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数学
第7卷
第4版
10.3390/马赫7040364
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第条

包含分数次可合积分算子的Chebyshev型不等式

通过
高哈尔·拉赫曼
1,
扎法尔·乌拉
2,
阿夫塔布·汗
三,
二韩集
4,*和
科塔卡兰·索皮·尼萨尔
5
1
巴基斯坦Khyber Pakhtoon Khwa 18000 Upper Dir Shaheed Benazir Bhutto大学数学系
2
拉合尔教育大学数学系，Dera Ghazi Khan校区54770，巴基斯坦
三
巴基斯坦Khyber Pakhtoon Khwa 18000 Upper Dir Shaheed Benazir Bhutto大学数学系
4
土耳其奥尔杜大学数学系科学与艺术学院，奥尔杜52000
5
沙特阿拉伯瓦迪·阿尔达瓦泽萨塔姆·本·阿卜杜勒阿齐兹王子大学艺术与科学学院数学系，邮编：11991
*
信件应寄给的作者。
数学 2019,7(4), 364;https://doi.org/10.3390/math7040364
收到的提交文件：2019年4月2日/修订日期：2019年4月15日/接受日期：2019年4月16日/发布日期：2019年4月21日
（本文属于特刊特殊功能和应用)
版本注释

摘要

:
自从P.L.切比雪夫在1882年提出了一个有趣的泛函以来，已经建立了许多被称为切比雪夫型不等式的结果。其中一些不等式是通过使用分数积分算子得到的。最近，Jarad等人引入了分数次共形积分算子的一个新变体。受此算子的启发，我们旨在通过使用分数次共定型积分算子，为一类与Chebyshev泛函相关的可微函数建立新的不等式。我们还旨在展示这里的结果与包括黎曼-刘维尔分数阶积分和经典积分在内的结果之间的重要联系。

1.简介

在应用数学中，分数微积分（FC）是处理任意阶导数和积分的一个有影响力的分支[1]. 近年来，在这一领域已经提出了许多理论和结果，但仍有大量的非局部现象有待探索和发现。FC在物理科学的各个领域有许多应用，特别是在扩散方程中[2,三]. 最近的许多论文都提供了FC在不同领域的最新进展[4,5,6,7,8,9].
在[10]，两个可积函数的Chebyshev泛函克和小时，它们是同步的（即。， ( 克 ( x个 ) − 克 ( 年 ) ) ( 小时 ( x个 ) − 小时 ( 年 ) ) ≥ 0 ，对于任何 x个 , 年 ∈ [ 一 , b条 ] )上的 [ 一 , b条 ] ，定义为：
T型 ( 克 , 小时 ) = 1 b条 − 一 ∫ 一 b条 克 ( τ ) 小时 ( τ ) d日 τ − 1 b条 − 一 ∫ 一 b条 克 ( τ ) d日 τ 1 b条 − 一 ∫ 一 b条 小时 ( τ ) d日 τ .
由于函数（1）在数学和统计学中的应用以及与（1）相关的一些不等式（参见，例如[11,12,13,14,15]). 在[16]（另请参见[10])，Chebyshev函数的变体定义为：
T型 ( 克 , 小时 , （f） ) = ∫ 一 b条 （f） ( τ ) d日 τ ∫ 一 b条 （f） ( τ ) 克 ( τ ) 小时 ( τ ) d日 τ − ∫ 一 b条 （f） ( τ ) 克 ( τ ) d日 τ ∫ 一 b条 （f） ( τ ) 小时 ( τ ) d日 τ ,
哪里克和小时在上是可积的 [ 一 , b条 ] 和（f）是上的正可积函数 [ 一 , b条 ] （2）中定义的函数在概率和统计问题中的应用。其在微分和积分方程中的进一步应用见[17,18,19]. 在[11,12,20,21,22,23,24]给出了与泛函（2）有关的几个不等式。在[15]，Dragomir获得了与此函数相关的结果不等式：
∣ T型 ( 克 , 小时 , （f） ) ∣ ≤ ‖ 克 ′ ‖ ‖ 小时 ′ ‖ ∫ 一 b条 （f） ( τ ) d日 τ ∫ 一 b条 τ 2 （f） ( τ ) d日 τ − ∫ 一 b条 τ （f） ( τ ) d日 τ 2 ,
哪里克和小时是可微的并且 克 ′ , 小时 ′ ∈ L（左） ∞ ( 一 , b条 ) 、和（f）在上为正且可积 [ 一 , b条 ] 。在本文中，我们将使用所有连续函数的空间 C类 ( [ 0 , ∞ ) ) 从 [ 0 , ∞ ) 进入之内 R（右） 和 L（左） ∞ ( [ 0 , ∞ ) ) 所有有界函数的空间 克 ( τ ) 在 [ 0 , ∞ ) ，标准定义如下：
‖ 克 ‖ ∞ = 啜饮 τ ∈ [ 0 , ∞ [ ∣ 克 ( τ ) ∣ .
最近，Jarad等人[25]引入了新的分数积分算子，它们是通过Abdeljawad给出的分数积分运算符的思想对R-L、Hadamard和Katuganpola分数积分的推广[26]. 达赫马尼[27]在两个可微函数的情况下，利用R-L分数次积分发展了一些切比雪夫型不等式。在这里，受到Dahmani作品的启发[27]和Jarad等人[25]，我们的目的是利用可微函数建立与分数次共形积分相关的几个切比雪夫型不等式。还考虑了这些结果的一些特殊情况。对于我们的设计，我们回顾了以下一些定义和属性[28]:
定义 1
实值函数 克 ( τ ) , τ ≥ 0 已知在太空中 C类 μ , μ ∈ R（右） 如果存在 第页 ∈ R（右） 这样的话 第页 > μ 和 克 ( τ ) = τ 第页 克 1 ( τ ) 哪里 克 1 ( τ ) ∈ C类 ( [ 0 , ∞ ) ) .
定义 2
A函数 克 ( τ ) , τ ≥ 0 已知在太空中 C类 μ n个 , μ ∈ R（右） ，如果 克 ( n个 ) ∈ C类 μ .
定义 三。
R-L分数阶积分算子 γ ≥ 0 ，对于函数 克 ∈ C类 μ , ( μ ≥ − 1 ) ，由以下公式给出：
我 γ 克 ( x个 ) = 1 Γ ( γ ) ∫ 一 x个 ( x个 − t吨 ) γ − 1 克 ( t吨 ) d日 t吨 ,
其中伽马函数Γ在中给出[29].
以类似的方式，分数次共形积分的定义如下：
定义 4
分数次共形积分 β 我 α 订单的 β > 0 ，对于函数 克 ∈ C类 μ , ( μ ≥ − 1 ) ，定义为：
β 我 α 克 ( τ ) = 1 Γ ( β ) ∫ 0 τ τ α − t吨 α α β − 1 t吨 α − 1 克 ( t吨 ) d日 t吨 ; α > 0 .
显然，人们可以 0 我 α 克 ( τ ) = 克 ( τ ) 和：
β 我 α γ 我 α 克 ( τ ) = β + γ 我 α 克 ( τ ) = γ 我 α β 我 α 克 ( τ ) .
有关更多详细信息，请参阅[25,30].
备注 1
分数次共形积分算子的特殊情况 β 我 α 克 ( z ) 在（5）中，当 α = 1 直接归结为Riemann–Liouville分数算子。

2.主要成果

在本节中，定义于 [ 0 , ∞ ) 引入了分数次共形积分算子。
定理 1
设g和h是上的两个可微函数 [ 0 , ∞ ) 这样的话 克 ′ , 小时 ′ ∈ L（左） ∞ ( [ 0 , ∞ ) ) 则以下不等式适用于所有人 τ > 0 , α , β > 0 :
∣ τ α β α β Γ ( β + 1 ) β 我 α 克 小时 ( τ ) − β 我 α 克 ( τ ) β 我 α 小时 ( τ ) ∣ ≤ ‖ 克 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ τ α β α β Γ ( β + 1 ) β 我 α τ 2 − ( β 我 α τ ) 2 .
证明。 
让：
H（H） ( u个 , v（v） ) = ( 克 ( u个 ) − 克 ( v（v） ) ) ( 小时 ( u个 ) − 小时 ( v（v） ) ) ; u个 , v（v） ∈ ( 0 , τ ) .
将（7）乘以 1 Γ ( β ) τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 然后结合u个结束 ( 0 , τ ) ，我们有：
  1 Γ ( β ) ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 H（H） ( u个 , v（v） ) d日 u个 = β 我 α 克 小时 ( τ ) − 克 ( v（v） ) β 我 α 小时 ( τ ) − 小时 ( v（v） ) β 我 α 克 ( τ ) + 克 ( v（v） ) 小时 ( v（v） ) τ α β α β Γ ( β + 1 ) .
再次将（8）乘以 1 Γ ( β ) τ α − v（v） α α β − 1 v（v） α − 1 然后结合v（v）结束 ( 0 , τ ) ，我们有：
  1 Γ 2 ( β ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α β − 1 v（v） α − 1 H（H） ( u个 , v（v） ) d日 u个 d日 v（v） = 2 τ α β α β Γ ( β + 1 ) β 我 α 克 小时 ( τ ) − β 我 α 克 ( τ ) β 我 α 小时 ( τ ) .
此外，另一方面，我们得到：
H（H） ( u个 , v（v） ) = ∫ u个 v（v） ∫ u个 v（v） 克 ′ ( x个 ) 小时 ′ ( τ ) d日 x个 d日 τ .
作为 克 ′ , 小时 ′ ∈ L（左） ∞ ( [ 0 , ∞ ) ) ，因此我们有：
∣ H（H） ( u个 , v（v） ) ∣ ≤ ∣ ∫ u个 v（v） 克 ′ ( x个 ) d日 x个 ∣ ∣ ∫ u个 v（v） 小时 ′ ( τ ) d日 τ ∣ ≤ ‖ 克 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ ( u个 − v（v） ) 2 .
因此，我们可以写下：
  1 Γ 2 ( β ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α β − 1 v（v） α − 1 ∣ H（H） ( u个 , v（v） ) ∣ d日 u个 d日 v（v） ≤ ‖ 克 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ Γ 2 ( β ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α β − 1   × v（v） α − 1 ( u个 2 − 2 u个 v（v） + v（v） 2 ) d日 u个 d日 v（v） .
从（12）中，我们估计了以下不等式：
  1 Γ 2 ( β ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α β − 1 v（v） α − 1 ∣ H（H） ( u个 , v（v） ) ∣ d日 u个 d日 v（v） ≤ 2 ‖ 克 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ τ α β α β Γ ( β + 1 ) β 我 α τ 2 − ( β 我 α τ ) 2 .
因此，（9）和（13）给出了预期结果（6）。□
定理 2
设g和h是上的两个可微函数 [ 0 , ∞ ) ∋ 克 ′ , 小时 ′ ∈ L（左） ∞ ( [ 0 , ∞ ) ) 随后的不平等适用于所有人 τ > 0 , α , β , μ > 0 ;
  | τ α β α β Γ ( β + 1 ) β 我 α 克 小时 ( τ ) + τ α μ α μ Γ ( μ + 1 ) μ 我 α 克 小时 ( τ )   − β 我 α 克 ( τ ) μ 我 α 小时 ( τ ) − μ 我 α 克 ( τ ) β 我 α 小时 ( τ ) | ≤ ‖ 克 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ τ α β α β Γ ( β + 1 ) μ 我 α τ 2 − 2 ( β 我 α τ ) ( μ 我 α τ ) + τ α μ α μ Γ ( μ + 1 ) β 我 α τ 2 .
证明。 
将（8）乘以 1 Γ ( μ ) τ α − v（v） α α μ − 1 v（v） α − 1 然后结合v（v）结束 ( 0 , τ ) ，我们有：
  1 Γ ( β ) Γ ( μ ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α μ − 1 v（v） α − 1 H（H） ( u个 , v（v） ) d日 u个 d日 v（v） = ( τ α β α β Γ ( β + 1 ) μ 我 α 克 小时 ( τ ) + τ α μ α μ Γ ( μ + 1 ) β 我 α 克 小时 ( τ )   − β 我 α 克 ( τ ) μ 我 α 小时 ( τ ) − μ 我 α 克 ( τ ) β 我 α 小时 ( τ ) ) .
根据关系（11），我们得到：
1 Γ ( β ) Γ ( μ ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α μ − 1 v（v） α − 1 ∣ H（H） ( u个 , v（v） ) ∣ d日 u个 d日 v（v） ≤ ‖ 克 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ Γ ( β ) Γ ( μ ) × ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α μ − 1 v（v） α − 1 ( u个 2 − 2 u个 v（v） + v（v） 2 ) d日 u个 d日 v（v） .
从（15）和（16）中，我们得到了所需的结果（14）。□
备注 2
如果我们选择 β = μ 在定理2中，我们得到了定理1。
定理 三。
设g和h是上的两个可微函数 [ 0 , ∞ ) 具有 小时 ′ ( τ ) ≠ 0 , τ ∈ [ 0 , ∞ ) .让它存在 K（K） > 0 这样的话 克 ′ ( τ ) 小时 ′ ( τ ) ≤ K（K） 随后的不平等适用于所有人 τ > 0 , α , β , μ > 0 ;
  ∣ τ α β α β Γ ( β + 1 ) β 我 α 克 小时 ( τ ) + τ α μ α μ Γ ( μ + 1 ) μ 我 α 克 小时 ( τ )   − β 我 α 克 ( τ ) μ 我 α 小时 ( τ ) − μ 我 α 克 ( τ ) β 我 α 小时 ( τ ) ∣ ≤ K（K） τ α β α β Γ ( β + 1 ) μ 我 α 小时 2 ( τ ) − 2 ( β 我 α 小时 ( τ ) ) ( μ 我 α 小时 ( τ ) ) + τ α μ α μ Γ ( μ + 1 ) β 我 α 小时 2 ( τ ) .
证明。 
让克和小时遵循定理3的条件。然后，根据拉格朗日中值定理的推广 u个 , v（v） ∈ [ 0 , τ ] ; 小时 ( u个 ) ≠ 小时 ( v（v） ) , τ > 0 ，存在一个常量c（c）之间u个和v（v）这样：
克 ( u个 ) − 克 ( v（v） ) 小时 ( u个 ) − 小时 ( v（v） ) = 克 ′ ( c（c） ) 小时 ′ ( c（c） ) .
因此，对于每个 u个 , v（v） ∈ [ 0 , τ ] ，我们有：
∣ 克 ( u个 ) − 克 ( v（v） ) ∣ ≤ K（K） ∣ 小时 ( u个 ) − 小时 ( v（v） ) ∣ .
因此：
∣ H（H） ( u个 , v（v） ) ∣ ≤ K（K） 小时 ( u个 ) − 小时 ( v（v） ) 2 .
因此，我们有：
1 Γ ( β ) Γ ( μ ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α μ − 1 v（v） α − 1 ∣ H（H） ( u个 , v（v） ) ∣ d日 u个 d日 v（v） ≤ K（K） Γ ( β ) Γ ( μ ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α μ − 1 × v（v） α − 1 ( 小时 2 ( u个 ) − 2 小时 ( u个 ) 小时 ( v（v） ) + 小时 2 ( v（v） ) ) d日 u个 d日 v（v） .
因此，从（18）中，我们得到了所需的不等式。□
推论 1
设g和h是上的两个可微函数 [ 0 , ∞ ) 具有 小时 ′ ( τ ) ≠ 0 , τ ∈ [ 0 , ∞ ) .让它存在 K（K） > 0 这样的话 克 ′ ( τ ) 小时 ′ ( τ ) ≤ K（K） 则以下不等式适用于所有人 τ > 0 , α , β > 0 :
  ∣ τ α β α β Γ ( β + 1 ) β 我 α 克 小时 ( τ ) − β 我 α 克 ( τ ) β 我 α 小时 ( τ ) ∣ ≤ K（K） τ α β α β Γ ( β + 1 ) β 我 α 小时 2 ( τ ) − ( β 我 α 小时 ( τ ) ) 2 .
证明。 
拿 μ = β 在定理3中，我们得到了期望的推论。□
备注 三。
如果我们考虑 α = 1 在定理1-3中，我们得到了Dahmani的结果[27]. 同样，如果我们采取 α = β = 1 然后我们得到经典不等式[15].
现在，我们证明定理1和2的进一步推广。
定理 4
设f为上的正函数 [ 0 , ∞ ) g和h是两个具有相同变化意义的可微函数 [ 0 , ∞ ) .如果 克 ′ , 小时 ′ ∈ L（左） ∞ ( [ 0 , ∞ ) ) 则以下不等式适用于所有人 τ > 0 , α , β > 0 :
  0 ≤ β 我 α （f） ( τ ) β 我 α （f） 克 小时 ( τ ) − β 我 α （f） 克 ( τ ) β 我 α （f） 小时 ( τ ) ≤ ‖ 克 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ β 我 α （f） ( τ ) β 我 α τ 2 （f） ( τ ) − ( β 我 α τ （f） ( τ ) ) 2 .
证明。 
定义：
H（H） ( u个 , v（v） ) = ( 克 ( u个 ) − 克 ( v（v） ) ) ( 小时 ( u个 ) − 小时 ( v（v） ) ) ; u个 , v（v） ∈ ( 0 , τ ) , τ > 0 = 克 ( u个 ) 小时 ( u个 ) − 克 ( u个 ) 小时 ( v（v） ) − 克 ( v（v） ) 小时 ( u个 ) + 克 ( v（v） ) 小时 ( u个 ) .
自克和小时满足定理4的条件，因此我们得到：
H（H） ( u个 , v（v） ) ≥ 0 .
将（21）的两侧乘以 1 Γ ( β ) ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 （f） ( u个 ) 并将所得恒等式与u个从0– τ ，我们有：
  1 Γ ( β ) ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 （f） ( u个 ) H（H） ( u个 , v（v） ) d日 u个 = β 我 α （f） 克 小时 ( τ ) − 小时 ( v（v） ) β 我 α （f） 克 ( τ ) − 克 ( v（v） ) β 我 α （f） 小时 ( τ ) + 克 ( v（v） ) 小时 ( v（v） ) β 我 α （f） ( τ ) ≥ 0 .
再次将（23）乘以 1 Γ ( β ) ∫ 0 τ τ α − v（v） α α β − 1 v（v） α − 1 （f） ( v（v） ) 并将所得恒等式与v（v）从0– τ ，我们有：
  1 2 Γ 2 ( β ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α β − 1 v（v） α − 1 （f） ( u个 ) 小时 ( v（v） ) H（H） ( u个 , v（v） ) d日 u个 d日 v（v） = β 我 α （f） ( τ ) β 我 α （f） 克 小时 ( τ ) − β 我 α （f） 克 ( τ ) β 我 α （f） 小时 ( τ ) ≥ 0 .
从（11）开始，我们有：
  1 Γ 2 ( β ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α β − 1 v（v） α − 1 （f） ( u个 ) （f） ( v（v） ) ∣ H（H） ( u个 , v（v） ) ∣ d日 u个 d日 v（v） ≤ ‖ 克 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ Γ 2 ( β ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α β − 1 v（v） α − 1 （f） ( u个 ) （f） ( v（v） ) ( u个 2 − 2 u个 v（v） + v（v） 2 ) d日 u个 d日 v（v） .
因此，如下所示：
  1 Γ 2 ( β ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α β − 1 v（v） α − 1 （f） ( u个 ) （f） ( v（v） ) ∣ H（H） ( u个 , v（v） ) ∣ d日 u个 d日 v（v） ≤ 2 ‖ 克 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ β 我 α （f） ( τ ) β 我 α τ 2 （f） ( τ ) − ( β 我 α τ （f） ( τ ) ) 2 .
根据（24）和（26），我们得到了所需的证明。□
备注 4
拿 H（H） ( τ ) = 1 在定理4中，我们得到了定理1。同样，采取 α = β = 1 ，我们得到不平等（2）。
定理 5
让积极作用 [ 0 , ∞ ) 作为f和g，h是两个具有相同变化意义的可微函数 [ 0 , ∞ ) .如果 克 ′ , 小时 ′ ∈ L（左） ∞ ( [ 0 , ∞ ) ) 则以下不等式适用于所有人 τ > 0 , α , β , μ > 0 :
  0 ≤ β 我 α （f） ( τ ) μ 我 α （f） 克 小时 ( τ ) + μ 我 α （f） ( τ ) β 我 α （f） 克 小时 ( τ ) − β 我 α （f） 克 ( τ ) μ 我 α （f） 小时 ( τ ) − μ 我 α （f） 克 ( τ ) β 我 α （f） 小时 ( τ ) ≤ ‖ 克 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ β 我 α （f） ( τ ) μ 我 α τ 2 （f） ( τ ) − 2 ( β 我 α τ （f） ( τ ) ) ( μ 我 α τ （f） ( τ ) ) + μ 我 α （f） ( τ ) β 我 α τ 2 （f） ( τ ) .
证明。 
定义：
H（H） ( u个 , v（v） ) = ( 克 ( u个 ) − 克 ( v（v） ) ) ( 小时 ( u个 ) − 小时 ( v（v） ) ) ; u个 , v（v） ∈ ( 0 , τ ) , τ > 0 .
乘法 1 Γ ( β ) ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 （f） ( u个 ) 在（28）的两边，并结合关于u个从0– τ ，我们有：
  1 Γ ( β ) ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 （f） ( u个 ) H（H） ( u个 , v（v） ) d日 u个 = β 我 α （f） 克 小时 ( τ ) − 克 ( v（v） ) β 我 α （f） 克 ( τ ) − 克 ( v（v） ) β 我 α （f） 小时 ( τ ) + 克 ( v（v） ) 小时 ( v（v） ) β 我 α （f） ( τ ) ≥ 0 .
再次将（29）乘以 1 Γ ( μ ) ∫ 0 τ τ α − v（v） α α μ − 1 v（v） α − 1 （f） ( v（v） ) 并将所得恒等式与v（v）从0– τ ，我们有：
  1 Γ ( β ) Γ ( μ ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α μ − 1 v（v） α − 1 （f） ( u个 ) （f） ( v（v） ) H（H） ( u个 , v（v） ) d日 u个 d日 v（v） = μ 我 α （f） ( τ ) β 我 α （f） 克 小时 ( τ ) + β 我 α （f） ( τ ) μ 我 α （f） 克 小时 ( τ ) − β 我 α （f） 克 ( τ ) μ 我 α （f） 小时 ( τ ) − μ 我 α （f） 克 ( τ ) β 我 α （f） 小时 ( τ ) ≥ 0 .
根据关系（10）和（11），我们得出：
  1 Γ ( β ) Γ ( μ ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α μ − 1 v（v） α − 1 （f） ( u个 ) （f） ( v（v） ) ∣ H（H） ( u个 , v（v） ) ∣ d日 u个 d日 v（v） ≤ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ Γ ( β ) Γ ( μ ) ∫ 0 τ ∫ 0 τ τ α − u个 α α β − 1 u个 α − 1 τ α − v（v） α α μ − 1 v（v） α − 1 （f） ( u个 ) （f） ( v（v） ) ( u个 2 − 2 u个 v（v） + v（v） 2 ) d日 u个 d日 v（v） = ‖ 克 ′ ‖ ∞ ‖ 小时 ′ ‖ ∞ β 我 α （f） ( τ ) μ 我 α τ 2 （f） ( τ ) + μ 我 α （f） ( τ ) β 我 α τ 2 （f） ( τ ) − 2 ( β 我 α τ （f） ( τ ) ) ( μ 我 α τ （f） ( τ ) ) .
因此，从（30）和（31）中，我们得到了所需的证明。□
备注 5
拿 μ = β ，我们得到定理4。同样，采取 （f） ( τ ) = 1 在定理5中，我们得到了定理2。

3.结论

本文引入了一类与切比雪夫泛函有关的可微函数的不等式，这些可微函数是通过分数次共形积分算子连接起来的。本文中获得的不等式比本文引用的现有经典不等式更为普遍。这项工作将通过以下方式简化为一类可微函数的不等式，其中包括Riemann–Liouville分数次积分算子 α = 1 ，之前由[16,27]. 此外，可以通过以下方式获得经典结果 α = β = 1 ，在中介绍[15].

作者贡献

概念化、G.R.和K.S.N。；方法论，A.K。；验证、欧盟和欧盟。；形式分析，K.S.N.和G.R。；书面原稿编制、G.R.和K.S.N。；书面审查和编辑、K.S.N.和E.S。；监督，A.K。；融资收购，Z.U。

基金

这项研究没有得到外部资助。

致谢

第一和第三作者感谢巴基斯坦高等教育委员会在启动研究拨款项目下对这项工作的支持。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

参考文献

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分享和引用

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拉赫曼G、乌拉Z、可汗A、E组、尼萨尔KS。涉及分数次可合积分算子的某些切比雪夫型不等式。数学. 2019; 7(4):364.https://doi.org/10.3390/math7040364

芝加哥/图拉宾风格

拉赫曼、高哈尔、扎法尔·乌拉、阿夫塔布·汗、埃尔汉·塞特和科塔卡兰·索皮·尼萨尔。2019.“涉及分数次可合积分算子的某些切比雪夫型不等式”数学第7、4期：364。https://doi.org/10.3390/math7040364

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