {G公司}_{第页}, {U型}_{1 第页}, {U型}_{2 第页}, {U型}_{三 第页}}{最小值} \sum_{第页 = 1}^{P（P）} & \frac{λ_{1}}{2} {∥{X（X）}_{第页} - {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三 第页}∥}_{F类}^{2} + λ_{2} S公司 ({G公司}_{第页}) + λ_{三} L（左） ({X（X）}_{第页}), \\ 秒 . t吨 . 年 = Φ x个, {U型}_{我 第页}^{T型} {U型}_{我 第页} = 我 (我 = 1, 2, 三) \end{matrix}

(10)

哪里

λ_{三}

是正则化参数。值得注意的是，所提出的模型可以充分利用HSI中空间谱域上的潜在先验信息，因此有望增强HSI-CRS任务。

3.3. 优化算法

对于提议的HSI-CSR模型，我们应用ADMM[44]解决大规模优化问题的有效策略(10). 首先，我们替换

S公司 ({G公司}_{第页})

和

L（左） ({X（X）}_{第页})

使用

{∥{G公司}_{第页}∥}_{1}

和

{∥{X（X）}_{第页}∥}_{*}

，分别介绍P（P）辅助张量

{{M（M）}_{第页}}_{第页 = 1}^{P（P）}

并等价地改写方程(10)如下：

\begin{matrix} \underset{x个, {M（M）}_{第页}, {G公司}_{第页}, {U型}_{1 第页}, {U型}_{2 第页}, {U型}_{三 第页}}{最小值} & \sum_{第页 = 1}^{P（P）} \frac{λ_{1}}{2} {∥{X（X）}_{第页} - {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三 第页}∥}_{F类}^{2} + λ_{2} {∥{G公司}_{第页}∥}_{1} + λ_{三} {∥{M（M）}_{第页}∥}_{*}, \\ 秒 . t吨 . 年 = Φ x个, {M（M）}_{第页} = {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三 第页}, {U型}_{我 第页}^{T型} {U型}_{我 第页} = 我 (我 = 1, 2, 三) \end{matrix}

(11)

然后，其增广拉格朗日函数为：

\begin{matrix} L（左） ({X（X）}_{第页}, {M（M）}_{第页}, {G公司}_{第页}, {U型}_{1 第页}, {U型}_{2 第页}, {U型}_{三 第页}, {Z轴}_{第页}, Λ) = \sum_{第页 = 1}^{P（P）} \frac{λ_{1}}{2} {∥{X（X）}_{第页} - {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三 第页}∥}_{F类}^{2} + λ_{2} {∥{G公司}_{第页}∥}_{1} \\ + λ_{三} {∥{M（M）}_{第页}∥}_{*} + 〈 {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三 第页} - {M（M）}_{第页}, {Z轴}_{第页} 〉 + \frac{λ_{4}}{2} {∥G公司_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三 第页} - {M（M）}_{第页}∥}_{F类}^{2} \\ + 〈 Λ, 年 - Φ x个 〉 + \frac{1}{2} {∥年 - Φ x个∥}_{F类}^{2} \end{matrix}

(12)

哪里

{{Z轴}_{第页}}_{第页 = 1}^{P（P）}

和

Λ

是拉格朗日乘数，

λ_{4}

是正标量。我们将打破等式(12)分为五个子问题，并通过修正其他变量来迭代更新每个变量。

（a）: ${U型}_{1 第页}, {U型}_{2 第页}, {U型}_{三第页}$ 问题：

$\begin{matrix} \underset{{U型}_{1 第页}, {U型}_{2 第页}, {U型}_{三第页}}{最小值} & \frac{λ_{1}}{2} {∥{X（X）}_{第页} - {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页}∥}_{F类}^{2} + 〈 {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页} - {M（M）}_{第页}, {Z轴}_{第页} 〉 \\ + \frac{λ_{4}}{2} {∥G公司_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页} - {M（M）}_{第页}∥}_{F类}^{2}, 秒 . t吨 . {U型}_{我第页}^{T型} {U型}_{我第页} = 我 (我 = 1, 2, 三) \end{matrix}$

(13)

这相当于以下子问题：

$\begin{matrix} \underset{{U型}_{1 第页}, {U型}_{2 第页}, {U型}_{三第页}}{最小值} \sum_{第页 = 1}^{P（P）} {∥G公司 \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页} - {O（运行）}_{第页}∥}_{F类}^{2}, 秒 . t吨 . {U型}_{我第页}^{T型} {U型}_{我第页} = 我 (我 = 1, 2, 三) \end{matrix}$

(14)

哪里 ${O（运行）}_{第页} = \frac{{λ_{1} X（X）}_{第页} + \sum_{我 = 1}^{三} (λ_{4} {M（M）}_{我} - {Z轴}_{我})}{λ_{1} + 三 λ_{4}}$ 可以通过中建议的方法轻松求解[53,54].
（b）: ${G公司}_{第页}$ 子问题：

$\begin{matrix} \underset{{G公司}_{第页}}{最小值} \frac{λ_{1}}{2} {∥{X（X）}_{第页} - {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页}∥}_{F类}^{2} + 〈 {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页} - {M（M）}_{第页}, {Z轴}_{第页} 〉 \\ + \frac{λ_{4}}{2} {∥G公司_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页} - {M（M）}_{第页}∥}_{F类}^{2} + λ_{2} {∥{G公司}_{第页}∥}_{1} \end{matrix}$

(15)

它可以重写为

$\begin{matrix} \underset{{G公司}_{第页}}{最小值} \frac{1}{2} {∥{O（运行）}_{第页} - {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页}∥}_{F类}^{2} + λ_{2} {∥{G公司}_{第页}∥}_{1} \end{matrix}$

(16)

它可以通过基于张量的迭代收缩阈值算法（TISTA）在[53,54].
（c）: ${M（M）}_{第页}$ 子问题：

$\begin{matrix} \underset{{M（M）}_{第页}}{最小值} λ_{三} {∥{M（M）}_{第页}∥}_{*} + 〈 {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页} - {M（M）}_{第页}, {Z轴}_{第页} 〉 + \frac{λ_{4}}{2} {∥G公司_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页} - {M（M）}_{第页}∥}_{F类}^{2}, \end{matrix}$

(17)

它可以简单地重新表述为：

$\begin{matrix} \underset{{M（M）}_{第页}}{最小值} \sum_{我 = 1}^{三} \frac{λ_{三} α_{我}}{λ_{4}} {∥{M（M）}_{第页 (我)}∥}_{*} + \frac{1}{2} {∥ {B类}_{第页} + \frac{{Z轴}_{第页}}{λ_{4}} - {M（M）}_{第页} ∥}_{F类}^{2}, \end{matrix}$

(18)

哪里 ${B类}_{第页} = {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页}$ ，其等效形式为

$\begin{matrix} \underset{{M（M）}_{第页}}{最小值} \sum_{我 = 1}^{三} \frac{λ_{三} α_{我}}{λ_{4}} {∥{M（M）}_{第页 (我)}∥}_{*} + \frac{1}{2} {∥ {B类}_{第页 (我)} + \frac{{Z轴}_{第页 (我)}}{λ_{4}} - {M（M）}_{第页 (我)} ∥}_{F类}^{2}, \end{matrix}$

(19)

如中所建议[51]，其封闭溶液表示为：

$\begin{matrix} {M（M）}_{第页 (我)} = 折叠_{我} [{S公司}_{α_{我} λ_{三} λ_{4}} ({B类}_{第页 (我)} + \frac{{Z轴}_{第页 (我)}}{λ_{4}})], \end{matrix}$

(20)

对于给定的矩阵X（X），奇异值收缩算子 ${S公司}_{τ} (X（X）)$ 定义为 ${S公司}_{τ} (X（X）) : = {U型}_{X（X）} {D类}_{τ} (Σ_{X（X）}) {V（V）}_{X（X）}^{T型}$ ，以及在哪里 $X（X） = {U型}_{X（X）} σ_{X（X）} {V（V）}_{X（X）}^{T型}$ 是的SVDX（X）和 ${D类}_{τ} (一) = sgn公司 (一_{我 j个}) {(|一_{我 j个}| - τ)}_{+}$ .
（d）: x个子问题：

$\begin{matrix} \underset{X（X）}{最小值} \sum_{第页 = 1}^{P（P）} \frac{λ_{1}}{2} {∥{X（X）}_{第页} - {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页}∥}_{F类}^{2} + 〈 Λ, 年 - Φ x个 〉 + \frac{1}{2} {∥年 - Φ x个∥}_{F类}^{2}, \end{matrix}$

(21)

很容易观察到优化L（左）关于x个可以视为求解以下线性系统：

$\begin{matrix} λ_{1} x个 + Φ^{*} (Φ x个) = Φ^{*} (年 - Λ) + λ_{1} v（v） e（电子） c（c） (X（X） - G公司 \times_{1} {U型}_{1} \times_{2} {U型}_{2} \times_{三} {U型}_{三}), \end{matrix}$

(22)

哪里 $G公司 \times_{1} {U型}_{1} \times_{2} {U型}_{2} \times_{三} {U型}_{三} = \sum_{第页 = 1}^{P（P）} {G公司}_{第页} \times_{1} {U型}_{1 第页} \times_{2} {U型}_{2 第页} \times_{三} {U型}_{三第页}$ , $v（v） e（电子） c（c） (\cdot)$ 表示矩阵或张量的矢量化算子，以及 $Φ^{*}$ 表示的伴随词 $Φ$ 显然，这个线性系统可以用众所周知的预处理共轭梯度法求解。
（e）: 更新乘数

$\begin{matrix} \{\begin{matrix} {Z轴}_{第页} = {Z轴}_{第页} + ρ λ_{4} (B类_{第页} - {M（M）}_{第页}) \\ Λ = Λ + ρ (年 - Φ x个) \end{matrix} \end{matrix}$

(23)

哪里 $ρ$ 是一个与值为[1.05–1.1]时的收敛速度相关的参数。提出的HSI-CSR模型的整个优化过程可以概括为算法1，我们将提出的方法缩写为NTSRLR。

算法1。基于HSI-CSR的NTSRLR。

输入：压缩测量值年，测量操作员

Φ

，以及算法的参数。

1：初始化：初始化HSI

{x个}^{(0)}

通过标准CSR方法（例如，基于DCT的CSR）。

2: 对于

我 = 1 : L（左）

做

三：提取张量集

{{X（X）}_{第页}}_{第页 = 1}^{P（P）}

从

{x个}^{(0)}

通过k-NN搜索每个样本立方体；

4: 对于

第页 = 1 : P（P）

做

5:通过ADMM解决问题（12）；

6:正在更新

{U型}_{1 第页}, {U型}_{2 第页}, {U型}_{三 第页}

通过公式(14);

7:正在更新

{G公司}_{第页}

通过方程式(16);

8:正在更新

{M（M）}_{第页}

通过方程式(20);

9:更新乘数

{Z轴}_{第页}

通过方程式(23);

10: 结束于

11:正在更新

{x个}^{(我)}

通过方程式(22);

12:更新乘数

Λ

通过方程式(23);

13: 结束于

输出：CS重建HSI

{x个}^{(L（左）)}

.

4.实验结果与分析

在本节中，在真实的HSI数据集上进行了各种实验，以评估所提出的NTSRLR方法的性能。我们选择了八种常用的比较方法，即三种经典的CS方法，包括StOMP[55]、BCS[56]和基于多维信号的KCS[57]; 基于总变差的LRTV方法[34]和TVAL3[58]; 基于结构稀疏性的HSI-CSR方法与RLPHCS[24]，SRPREC公司[25]和CSFHR[28]; 以及最近的联合张量分解正则化和基于总变分的方法（JTRTV）[40]. 这些方法代表了最先进的HSI-CSR，尤其是LRTV和JTRTV，它们充分考虑了HSI稀疏性先验。在比较实验中，我们使用了参考文献中描述的那些比较方法的默认参数设置。我们采用随机测量矩阵作为所有方法的采样算子。

4.1. 定量指标

为了评估所有方法的HSI-CSR性能，实验中使用了五个定量图像质量指标（PQIs）。第一个指标是平均峰值信噪比（MPSNR），定义为HSI所有频带的平均PSNR，例如。，

\begin{matrix} MPSNR公司 (X（X）, \hat{X（X）}) = \frac{1}{S公司} \sum_{秒 = 1}^{S公司} 峰值信噪比 ({X（X）}^{秒}, {\hat{X（X）}}^{秒}), \end{matrix}

(24)

哪里

{X（X）}^{秒}

和

{\hat{X（X）}}^{秒}

表示秒地面实况的th波段图像

X（X） \in R（右）^{W公司 \times H（H） \times S公司}

重建HSI

\hat{X（X）} \in R（右）^{W公司 \times H（H） \times S公司}

，并且它们都被缩放到范围[0；255]。

第二个指标是平均结构相似度（MSSIM），它基于结构一致性来评估重构HSI和原始HSI之间的相似度，即平均SSIM[59]HSI所有波段中，

\begin{matrix} 毫秒 (X（X）, \hat{X（X）}) = \frac{1}{S公司} \sum_{秒 = 1}^{S公司} SSIM公司 ({X（X）}^{秒}, {\hat{X（X）}}^{秒}), \end{matrix}

(25)

第三个指标，平均特征相似性（MFSIM），强调与原始图像的感知一致性，即平均FSIM[60]HSI所有波段中，

\begin{matrix} MFSIM卡 (X（X）, \hat{X（X）}) = \frac{1}{S公司} \sum_{秒 = 1}^{S公司} FSIM公司 ({X（X）}^{秒}, {\hat{X（X）}}^{秒}), \end{matrix}

(26)

MPSNR、MSSIM和MFSIM这三个指标的高值代表了较好的重建结果。

第四个指标是光谱角映射器（SAM）[61]，计算CS重建HSI和参考HSI在所有空间位置上的谱向量之间的平均角度；其定义如下：

\begin{matrix} 山姆 (X（X）, \hat{X（X）}) = {余弦}^{- 1} (\frac{{x个}^{T型} \hat{x个}}{\sqrt{{x个}^{T型} x个} \sqrt{{\hat{x个}}^{T型} \hat{x个}}}), \end{matrix}

(27)

哪里

x个

和

\hat{x个}

表示基本事实的向量形式

X（X）

重建HSI

\hat{X（X）}

分别是。

第五个指数是Erreur相对全球adimmennelle desynthèse（ERGAS）[62]，其基于每个频带中MSE的加权和来测量CS重构的HSI的保真度，定义如下

\begin{matrix} ERGAS公司 (X（X）, \hat{X（X）}) = 100 \sqrt{\sum_{秒 = 1}^{S公司} \frac{MSE公司 ({X（X）}^{秒}, {\hat{X（X）}}^{秒})}{μ_{{\hat{X（X）}}^{秒}}^{2}}}, \end{matrix}

(28)

哪里

MSE公司 ({X（X）}^{秒}, {\hat{X（X）}}^{秒})

是之间的均方误差

{X（X）}^{秒}

和

{\hat{X（X）}}^{秒}

、和

μ_{{\hat{X（X）}}^{秒}}^{2}

是的平均值

{\hat{X（X）}}^{秒}

与前三个PQI测量值不同，这两个测量值越小表示重建性能越好。

4.2. 无噪声HSI数据集实验

所有方法都在三个HSI上进行评估，即玩具来自CAVE数据集(http://www1.cs.columbia.edu/CAVE/databases/multispectral网站/),帕维奥并已更正印度松树从高光谱遥感场景(http://www.ehu.eus/ccwintco/index.php？title=超光谱-遥感场景). 这个玩具是以10 nm步长（共31个波段）从400 nm到700 nm的全光谱分辨率反射率数据，空间分辨率为512×512。这个帕维奥数据集包含103个波段，包括610×340像素。这个印度松树尺寸为145×145，空间分辨率为10m，通过去除20个被水吸收污染的噪声带，由200个波段组成，其波长范围为400~2500nm，光谱分辨率为10nm。我们对三个HSI数据集进行了实验，主要原因如下。（1）这三个HSI数据集具有更高的空间谱分辨率和更丰富的非局部相似性，这有助于在HSI-CSR模型中使用跨空间谱域的结构化稀疏性。（2）这些HSI是HSI重建中的基准测试数据集，如[21,22,24,25,40,42,43,45,50,53,54]. （3）我们选择了带有分类标签的数据集，印度松树这有助于比较所有方法的分类精度。在实验中，我们为所有的玩具和帕维奥，如所示图3为了验证该方法的性能，考虑了五种不同的采样率（SR），即0.02、0.05、0.10、0.15和0.20。

4.2.1. 视觉质量评估

为了直观地演示该方法的HSI-CSR性能，我们给出了重建的伪彩色图像，其中包括带（25、15、5）、带（55、30、5）和带（23、13、3）玩具,帕维奥和印度松树在0.20、0.10和0.15英寸的采样率下通过所有方法获得图4,图5和图6分别是。我们有以下观察结果。（1）所有竞争方法都取得了较好的重建效果。（2）所提出的方法优于其他方法，如放大的子区域（在红框中描绘）所示，其中大尺度的锐边和小尺度的精细纹理特征被很好地重建，如图所示图4,图5和图6j.（3）StOMP方法在重建过程中产生了严重的噪声，BCS、KCS和CSFHR的结果中细节模糊。而不是

我_{1}

-基于稀疏项，TVAL3利用基于梯度稀疏的TV正则化来保持更精确的边缘，但丢失了许多细节。虽然LRTV同时考虑了数据的梯度稀疏性和低广度，但缺乏对非局部空间信息的有效约束会产生模糊伪影。JTRTV方法是LRTV对高维数据的推广，虽然它可以处理LRTV产生的伪影问题，但它引入了不需要的噪声。RLPHCS和SRPREC基于加权拉普拉斯先验来考虑结构稀疏性。然而，它们的重建结果并不令人满意，这两种方法似乎对HSI-CSR几乎无能为力。我们对RLPHCS和SRPREC的较差性能提供了以下理由：（1）两个HSI-CSR模型使用最大后验框架来学习超参数；参数估计偏差的累积可能导致HSI-CSR性能不佳。（2） RLPHCS和SRPREC算法中收集的字典可能不会过于完整，它们没有充分考虑空间域和谱域上的冗余结构。这证明了NTSRLR技术对HSI-CSR的有效性，极大地保留了HSI的局部细节和结构信息。

4.2.2. 定量评估

在表1和表2，我们提供了使用MPSNR、MSSIM、MFSIM、SAM和ERGAS结果的所有方法在玩具,帕维奥和印度松树。我们在当前和下表中以粗体显示了每种情况下的最佳结果。在所有采样率下，该方法优于其他方法，尤其是PQI优于最近的JTRTV。以采样率

ρ

=0.02，NTSRLR使MPSNR比JTRTV提高至少10 dB玩具，1.3 dB更好帕维奥，2.7 dB更好印度松树。对于

ρ

=0.20，与JTRTV相比，NTSRLR的MPSNR值的平均增益更大，在玩具，开启8 dB帕维奥开启7 dB印度松树三个HSI数据集下的MSSIM、MFSIM、SAM和ERGAS值进一步证实了该方法在所有采样率下的稳健性。虽然LRTV是第二好的方法，但从视觉质量评估来看，它显然仍不如我们的方法。由于NTSRTR通过张量稀疏表示和低秩建模探索了HSI的潜在非局部结构，因此与其他方法相比，它给出了更高的MPNSR、MSSIM和MFSIM值，以及更小的SAM和ERGAS，这些方法只考虑局部或单个稀疏先验。

上所有频带的PSNR、SSIM和FSIM值印度松树欠采样率

ρ

=0.10表示为图7该方法在HSI的大多数频带中都获得了最佳的PSNR、SSIM和FSIM值，这也进一步验证了该方法对所有频带的鲁棒性。为了进一步说明所提出的NTSRLR在频谱重建方面的优势，我们在玩具和帕维奥显示的数据集图8a、 d；计算了所有波段的重建光谱与原始光谱之间的平均反射率差异。这些平均反射率差异的曲线绘制于图8b、 c代表玩具和图8e、 f用于帕维奥很明显，参考和NTSRLR重建之间的反射率差接近于零，比其他比较方法好得多。

4.2.3. 分类性能印度松树数据集

采用不同算法对HSI的分类精度进行了验证，进一步验证了该方法的有效性。在相同的情况下，我们选择了支持向量机（SVM）[63]和总体准确度（OA）分别作为分类器和评价指标。在SVM算法的分类结果中，我们在印度松树从每个类中随机生成10%的训练集来测试分类的准确性。不同HSI-CSR方法在采样率下的分类结果

ρ

=0.20显示在图9a–j。OA如所示表3。如所示图9j、原始HSI中的分类结果呈现连续性，OA为86.37%。如所示图9i、 NTSRLR的分类结果仍显示出连续现象，且NTSRRL的OA更接近参考值。然而，其他方法的分类结果在图像的大多数区域都比较零散，OA值较低。

4.3. HSI-CSR期间噪声抑制的鲁棒性

为了进一步评估所提出的HSI-CSR噪声抑制方法的有效性和稳健性，我们选择城市的数据集(http://www.tec.army.mil/hypercube网站)受到不同程度的混合噪声污染，其大小为307×307，空间分辨率为4m，以10nm的光谱分辨率覆盖400～2400nm范围内的波长。在相同的竞争方法下，我们删除了受大气衰减和水分吸收严重影响的24个波段，最后为数据集保留了186个波段。

我们呈现带（186、131、1）的伪彩色图像，其中输入数据受到高斯噪声和条纹的污染，如所示图10k.StOMP、BCS、CSFHR和TVAL3生成的CSR结果既不能恢复原始HSI，也不能很好地执行去噪任务。相反，RLPHCS和SRPREC方法放大了噪声。虽然KCS、LRTV和JTRTV方法可以在一定程度上抑制噪声，但与NTSRLR相比，它们丢失了边缘和纹理细节。

此外，我们通过显示带1和186的水平平均剖面来进行定量比较城市的中CSR前后的数据集图11和图12图中横轴表示行数，纵轴表示每行的平均灰度值。如所示图11k和图12k、由于噪声的干扰，剖面有很大的波动。CSR之后，波动得到了适度缓解。显然，使用所提出的NTSRLR方法得到的轮廓更自然、更平滑。BCS对应的过平滑轮廓主要是由于图像模糊造成的。这进一步证明了所提出的HSI-CSR噪声抑制方法的有效性和鲁棒性。

在这里，我们给出了理论分析来解释为什么提出的HSI-CSR算法能够同时抑制噪声。主要原因是所提出的NTSRLR对非局部立方体上的联合张量稀疏和低秩约束具有噪声抑制作用。中的工作[64]指的是对给定的非局部相似斑块进行低秩表示，为其更好的图像去噪提供了有益的补救。对于张量数据，当沿着特定模式将张量展开为矩阵时，可以获得相同的结果，NTSRLR模型的非局部张量低阶项可以同时沿着所有模式提供互补的低阶结构，以提高张量数据的去噪性能。因此，可以在一定程度上抑制HSI的噪声。此外，研究是[53,54]证明了张量稀疏模型在多维信号去噪中的有效性，从张量稀疏表示的角度验证了NTSRLR对噪声抑制的积极影响。

请注意，我们删除了所有噪声带，只保留了171个带用于定量评估。表4给出了在0.10、0.15和0.20采样率下所有方法的MPSNR、MSSIM、MFSIM ERGAS和SAM。可以看出，我们的方法不仅恢复了城市的数据集，还保留了更好的光谱信息。

4.4. 单NTSR或NTLR约束的有效性分析

为了进一步证明非局部张量稀疏表示和低阶正则化在我们的模型中的有效性，我们使用帕维奥数据集。第一个实验是在没有非局部张量低秩正则化项的情况下进行CSR，重建的HSI仅通过非局部张量稀疏表示（NTSR）实现。第二个实验是用非局部张量低阶正则化方法重建，但没有NTSR，即NTLR。

图13显示了在0.05至0.20的采样率下，所有方法的MPSNR、MSSIM和SAM的比较结果，间隔为0.05。与其他方法相比，本文提出的NTSRLR在不同采样率下获得了较大的MPSNR和MSSIM，SAM测量的误差较小。特别是，当采样率较小时，NTSRLR的结果明显优于基于单个约束的NTSR和NTLR。从模型中集成了非局部稀疏表示和低秩约束的角度来看，这为该方法的有效性提供了额外的证据。

4.5. 计算复杂性分析

对于输入HSI

X（X） \in {R（右）}^{W公司 \times H（H） \times S公司}

，FBC数量为

P（P） = O（运行） (W公司 H（H）)

，每个FBC组的大小为

w个 小时 \times 秒 \times S公司

，其中秒是每组FBC的数量。计算成本似乎不太小，但相当大P（P）然而，CSRP（P）FBC可以并行处理，每个FBC的计算复杂度相对较小。该算法的计算复杂性主要在于

{M（M）}_{第页 (我)}, {U型}_{我 第页} (我 = 1, 2, 三)

.更新

{U型}_{我 第页}

需要计算的SVD

我_{我} \times 我_{我}

矩阵和更新

{M（M）}_{第页 (我)}

需要计算的SVD

我_{我} \times (\prod_{j个 \neq 我} 我_{j个})

矩阵。相对而言，其他变量

{G公司}_{第页}, x个

并且乘法器更新将不会消耗大量的运行时间。

4.6. 收敛性分析

最后，我们使用玩具和印度松树数据集作为例子，在不同的采样率和不同的初始化下。图14当采样率为0.10时，绘制测试HSI的PSNR与迭代数玩具0.15用于印度松树，使用初始化时

x个 = Φ^{*} 年

和DCT。可以看出，不同的初始化方式可以提供相当接近的解决方案，这表明所提算法的性能对初始化不敏感。然而，这两种初始化方法具有不同的收敛速度，相比之下，通过DCT进行初始化只需要少量迭代即可获得最终的PSNR。因此，我们采用了基于DCT的初始化策略来加速我们的算法。此外，当算法收敛时，PSNR值将变为常数。因此，在实验中，我们为终止条件设置了最大迭代次数。

4.7. 参数分析

有四个参数

{λ_{我}}_{我 = 1}^{4}

在提出的模型中。考虑到非局部张量稀疏性和低秩项的不同作用，我们对帕维奥中的数据集第4.4节MPSNR、MSSIM和SAM的结果表明，非局部张量低阶正则化项在该模型中的作用比非局部张量稀疏表示项更为重要。这意味着应该为非局部张量低秩项分配更大的权重，以平衡这两部分。因此，我们设置

λ_{2} = 1

和

λ_{三} = 10

在我们所有的实验中。相应地，我们可以用

λ_{1}

和

λ_{4}

作为非局部张量稀疏性和低秩忠诚项的折衷；获得更大的价值是合理的

λ_{4}

，然后我们设置

λ_{1} = 0.02

和

λ_{4} = 250

，如中所建议[42].

此外，立方体的空间大小和非局部相似立方体数量是两个关键参数。一些研究[17,18,30,41]报告说，立方体的空间大小和非本地相似立方体数量取决于采样率。采样率越高，HSI丢失的纹理和结构信息越详细。因此，较大的空间尺寸和更多的非局部相似立方体有助于提供额外的知识，以进一步提高HSI重建性能。因此，根据中的参数设置原则[17,18,30,41]，我们将空间大小设置为6×6、7×7、8×8、9×9和10×10

ρ

分别=0.20、0.15、0.10、0.05和0.02；并且相应数量的非局部相似立方体被设置为50、55、60、65和70。

5.结论

本文提出了一种基于非局部张量稀疏表示和低阶正则化的高光谱图像压缩感知重建新方法。该方法考虑了内在结构稀疏性，充分考虑了空间立方体之间的非局部相似性和所有频带之间的全局相关性。每个立方体组包含相似的结构；它基于张量的稀疏性和低阶特性可以被视为非常有价值的先验信息。实验结果表明，该方法在视觉检测、定量和分类准确度评估方面优于现有方法。所提出的方法在噪声抑制方面也具有优越性。我们还得出结论，在我们的模型中，使用非局部张量稀疏表示和低秩来集成约束，而不是只使用其中一种，这是有利的。

作者贡献

所有作者都对方法的设计和实验的验证做出了贡献。J.X写了这篇论文。Y.Z.、W.L.和J.C.-W.C.审查并修订了论文。

基金

这项工作得到了国家自然科学基金（61371152和61771391）、深圳市科技创新委员会（JCYJ20170815162956949）和法兰德斯科学研究基金（FWO）项目G037115N遥感图像分析数据融合。法兰德斯研究基金会（FWO-Vlaanderen）的博士后研究员廖文志（Wenzhi Liao）对其支持表示感谢。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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图1。提出的HSI-CSR算法的流程图，包括两个步骤：感知和重建。首先，它获取压缩测量值年通过随机抽样矩阵

Φ

其次，NTSRLR从测量值中恢复HSI

年 = Φ x个

.

图1。提出的HSI-CSR算法的流程图，包括两个步骤：感知和重建。首先，它获取压缩测量值年通过随机抽样矩阵

Φ

其次，NTSRLR从测量值中恢复HSI

年 = Φ x个

.

图2。HSI中的非局部张量稀疏性和低阶特性分析。

图3。压缩传感实验中使用的HSI：(一)玩具; (b条)帕维亚; 和(c（c）)印度松树.

图3。压缩传感实验中使用的HSI：(一)玩具; (b条)帕维奥; 和(c（c）)印度松树.

图4。在伪彩色图像上的压缩感测重建结果，带（25，15，5）玩具采样率下不同方法得到的图像

ρ

= 0.20.

图4。伪彩色图像的压缩传感重建结果玩具采样率下不同方法得到的图像

ρ

= 0.20.

图5。伪彩色图像的压缩传感重建结果，带（55、30、5）帕维奥采样率下不同方法得到的图像

ρ

= 0.10.

图5。伪彩色图像上的压缩传感重建结果，带（55、30、5）帕维奥采样率下不同方法得到的图像

ρ

= 0.10.

图6。伪彩色图像上的压缩传感重建结果，带（23、13、3）印度松树采样率下不同方法得到的图像

ρ

= 0.15.

图6。伪彩色图像上的压缩传感重建结果，带（23、13、3）印度松树采样率下不同方法得到的图像

ρ

= 0.15.

图7。上每个频带不同方法的PSNR、SSIM和FSIM值比较印度松树采样率下的数据集

ρ

= 0.20.

图7。上每个频带不同方法的PSNR、SSIM和FSIM值比较印度松树采样率下的数据集

ρ

= 0.20.

图8。上的光谱差异比较玩具和帕维奥数据集：(b条,c（c）)不同方法对应蓝绿色矩形标记区域的光谱差异曲线玩具英寸(一)欠采样率

ρ

= 0.05; 和(e（电子）,（f）)不同方法对应于红色和蓝色矩形标记区域的光谱差异曲线帕维奥英寸(d日)欠采样率

ρ

= 0.10.

图8。光谱差异比较玩具和帕维奥数据集：(b条,c（c）)不同方法对应蓝绿色矩形标记区域的光谱差异曲线玩具英寸(一)欠采样率

ρ

= 0.05; 和(e（电子）,（f）)不同方法对应于红色和蓝色矩形标记区域的光谱差异曲线帕维亚英寸(d日)欠采样率

ρ

= 0.10.

图9。的分类结果印度松树采样率下CSR前后的SVM图像

ρ

= 0.20.

图9。的分类结果印度松树采样率下CSR前后的SVM图像

ρ

= 0.20.

图10。噪声带（186、131、1）的伪彩色图像压缩传感重建结果城市的采样率下不同方法得到的图像

ρ

= 0.10.

图10。噪声带（186、131、1）的伪彩色图像压缩传感重建结果城市的采样率下不同方法得到的图像

ρ

= 0.10.

图11。实际噪声第一波段压缩传感重建结果的水平平均剖面城市的采样率下不同方法的HSI数据

ρ

= 0.10.

图11。实际噪声第一波段压缩传感重建结果的水平平均剖面城市的采样率下不同方法的HSI数据

ρ

= 0.10.

图12。实际噪声186波段压缩传感重建结果的水平平均剖面城市的采样率下不同方法的HSI数据

ρ

= 0.10.

图12。实际噪声186波段压缩传感重建结果的水平平均剖面城市的采样率下不同方法的HSI数据

ρ

= 0.10.

图13。不同方法的MPSNR、MSSIM和SAM条在0.05至0.20的采样率下，间隔0.05帕维奥数据集。

图14。验证了所提方法的收敛性。PSNR的进展玩具和印度松树不同采样率下的数据集。

表1。在三个选定的HSI上，在不同采样率下，不同CSR方法的MPSNR、MSSIM和MFSIM。

销售代表	资格预审	方法
		跺脚	BCS公司	KCS公司	激光雷达电视	TVAL3公司	RLPHCS公司	SRPREC公司	联合战术无线电电视台	CSFHR公司	NTSRLR公司
		[55]	[56]	[57]	[34]	[58]	[24]	[25]	[40]	[28]
上的结果玩具
0.02	MPSNR公司	25.27	18.45	23.39	22.08	22.91	13.19	14.40	17.19	25.87	27.81
	MSSIM公司	0.7040	0.3499	0.6565	0.6651	0.6364	0.2089	0.2786	0.1601	0.6639	0.7322
	MFSIM卡	0.8044	0.6937	0.7820	0.8061	0.7397	0.6651	0.6272	0.5033	0.8389	0.8484
0.05	MPSNR公司	29.35	24.63	26.93	26.51	27.63	13.22	13.89	22.65	29.96	34.22
	MSSIM公司	0.8256	0.6672	0.7811	0.7873	0.7817	0.2372	0.1929	0.3374	0.7462	0.8930
	MFSIM卡	0.9189	0.7837	0.8523	0.8783	0.8273	0.6493	0.5480	0.6233	0.8845	0.9423
0.10	MPSNR公司	29.71	28.24	29.94	32.06	31.81	13.06	15.92	29.93	32.35	40.12
	MSSIM公司	0.8416	0.8072	0.8641	0.9233	0.8871	0.2034	0.1267	0.6860	0.8418	0.9640
	MFSIM卡	0.9261	0.8563	0.8987	0.9517	0.9052	0.6163	0.4505	0.8466	0.9255	0.9814
0.15	MPSNR公司	30.90	29.40	31.88	34.99	33.46	13.69	27.79	31.47	34.99	44.52
	MSSIM公司	0.8982	0.8429	0.9025	0.9427	0.9141	0.1993	0.7492	0.7673	0.8985	0.9848
	MFSIM公司	0.9485	0.8777	0.9232	0.9669	0.9282	0.5642	0.9082	0.8894	0.9527	0.9928
0.20	MPSNR公司	31.75	31.63	33.26	40.54	37.65	13.71	25.74	33.39	38.53	47.86
	MSSIM公司	0.9345	0.8845	0.9236	0.9808	0.9593	0.2495	0.7384	0.8504	0.9541	0.9925
	MFSIM卡	0.9617	0.9094	0.9375	0.9876	0.9664	0.6182	0.8942	0.9307	0.9785	0.9965
上的结果帕维亚
0.02	MPSNR公司	28.11	21.74	23.79	23.08	22.99	15.18	14.84	28.04	25.11	29.83
	MSSIM公司	0.7603	0.4767	0.5486	0.6500	0.5014	0.1562	0.0990	0.6708	0.6923	0.8000
	MFSIM卡	0.8246	0.6825	0.6743	0.7974	0.6429	0.6808	0.5758	0.8593	0.8095	0.8884
0.05	MPSNR公司	30.06	24.26	26.59	27.49	25.29	14.38	15.46	35.73	32.74	37.96
	MSSIM公司	0.8571	0.5572	0.6783	0.8099	0.5914	0.1698	0.1266	0.9235	0.8756	0.9551
	MFSIM卡	0.9371	0.7379	0.7854	0.8863	0.7132	0.7123	0.6379	0.9666	0.9442	0.9774
0.10	MPSNR公司	30.40	26.36	29.14	32.99	27.48	15.73	16	37.10	34.36	42.15
	MSSIM公司	0.8223	0.6479	0.7871	0.9158	0.6907	0.1225	0.1157	0.9452	0.9062	0.9794
	MFSIM公司	0.9409	0.7963	0.8606	0.9479	0.7894	0.5930	0.5461	0.9761	0.9583	0.9905
0.15	MPSNR公司	31.59	27.08	30.85	33.81	28.33	26.46	28.29	37.39	36.77	44.55
	MSSIM公司	0.8707	0.6812	0.8422	0.9417	0.7268	0.6771	0.8567	0.9487	0.9417	0.9872
	MFSIM卡	0.9523	0.8137	0.8981	0.9683	0.8165	0.8738	0.9255	0.9778	0.9741	0.9944
0.20	MPSNR公司	32.49	28.54	32.13	40.56	30.46	28.14	35.38	38.03	40.56	46.55
	毫秒	0.9020	0.7445	0.8745	0.9740	0.8057	0.7328	0.9547	0.9548	0.9705	0.9917
	MFSIM卡	0.9594	0.8518	0.9198	0.9862	0.8745	0.8964	0.9800	0.9807	0.9871	0.9965
上的结果印度松树
0.02	MPSNR公司	30.45	33.03	31.46	22.81	30.12	19.51	23.58	30.87	30.85	33.54
	毫秒	0.7487	0.7692	0.7385	0.4916	0.7839	0.2234	0.4025	0.8010	0.8089	0.8202
	MFSIM公司	0.8299	0.8128	0.7337	0.8421	0.8026	0.7149	0.8327	0.8102	0.8500	0.8775
0.05	MPSNR公司	35.70	37.23	33.71	26.77	37.28	16.44	21.01	37.07	36.86	41.15
	MSSIM公司	0.8693	0.8153	0.7763	0.8057	0.8221	0.0920	0.2944	0.9240	0.8671	0.9470
	MFSIM卡	0.8639	0.8554	0.7983	0.8936	0.8517	0.4714	0.8125	0.9475	0.9210	0.9553
0.10	MPSNR公司	40.77	38.97	35.38	34.10	39.66	16.06	25.10	39.29	37.38	44.12
	MSSIM公司	0.9395	0.8427	0.8165	0.9153	0.8606	0.0614	0.5336	0.9338	0.8798	0.9719
	MFSIM卡	0.9420	0.8867	0.8491	0.9440	0.8919	0.3846	0.8317	0.9472	0.9439	0.9750
0.15	MPSNR公司	43.71	39.42	36.39	34.65	40.47	19.62	24.05	39.85	39.27	45.65
	MSSIM公司	0.9465	0.8478	0.8417	0.9248	0.8743	0.4756	0.4416	0.9354	0.9197	0.9810
	MFSIM卡	0.9794	0.8942	0.8743	0.9496	0.9056	0.7956	0.7804	0.9476	0.9569	0.9818
0.20	MPSNR公司	44.92	40.72	37.12	41.66	42.36	20.95	26.07	39.67	41.81	46.96
	MSSIM公司	0.9350	0.8740	0.8601	0.9670	0.9052	0.5259	0.4957	0.9367	0.9475	0.9863
	MFSIM卡	0.9772	0.9179	0.8907	0.9748	0.9349	0.8216	0.7966	0.9465	0.9706	0.9858

表2。在不同采样率下，对三个选定HSI的不同CSR方法进行SAM和ERGAS比较。

销售代表	资格预审	方法
		跺脚	BCS公司	KCS公司	激光雷达电视	TVAL3公司	RLPHCS公司	SRPREC公司	联合战术无线电电视台	CSFHR公司	NTSRLR公司
		[55]	[56]	[57]	[34]	[58]	[24]	[25]	[40]	[28]
上的结果玩具
0.02	山姆	0.3040	0.6548	0.3062	0.5096	0.3888	0.9853	0.9707	0.6599	0.4014	0.2810
0.02	ERGAS公司	165.5	864.5	294.7	362.5	309.7	2411	2740	582.3	178.9	154.8
0.05	山姆	0.2500	0.2781	0.2351	0.3967	0.2886	0.9633	0.9210	0.6532	0.3401	0.2029
0.05	ERGAS公司	147.8	257.3	193.9	204.3	181.9	2064	2536	321.4	141.5	84.65
0.10	山姆	0.2318	0.1968	0.1894	0.2162	0.2080	0.6234	0.8382	0.4129	0.2750	0.1031
0.10	厄加斯	141.94	170.4	136.9	107	113.1	1273	1853	140.3	108.1	35.92
0.15	山姆	0.2629	0.1654	0.1635	0.1940	0.1828	0.4228	0.4562	0.3582	0.2151	0.0998
0.15	ERGAS公司	123.9	148.6	109.9	78.40	93.82	1262	1620	118.5	79.23	28.08
0.20	山姆	0.1123	0.1471	0.1478	0.1112	0.1294	0.3866	0.4250	0.2964	0.1599	0.0733
0.20	ERGAS公司	112.5	116.1	94.29	41.20	58.60	978	1305	95.77	53.85	20.86
上的结果帕维奥
0.02	山姆	0.1819	0.2223	0.1931	0.1576	0.2460	0.9542	0.9950	0.1722	0.1248	0.1128
0.02	ERGAS公司	137.8	345.6	264.4	329	284.3	2537	3585	156.7	153.8	125.8
0.05	山姆	0.1542	0.1749	0.1512	0.1347	0.2021	0.8849	0.9646	0.0817	0.1019	0.0550
0.05	ERGAS公司	123.4	245.2	187.6	153.2	213.4	2079	2997	67.56	96.19	50.98
0.10	山姆	0.1447	0.1417	0.121	0.0862	0.1701	0.7069	0.8168	0.0725	0.0905	0.0389
0.10	ERGAS公司	118.7	188	138.7	90.35	165.2	1858	2425	58.58	80.19	32.53
0.15	山姆	0.1116	0.1326	0.1059	0.0708	0.1596	0.2914	0.2368	0.0708	0.0728	0.0315
0.15	ERGAS公司	103.6	173.3	113.96	77.17	149.8	1247	1921	56.68	61.15	24.90
0.20	山姆	0.0858	0.1178	0.0957	0.0462	0.1359	0.2407	0.0836	0.0674	0.0521	0.0260
0.20	ERGAS公司	93.40	146.2	98.66	38.73	117.7	1231	1427	52.63	41.26	19.74
上的结果印度松树
0.02	山姆	0.1511	0.1622	0.1383	0.2774	0.1246	0.9166	0.9476	0.1075	0.1087	0.0821
0.02	ERGAS公司	143.2	161.8	138.6	759.7	126.5	1723	2297	129.7	198.7	116
0.05	山姆	0.1447	0.0830	0.1063	0.0832	0.0911	0.5668	0.8286	0.0553	0.0723	0.0382
0.05	ERGAS公司	89.48	88.69	119.2	233.2	87.85	1558	1988	64.84	152.6	49.62
0.10	山姆	0.0434	0.0728	0.0888	0.0587	0.0743	0.4821	0.6523	0.0515	0.0659	0.0282
0.10	ERGAS公司	38.77	74.77	96.91	43.08	68.53	1078	1323	58.37	127.4	35.96
0.15	山姆	0.0365	0.0714	0.0799	0.0498	0.0693	0.3914	0.4663	0.0505	0.0549	0.0229
0.15	厄加斯	34.98	72.32	86.24	37.45	62.99	917	1258	56.15	78.07	30.81
0.20	山姆	0.0295	0.0622	0.0741	0.0344	0.0586	0.2749	0.4590	0.0481	0.0553	0.0190
0.20	ERGAS公司	31.39	61.87	79.43	33.59	51.61	366	982	50.78	59.69	27.19

表3。CSR前后的分类性能比较印度松树在不同的采样率下。

销售代表	跺脚	BCS公司	KCS公司	轻轨电视	TVAL3公司	RLPHCS公司	SRPREC公司	联合战术无线电电视台	CSFHR公司	NTSRLR公司	原件
销售代表	[55]	[56]	[57]	[34]	[58]	[24]	[25]	[40]	[28]	NTSRLR公司	原件
0.02	71.19%	50.64%	52.37%	60.96%	51.85%	29.61%	10.51%	20.03%	53.21%	73.69%	86.37%
0.05	75.70%	57.83%	56.18%	69.64%	57.83%	36.66%	13.32%	54.47%	59.17%	77.32%
0.10	76.32%	59.01%	62.01%	71.24%	60.92%	41.82%	14.62%	55.66%	62.98%	79.31%
0.15	78.41%	63.80%	65.80%	77.03%	62.70%	45.53%	45.53%	56.84%	65.24%	80.26%
0.20	80.28%	68.73%	70.73%	79.19%	65.73%	46.57%	57.83%	58.13%	67.70%	81.79%

表4。不同CSR方法的MPSNR、MSSIM、MFSIMs ERGAS和SAM城市的具有不同的采样率。

销售代表	资格预审	方法
		跺脚	BCS公司	KCS公司	轻轨电视	TVAL3公司	RLPHCS公司	SRPREC公司	联合战术无线电电视台	CSFHR公司	NTSRLR公司
		[55]	[56]	[57]	[34]	[58]	[24]	[25]	[40]	[28]
0.10	MPSNR公司	19.63	16.95	23.63	24.76	17.79	22.04	15.13	27.74	26.76	30.88
	MSSIM公司	0.6523	0.4147	0.8152	0.8705	0.4423	0.8155	0.4245	0.8959	0.8933	0.9471
	MFSIM卡	0.8841	0.6918	0.8916	0.9277	0.6562	0.9088	0.7711	0.9561	0.9279	0.9746
	ERGAS公司	280.2	380.4	184.2	159.6	346.3	261.6	480.9	111.5	109.8	76.89
	山姆	0.2884	0.2157	0.1551	0.1197	0.2644	0.2737	0.4775	0.1196	0.1252	0.0682
0.15	MPSNR公司	20.61	17.45	25.78	26.40	18.48	24.16	20.94	27.94	28.27	33.51
	毫秒	0.7088	0.4546	0.8740	0.9134	0.4924	0.8442	0.8306	0.8992	0.9064	0.9662
	MFSIM卡	0.8972	0.7138	0.9242	0.9575	0.6946	0.9284	0.9016	0.9580	0.9582	0.9845
	ERGAS公司	250.4	359.7	145.4	122.9	320	202.4	296.3	108.9	91.23	56.89
	山姆	0.2461	0.2076	0.1310	0.1024	0.2518	0.2202	0.2885	0.1180	0.1075	0.0564
0.20	MPSNR公司	20.93	18.72	27.37	33.26	20.35	25.99	25.24	28.40	30.11	35.62
	MSSIM公司	0.7274	0.5509	0.9051	0.9664	0.6133	0.8583	0.9034	0.9040	0.9275	0.9762
	MFSIM卡	0.9011	0.7645	0.9418	0.9840	0.7810	0.9459	0.9445	0.9608	0.9705	0.9896
	ERGAS公司	241.4	310.8	122.3	59.45	259	165.8	183.7	103.1	67.60	44.66
	山姆	0.2323	0.1879	0.1156	0.0592	0.2207	0.1831	0.1859	0.1149	0.0828	0.0481

分享和引用

MDPI和ACS样式

薛，J。；Zhao，Y。；Liao，W。；陈，J.C.-W。高光谱图像压缩传感重建的非局部张量稀疏表示和低秩正则化。远程传感器。 2019,11, 193.https://doi.org/10.3390/rs11020193

AMA风格

薛杰，赵毅，廖伟，陈JC-W。高光谱图像压缩传感重建的非局部张量稀疏表示和低秩正则化。遥感. 2019; 11(2):193.https://doi.org/10.3390/rs11020193

芝加哥/图拉宾风格

薛、季泽、赵永强、廖文芝和陈昌伟。2019.“高光谱图像压缩传感重建的非局部张量稀疏表示和低秩正则化”遥感11，2号：193。https://doi.org/10.3390/rs11020193

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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高光谱图像压缩传感重建的非局部张量稀疏表示和低秩正则化

摘要

1.简介

2.HSI-CS的符号和背景

2.1. 符号

2.2. HSI-CS背景

3.通过NTSRLR拟定HSI-CSR

3.1. 结构稀疏性的非局部张量公式

3.1.1. 非局部结构稀疏性分析

3.1.2. 非局部结构稀疏建模

3.2. 建议的模型

3.3. 优化算法

4.实验结果与分析

4.1. 定量指标

4.2. 无噪声HSI数据集实验

4.2.1. 视觉质量评估

4.2.2. 定量评估

4.2.3. 分类性能印度松树数据集

4.3. HSI-CSR期间噪声抑制的鲁棒性

4.4. 单NTSR或NTLR约束的有效性分析

4.5. 计算复杂性分析

4.6. 收敛性分析

4.7. 参数分析

5.结论

作者贡献

基金

利益冲突

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