1.简介
雅各布斯塔尔序列由定义第一项由0、1、1、3、5、11、21、43、85、171、341、683、1365、2731、5461、10923、21845、43691([1]和([2]，A001045））。雅各布斯塔尔[三]可能从未见过此序列的实际值。然而，霍拉达姆[4]使用名称“Jacobsthal序列”；如此重要的序列需要一个名称。在中可以找到许多属性和标识([1]，第44章）。 在本文中，对于固定整数，我们考虑以下形式的线性丢番图方程例如，当和，方程式有三种不同的非负解（表示）：,和然而，不是有三个解的最大整数，但是最大的。这意味着所有人，线性方程至少有四种解决方案。我们对这样一个最大整数的显式形式感兴趣N个。 更一般地说，对于正整数具有和N个，我们将考虑线性方程对于给定的非负整数第页，最大整数N个，例如线性方程(2)最多有个第页不同的非负解（表示）称为p-Frobenius数并用表示[5,6,7]. 什么时候？，0-弗罗贝尼乌斯数称为弗罗贝尼乌斯数，这样的问题称为Frobenius的线性丢番图问题这个问题，也称为邮票交换问题或鸡肉麦金块问题，长期以来以各种方式吸引了许多人。人们从不同角度对此问题进行了大量研究，但我们感兴趣的是封闭公式的表达。确实，当，对于两个变量，Sylvester得到了显式。但是，对于三个（或更多）变量已经找到了，但Frobenius数不能由任何一组可以简化为某些多项式的有限集的封闭公式给出[8]. 仅发现了一些特殊情况下的显式闭合公式，包括算术公式、几何公式、斐波那契公式、梅森公式和三角形公式（参见[9,10,11,12,13,14,15]以及其中的参考）。什么时候？，情况更加严峻。对于两个变量，我们知道然而，对于三个或更多变量，还没有找到具体的例子。最近，我们终于成功地提供了第页-Frobenius数作为三角数三元组的闭式表示[5]. 上的结果第页-Repnits的Frobenius数[6]和斐波那契三元组[16]也将可用。 在本文中，我们发现了第页-线性方程的Frobenius数(1). 具体来说，我们给出了第页-关于Frobenius数字第页-Frobenius数字，和一般第页什么时候。 西尔维斯特数（或属）与弗罗贝尼乌斯数同样重要。也就是说，正整数的数量N个这样线性方程(2)最多有第页非负整数解称为p-Sylvester数（或p-属)，表示为.何时，0-西尔维斯特数是原始西尔维斯特数。亏格的概念在研究代数几何，特别是代数曲线时非常重要。与Frobenius数类似，Sylvester得到了显式，但对于三个（或更多）变量已找到。如果问题也变得更加困难。 在本文中，我们还发现了第页-线性方程的亏格(1). 为了计算两者第页-Frobenius数和第页-亏格，我们分析了第页-Apéry套装。这个框架部分类似于斐波那契三元组[16]，但完整的描述需要细致的逐个案例比较。 在本文中，使用了雅可比数的一些已知恒等式。其中两个最重要的是（练习12[1]（第44章）和（练习26英寸[1]，[第44章]）。 2.初步结果
对于整数，设置整数第页和Ş通过 备注 1 什么时候？也就是说，，我们有。
定理 2 什么时候？也就是说，()，我们有 备注 2 关于与、身份(4)、（5）和（6）可以写成分别是。 定理 三。 什么时候？，也就是说，(：奇数）或(：偶数），我们已经 备注 三。 关于与、身份(8)（9）、（10）和（11）可以写成分别是。 定理 4 对于，我们有什么时候？也就是说，()，我们有 备注 4 关于与、身份(13)、（14）和（15）可以写成分别是。 3.前期工作
在不失一般性的情况下，我们假设对于每个，我们引入正整数与…一致我模，表示的数量大于或等于和的小于或等于第页。请注意定义为0。这套被称为p-Apéry集属于对于非负整数第页（请参见[17])，全等，模，到集合 什么时候？，0-Apéry集是原始Apé）集。
如果你能知道第页-Apéry集，我们可以获得第页-Frobenius数和第页-间隙(第页-西尔维斯特数）。更通用的形式可参见[7]. 引理 1 设k和p是整数和。
假设.我们有 通过使用GAP包数字gps[18]（作者感谢佩德罗·加西亚·桑切斯教授的亲切指导），第页-Jacobthal三元组的Frobenius数可以系统地得到。 gap>jacob:=函数（n）
>如果n＝0，那么
>返回0；
>elif n在[1,2]中
>返回1；
>其他
>返回jacob（n-1）+2*jacob；
>fi；
>结束；
函数（n）…end
间隙>雅各布（15）；
10923
间隙>设置（[3..10]，i->FrobeniusNumber（DenumerantIdeal
（数值半群（jacob（i），jacob，i+2），jacomb（2*i-1），3））；
[118, 145, 718, 2960, 12430, 50064, 202638, 811920 ]
例如，（在50064之前，很快就可以获得这些值。然而，即使使用GAP，也需要几个小时才能获得811920。） 我们可以得到1-Apéry集和每个元素的表示。例如，对于，我们可以得到1-Apéry集，每个元素正好有两个表示。例如，。
gap>s：=数字半群（11,43171）；
间隙>s1:=数值理想（s，1）；
gap>AperyList（s1,11）；
[385, 386, 387, 344, 301, 258, 215, 513, 514, 471, 428 ]
gap>因子分解ElementListWRTNumericalSemigroup（AperyList（s1,11）
，s）；
[[0，1，2]，[35，0，0]，[[0，5，1]，[4，0，2]]，[[0，9，0]，[4，4，1]]，
[[0, 8, 0 ], [4, 3, 1 ]], [[0, 7, 0 ], [4, 2, 1 ]], [[0, 6, 0 ], [4, 1, 1 ]],
[[0，5，0]，[4，0，1]]，[[0，0，3]，[31，4，0]，[[0，4，2]，[35，3，0]，
[[0，3，2]，[35，2，0]]，[[0，2，2]，[35，1，0]]]
4.主要结果证明
给定两个Jacobsthal数和，个整数第页和Ş由以下因素唯一确定 定理的证明 1 自()，用于和或和，我们有每个元素属于。请参阅图表1也就是说，意味着和.何时，最大的可能元素是.何时，最大的可能元素是或，以及等于因此，由(17)，我们得到了预期的结果。 □ 定理的证明 2 首先，假设.因为有三种同余关系我们可以得到1-Apéry集从0-Apéry集合，其中.签署人，我们可以看到有两种不同的表达方式: 关于集合中的最大值，如中所示图表2，共有四名候选人：自()，我们可以知道因此，进行比较就足够了和.自等于，我们有身份(7)。 身份(4)，（5）和（6）由该情况得出在这种情况下，1-Apéry集元素的排列有两种不同的模式：或。 案例 1 什么时候？，也就是说，，0-Apéry集合和1-Apéry集合的所有元素都在一条唯一的线上，如所示图3。0-Apéry集合和1-Apé）集合中的每个元素之间的关系如下。1-Apéry集合中的每个元素正好有两种表示形式，因为 因此，1-Apéry集的最大元素是请注意在以下情况下有效或和我是均匀的。由(17)，我们获得了身份(4)和身份（5）我是均匀的。 案例 2 什么时候？也就是说，，1-Apéry集合的一些元素位于第二行，如所示图表4。0-Apéry集和1-Apé）集中的每个元素之间有两种对应关系：()和(). 1-Apéry集合中的每个元素正好有两种表示形式，因为和用于 因此，关于1-Apéry集的最大元素，有两种可能性：和.自意味着，条件仅在以下情况下有效或和我很奇怪。什么时候？，唯一的可能性是，生成身份（6）。什么时候？（和我奇数），由，当我很奇怪。 □
定理的证明 三。 什么时候？，2-Apéry集的元素也是通过使用第三个块（参见图5). 除了顶行中的元素外，1-Apéry集中的每个元素都对应于2-Apáry集中具有相同剩余模的元素这样它会向上移动一步并移动到右侧块。只有顶行1-Apéry中的元素与具有相同残差的2-Apé）集合中的元素相对应，以便它们按顺序排列，以填充最左侧块（第一个块）底部的间隙。 案例 1 什么时候？，2-Apéry集合的元素被放置在第一个块的下面，第二个块的下方，以及整个第三个块，如所示图表6注意，当，第三个块仅由一行组成或更少的元素。 第一个块的下两行中的每个元素（或只有一行包含元素）只能用三种方式表示,和和分别与第二块模的顶行中的元素同余.第二个块的下两行中的每个元素（或只有一行包含元素）只能用三种方式表示,和分别与第一块模底部第二行中的元素同余第三块的每个元素也只有三种表示方式,和，第二个块的每个元素（第一行除外）都有一个同余关系，上移了一步。
关于，共有六名候选人：自(),因此，我们获得因此，最大值必须为或.如果，中的最大值是.如果，中的最大值是.签署人(17)，我们获得了身份(12)。 案例 2 什么时候？，有两种模式取决于或。
如果然后，所以。
然而，通过,因此，这种情况不存在。如果，由，唯一的可能性是和我是均匀的。如所示图7，有四个候选值: 自什么时候我是偶数，由我们有 案例 三。 什么时候？，有三种模式，具体取决于,或.如果，我们看到了。如所示图表8，最大值是.签署人(17)，我们获得了身份(8)。 如果也就是说，，连同，唯一的可能性是和我是偶数。如所示图表9，的最大值是或。自即使如此我，我们有.签署人(17)，当我是均匀的。 如果，由，我们看到了或和我很奇怪。如所示图10，最大值是或.何时（和我很奇怪），我们有.何时，我们有.签署人(17)，当我分别是奇数和恒等式（10）。 □ 定理的证明 4 什么时候？，将对结构进行系统分析，如果相反，如果，描述一点也不简单，因为需要对每个案例进行细致的讨论。在这里，我们概述了以便在后面的部分中进行概括。
在图11，ⓝ表示中元素的面积。这里，每个，令人满意()，至少可以表示为方式，但最多在n个方式。每个元素存在于第二块到第四块中的元素对应于具有相同残留物的每个元素以向上移动一步的形式存在于紧邻其左侧的区块中。这个的元素存在于第一个块底部的两行（或一行）以上对应于具有相同残留物的元素在第三个街区的顶部。因此，由于形成一个完整的剩余系统我们省略了细节，但可以看出有四种表达方式,，以及。在每个区域内，最右边（右下）的元素是最大的，所以通过比较这些元素可以找到。 最终来自第一个街区，也就是，或因此，如果，然后.如果，然后。请注意意味着具有。 □
5.概述第页案例
让第页是给定的非负整数。什么时候？通过重复前面定理中的相同过程，我们可以得到第页-弗罗贝尼乌斯数。
定理 5 让p是非负整数。什么时候？具有，我们有 然而，当，情况一点也不简单。我们确实需要逐案讨论。这取决于第页-Apéry set继续出现。0-Apéry集的元素由图表2连续地按1-Apéry集和2-Apé）集的规律排列，直到第页-Apéry套装。然而，当它达到(第页)-Apéry设置时间，左下角的元素不够，规则性发生了变化。也就是说，给出最大值的元素的位置关系突然改变。此后，该偏差随着,……，规律性大大受损。 图12显示了第页-Apéry集合()何时可以看出，6月6日集合的左下角的排列存在缺陷。 6第页-属
为了获得第页-属(第页-西尔维斯特数），我们将使用公式（18）。也就是说，在每种情况下，都有必要求出第页-Apéry套装。计算总和有点麻烦，但没有必要像查找最大值时那样比较候选值。因此，计算方法与斐波那契相似[16]. 6.2. 案例
什么时候？，由图表2，我们有因此，到（18）时，我们已经 什么时候？和也就是说，或和我通过使用图3，我们有因此，到（18）时，我们已经 什么时候？和也就是说，或和我很奇怪，由图表4，我们有因此，到（18）时，我们已经 定理 7 什么时候？也就是说，()，我们有 6.3. 案例
什么时候？也就是说，()和我是奇数或()和我是偶数，由图6，我们有因此，到（18）时，我们已经 什么时候？也就是说，和我是偶数，由图7，我们有因此，我们有 什么时候？和也就是说，，由图表8，我们有因此，到（18）时，我们已经 什么时候？和也就是说，和我是偶数，由图表9，我们有因此，我们有 什么时候？和，也就是说，或和我很奇怪，由图表10，我们有因此，我们 定理 8 什么时候？也就是说，(：甚至），我们有 7.概述第页案例
我们可以继续这个过程.何时，有必要考虑复杂的案例分类，但当，的闭合公式第页-根据上述一定规律可以得到属。我们有因此，到（18）时，我们已经 定理 9 让p是非负整数。什么时候？，我们有 备注 6 关于斐波那契三元组[16]，用于具有，我们有 8.雅各布斯多项式
雅各布斯塔尔数可以概括为雅可比多项式 ，由递归关系定义()与和([1]，[第44章]）。什么时候？,是雅各布斯塔尔数。 让第页是给定的非负整数。可以为给定的和第页但它需要对每个案例进行非常复杂的案例分类，并且更难做出一般性陈述。然而，只有当。公式取决于身份 定理 10 让p是非负整数，b是正整数。什么时候？，我们有 备注 7 自是斐波那契数，当，定理10可以简化为斐波那契结果[16]. 考虑具有相同递推关系但不同初始值的数字或多项式是很有吸引力的。在([1]，[第44章]），雅各布斯塔尔–卢卡斯多项式 被介绍为()与和。被称为Jacobsthal–Lucas数字和是众所周知的卢卡斯数。然而，显式公式不能仅由Jacobthal–Lucas多项式（或数字）表示，还需要Jacobthal多项式（或数字）的帮助。公式取决于身份 定理 11 让p是非负整数，b是正整数。什么时候？，我们有 9.开放性问题
找到一个明确的第页-关于所谓Pell型数的Frobenius数，满足递推关系对于整数人们不应该认为情况是类似的。在这种情况下，作为一增加，价值增长速度更快，因此追踪实际情况变得更加困难。困难之一是没有恒量C类这给了对于每个固定一与Jacobsthal不同。
