Numerical solution of two-term time-fractional PDE models arising in mathematical physics using local meshless method

Jun-Feng Li; Imtiaz Ahmad; Hijaz Ahmad; Dawood Shah; Yu-Ming Chu; Phatiphat Thounthong; Muhammad Ayaz

doi:10.1515/phys-2020-0222

开放式访问发布者De Gruyter开放存取 2020年12月23日

用局部无网格方法数值求解数学物理中的二项时间分数阶偏微分方程模型

李俊峰 , 伊姆迪亚兹·艾哈迈德 , 希贾兹·艾哈迈德 , 达乌德·沙阿 , 俞敏初 , Phatiphat通通和穆罕默德·阿亚兹

来自日志开放物理学

https://doi.org/10.1515/phys-2020-0222

摘要

多项时间分数阶偏微分方程（PDE）已成为数学物理领域的一个热门话题，与单项PDE结果相比，它用于提高描述反常扩散过程的建模精度。本研究包括使用高效且准确的局部无网格方法求解二项时间分数阶PDE模型的数值解。由于无网格技术的优点以及在更高维度上的适用性，对无网格技术需求不断增加。该方法在均匀或分散的节点集上近似求解，得到条件良好且稀疏的系数矩阵。通过数值试验验证了所提出的局部无网格技术的有效性和准确性。

关键词：无网格法；径向基函数；卡普托导数；不规则域

1引言

在过去的十年中，分数阶偏微分方程（PDE）受到了广泛的关注。今天，它是科学家和工程师们积极研究的领域。偏微分方程能够描述生物学、流体力学、等离子体物理、流体力学和光学等各个领域的许多复杂现象，并且已经推导出许多精确的数值格式，如参考文献中的格式。[1,2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18]. 然而，许多研究人员尚未推导出整数阶非线性偏微分方程中的许多复杂现象[19]. 因此，分数被认为是解决这个问题的合适方法，因为分数包含整数阶非线性偏微分方程中不存在的非局部性质[20]. 在本工作中，我们考虑了两项二维时间分数Sobolev方程，其定义如下：

(1) ∂ α 1 U型 ∂ t吨 α 1 + ∂ α 2 U型 ∂ t吨 α 2 − ∂ ∂ t吨 ∂ 2 U型 ∂ x个 2 + ∂ 2 U型 ∂ 年 2 = β ∂ 2 U型 ∂ x个 2 + ∂ 2 U型 ∂ 年 2 − γ U型 ∂ 2 U型 ∂ x个 2 + ∂ 2 U型 ∂ 年 2 − γ ∂ U型 ∂ x个 + ∂ U型 ∂ 年 2 − δ U型 + F类 ( z ¯ , t吨 ) , z ¯ ∈ Ω ⊂ ℝ n个 , 0 < α 2 ≤ α 1 ≤ 1 , t吨 > 0 ,

具有以下初始和边界条件：

(2) U型 ( z ¯ , 0 ) = U型 0 ( z ¯ ) ,

(3) U型 ( z ¯ , t吨 ) = 克 1 ( z ¯ , t吨 ) , z ¯ ∈ ∂ Ω ,

哪里 β , γ 和 δ 是已知常数。此外， ∂ α 1 ∂ t吨 α 1 和 ∂ α 2 ∂ t吨 α 2 是Caputo分数阶导数算子 0 < α 2 ≤ α 1 ≤ 1 对于函数 U型 ( z ¯ , t吨 ) .

最近，人们花费了大量精力来研究分数偏微分方程的精确和近似行为[21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35]在几乎所有的工程学科中，各种无网格算法都对求解各种偏微分方程模型产生了越来越大的兴趣。特别是，基于径向基函数（RBF）的无网格方法[36,37,38,39,40,41,42,43]是这些方法中最常见的。与基于网格的算法相比，无网格算法在计算域中不需要网格，并且考虑了许多均匀或分散的配置点。此外，径向基函数仅依赖于空间域中两点之间的欧氏距离，因此增加了无网格技术的偏好和优势。这些事实表明，无网格方法是一种真正适用且有用的数值技术，可以应用于巨大的实际问题[44,45]. 哈代[46]1971年开发了RBF算法，引入了多二次RBF作为无网格插值方法。1982年，Franke[47]Franke进行了一系列广泛的测试，得出结论认为MQ技术比其他RBF具有更好的性能。此外，Kansa[48]建议使用MQ方法近似椭圆和抛物线PDE。RBF逼近的收敛性、存在性和唯一性已经在一些研究中详细描述[49,50].

在基于RBF的无网格方法中，RBF通常有一个自由参数c（c）称为形状参数。长期以来，为形状参数选择正确的值或最佳值一直是一个主要问题。事实上，通过RBF技术，可以认识到形状参数的确定对结果的准确性和稳定性有很大影响（参见参考文献[51]). 简而言之，形状参数通常是用户定义的，取决于问题以及问题的几何体。近20年来，人们对RBF法中最佳/理想形状参数的确定进行了广泛的研究，并进行了大量的研究。在改进的最初阶段，研究人员利用他们的专业知识来选择最佳参数，而其他人则采用了一些方法。例如，哈迪选择了 c（c） = 0.815 d日，其中d日表示相邻节点之间的平均距离[46]. Franke利用 c（c） = 1.25 D类 / N个，其中N个和D类分别表示节点总数和包含给定节点的最小圆的直径[47]. 法绍尔[52]已建议 c（c） = 2 / N个，但建议感兴趣的读者阅读文本[51]有关这些选择的更多信息。

在上述案例中，所引用的策略对于这个长期存在的问题是不切实际的。幸运的是，这个问题引起了很多人的兴趣，最近的文献中也提出了一些技术。里帕[53]推荐了一种基于leave-one-out交叉验证（LOOCV）的算法来确定合适的形状参数，该算法由Fasshaeur和Zhang修改[54]. Uddin在参考文献中进一步审查了Fasshaeur的修改[55]. 参考文献中报告了基于LOOCV的自适应算法的使用方面的显著改进[56]. 还提出了其他几种选择形状参数最佳值的算法[57].

鉴于上述缺陷，如对形状参数值的敏感性以及条件不完善和稠密的代数方程组，研究人员建议使用局部无网格方法（LMM）[58,59]. 基于局部RBF的方法利用相邻配置点逼近微分算子，使系统稀疏且条件良好。

本文将显式、隐式和Crank–Nicolson时间离散格式与LMM耦合，用于二项时间分数模型的数值求解(1). 考虑了MQ、逆二次（IQ）和逆多二次（IMQ）RBF。此外，在数值检验中还考虑了一个不规则的穿刺区域。

2拟议方法

利用建议的局部无网格方法 U型 ( z ¯ , t吨 ) 在中心处近似 z ¯ 小时在附近 z ¯ 小时 , { z ¯ 小时 1 , z ¯ 小时 2 , z ¯ 小时三 ,..., z ¯ 小时 n个小时 } ⊂ { z ¯ 1 , z ¯ 2 , … , z ¯ N个 n个 } , n个小时 ≪ N个 n个，其中小时 = 1 , 2 , … , N个 n个在一维、二维和三维的情况下， z ¯ = x个和 z ¯ = ( x个 , 年 ) 分别是。

现在在一维情况下，我们有

（4） U型 ( 米 ) ( x个小时 ) ≈ ∑ k个 = 1 n个小时 λ k个 ( 米 ) U型 ( x个小时 k个 ) , 小时 = 1 , 2 , … , N个 .

替代RBF ψ ( ∥ x个 − x个第页 ∥ ) 在里面（4）

(5) ψ ( 米 ) ( ∥ x个小时 − x个第页 ∥ ) = ∑ k个 = 1 n个小时 λ 小时 k个 ( 米 ) ψ ( ∥ x个小时 k个 − x个第页 ∥ ) , 第页 = 小时 1 , 小时 2 , … , 小时 n个小时 .

矩阵形式(5)是

(6) ψ 小时 1 ( 米 ) ( x个小时 ) ψ 小时 2 ( 米 ) ( x个小时 ) ⋮ ψ 小时 n个小时 ( 米 ) ( x个小时 ) ︸年 n个小时 ( 米 ) = ψ 小时 1 ( x个小时 1 ) ψ 小时 2 ( x个小时 1 ) ⋯ ψ 小时 n个小时 ( x个小时 1 ) ψ 小时 1 ( x个小时 2 ) ψ 小时 2 ( x个小时 2 ) ⋯ ψ 小时 n个小时 ( x个小时 2 ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ψ 小时 1 ( x个小时 n个小时 ) ψ 小时 2 ( x个小时 n个小时 ) ⋯ ψ 小时 n个小时 ( x个小时 n个小时 ) ︸ A类 n个小时 λ 小时 1 ( 米 ) λ 小时 2 ( 米 ) ⋮ λ 小时 n个小时 ( 米 ) ︸我 n个小时 ( 米 ) ,

哪里

ψ 第页 ( x个 k个 ) = ψ ( ∥ x个 k个 − x个第页 ∥ ) , 第页 = 小时 1 , 小时 2 , … , 小时 n个小时 ,

对于每个 k个 = 我 1 , 小时 2 , … , 小时 n个小时 . (6)可以写成

(7) ψ n个小时 ( 米 ) = A类 n个小时 λ n个小时 ( 米 ) .

发件人(7)，我们获得

(8) λ n个小时 ( 米 ) = A类 n个小时 − 1 ψ n个小时 ( 米 ) .

(4)和(8)暗示

U型 ( 米 ) ( x个小时 ) = ( λ n个小时 ( 米 ) ) T型 U型 n个小时 ,

哪里

U型 n个小时 = U型 ( x个小时 1 ) , U型 ( x个小时 2 ) , … , U型 ( x个小时 n个小时 ) T型 .

求的导数 U型 ( x个 , 年 , t吨 ) 水反应堆。x个和年如下：

U型 x个 ( 米 ) ( x个小时 , 年小时 ) ≈ ∑ k个 = 1 n个小时 γ k个 ( 米 ) U型 ( x个小时 k个 , 年小时 k个 ) , 小时 = 1 , 2 , … , N个 2 , U型年 ( 米 ) ( x个小时 , 年小时 ) ≈ ∑ k个 =1 n个小时 η k个 ( 米 ) U型 ( x个小时 k个 , 年小时 k个 ) , 小时 = 1,2, … , N个 2 .

对于 γ k个 ( 米 ) 和 η k个 ( 米 ) ( k个 = 1 , 2 , … , n个小时 )，我们继续作为

γ n个小时 ( 米 ) = A类 n个小时 − 1 Φ n个小时 ( 米 ) ,

η n个小时 ( 米 ) = A类 n个小时 − 1 Φ n个小时 ( 米 ) .

时间导数 ∂ α 1 U型 ( z ¯ , t吨 ) ∂ t吨 α 1 通过使用Caputo导数进行离散化[60]的 α 1 ∈ ( 0 , 1 ) 作为

∂ α 1 U型 ( z ¯ , t吨 ) ∂ t吨 α 1 = 1 Γ 1 − α 1 ∫ 0 t吨 ∂ U型 ( z ¯ , ϑ ) ∂ ϑ t吨 − ϑ − α 1 d日 ϑ , 0 < α 1 < 1 ∂ U型 ( z ¯ , t吨 ) ∂ t吨 , α 1 = 1 .

考虑 t吨 q个 = q个 τ , q个 = 0 , 1 , 2 , … , 问，用于 [0, t吨 ] 时间步长为 τ 为了计算时间分数导数项，我们进行如下操作：

∂ α 1 U型 ( z ¯ , t吨 q个 + 1 ) ∂ t吨 α 1 = 1 Γ ( 1 − α 1 ) ∫ 0 t吨 q个 + 1 ∂ U型 ( z ¯ , ϑ ) ∂ ϑ t吨 q个 + 1 − ϑ − α 1 d日 ϑ , = 1 Γ ( 1 − α 1 ) ∑ 秒 = 0 q个 ∫ 秒 τ ( 秒 + 1 ) τ ∂ U型 ( z ¯ , ϑ ) ∂ ϑ t吨秒 + 1 − ϑ − α 1 d日 ϑ , ≈ 1 Γ ( 1 − α 1 ) ∑ 秒 = 0 q个 ∫ 秒 τ ( 秒 + 1 ) τ ∂ U型 ( z ¯ , ϑ 秒 ) ∂ ϑ t吨秒 + 1 − ϑ − α 1 d日 ϑ .

术语 ∂ U型 ( z ¯ , ϑ 秒 ) ∂ ϑ 近似如下：

∂ U型 ( z ¯ , ϑ 秒 ) ∂ ϑ = U型 ( z ¯ , ϑ 秒 + 1 ) − U型 ( z ¯ , ϑ 秒 ) ϑ + O（运行） ( τ ) .

然后

∂ α 1 U型 ( z ¯ , t吨 q个 + 1 ) ∂ t吨 α 1 ≈ 1 Γ ( 1 − α 1 ) ∑ 秒 = 0 q个 U型 ( z ¯ , t吨秒 + 1 ) − U型 ( z ¯ , t吨秒 ) τ ∫ 秒 τ ( 秒 + 1 ) τ t吨秒 + 1 − ϑ − α 1 d日 ϑ , = 1 Γ ( 1 − α 1 ) ∑ 秒 = 0 q个 U型 ( z ¯ , t吨 q个 + 1 − 秒 ) − U型 ( z ¯ , t吨 q个 − 秒 ) τ ∫ 秒 τ ( 秒 + 1 ) τ t吨秒 + 1 − ϑ − α 1 d日 ϑ , = τ − α 1 Γ ( 2 − α 1 ) ( U型 q个 + 1 − U型 q个 ) + τ − α 1 Γ ( 2 − α 1 ) ∑ 秒 = 1 q个 ( U型 q个 + 1 − 秒 − U型 q个 − 秒 ) [ ( 秒 + 1 ) 1 − α 1 − 秒 1 − α 1 ] , q个 ≥ 1 τ − α 1 Γ ( 2 − α 1 ) ( U型 1 − U型 0 ) , q个 = 0 .

出租一 0 = τ − α 1 Γ ( 2 − α 1 ) 和 b条秒 = ( 秒 + 1 ) 1 − α 1 − 秒 1 − α 1 , 秒 = 0 , 1 , … , q个，我们有

(9) ∂ α 1 U型 ( z ¯ , t吨 q个 + 1 ) ∂ t吨 α 1 ≈ 一 0 ( U型 q个 + 1 − U型 q个 ) + 一 0 ∑ 秒 = 1 q个 b条秒 ( U型 q个 + 1 − 秒 − U型 q个 − 秒 ) , q个 ≥ 1 一 0 ( U型 1 − U型 0 ) , q个 = 0 .

阶分数导数也采用了类似的方法 α 2 .

3数值讨论

在本节中，我们验证了所提出的计算技术在二项时间分数模型上的适用性和准确性(1). 在这个计算过程中，考虑了具有规则域和一个不规则域的均匀节点和分散节点。在整篇论文中，我们使用了三种RBF，如IQ、MQ和IMQ以及形状参数值 c（c） = 10 .具有空间域的局部模板五 [0, 2] 除非明确提及。精度是通过最大误差 , L（左） 2 和RMS误差标准，定义如下：

（10） L（左）绝对的 = | U型 ˆ − U型 | , L（左） 2 = Δ 小时 ∑ 小时 = 1 N个 n个 U型 ˆ 小时 − U型小时 2 , 最大误差 = 最大值 ( L（左）绝对的 ) , RMS（有效值） = ∑ 小时 = 1 N个 n个 U型 ˆ 小时 − U型小时 2 N个 ,

哪里 U型 ˆ 是精确的解决方案，U型是近似解 Δ 小时是空间步长。

示例1

考虑模型方程(1)带有 β = 1 , γ = δ = 0 精确解：

(11) U型 ( z ¯ , t吨 ) = e（电子） − t吨罪 ( π x个 ) 罪 ( π 年 ) , z ¯ = ( x个 , 年 ) ∈ Ω .

在实施例1中，通过LMM利用MQ、IQ和IMQ RBF获得数值结果。这些结果显示在表1，错误代表最大误差。使用不同的时间步长值计算这些结果 τ ，分数阶 α 1 = α 2 = 0.3 ，节点 N个 2 = 20 和最后一次 t吨 = 1 和 t吨 = 5 此外，还使用了显式、隐式和Crank–Nicolson格式。从表中可以看出，LMM的结果与精确解非常吻合，并且当 τ 减少。在其他RBF和时间积分方案中，使用IQ RBF的Crank–Nicolson方案的结果更准确。图1显示不同值的数值结果 N个 2 和分数阶。可以看出，所提出的技术在courser网格和不同的 α 1 = α 2 基于RBF的无网格方法的精度和稳定性完全取决于形状参数的值c（c）以及节点数N个从文献中可以看出，整体无网格方法的精度和条件数对c（c）相比之下，建议的LMM检查范围很广c（c）（最多200），从图2该方法表现出稳定的行为。也，图2（右）显示了IQ、MQ和IMQ RBF的条件编号，并注意到与IQ RBF相比，MQ和IMQRBF具有更少的条件编号。图3（左）显示了使用MQ RBF的LMM的精确解和数值解之间的良好一致性 N个 2 = 30 , τ = 6.2500 × 10 − 三 , α 1 = α 2 = 0.5 , t吨 = 1 , t吨 = 2 和 t吨 = 三，而图3（右）显示了推荐LMM获得的绝对误差。

表1

示例1，LMM的仿真结果

最大误差
方法	τ	t吨 = 1			t吨 = 5
方法	τ	MQ公司	智商	IMQ公司	MQ公司	智商	IMQ公司
明确的	1.0000×10⁻¹	1.8985 × 10⁻²	1.8025 × 10⁻²	1.9894 × 10⁻²	1.5971×10⁻³	1.6438 × 10⁻³	1.2824 × 10⁻²
	5.0000 × 10⁻²	9.2780 × 10⁻³	8.8557 × 10⁻³	9.6846 × 10⁻³	8.2371 × 10⁻⁴	8.4253 × 10⁻⁴	1.8936 × 10⁻³
	2.5000 × 10⁻²	4.5880 × 10⁻³	4.3939 × 10⁻³	4.7808 × 10⁻³	4.1804 × 10⁻⁴	4.2641 × 10⁻⁴	6.2922 × 10⁻⁴
	1.2500 × 10⁻²	2.2815 × 10⁻³	2.1902 × 10⁻³	2.3752 × 10⁻³	2.1057 × 10⁻⁴	2.1450 × 10⁻⁴	2.7806×10⁻⁴
	6.2500 × 10⁻³	1.1377 × 10⁻³	1.0941 × 10⁻³	1.1838 × 10⁻³	1.0567 × 10⁻⁴	1.1075 × 10⁻⁴	1.3158 × 10⁻⁴
隐性的	1.0000 × 10⁻¹	1.7500 × 10⁻²	1.6812 × 10⁻²	1.8127×10⁻²	1.7904 × 10⁻³	1.8238 × 10⁻³	4.2065 × 10⁻³
	5000×10⁻²	8.9133 × 10⁻³	8.5647 × 10⁻³	9.2442 × 10⁻³	8.7217 × 10⁻⁴	8.8880 × 10⁻⁴	1.3934 × 10⁻³
	2.5000 × 10⁻²	4.4982 × 10⁻³	4.3247 × 10⁻³	4.6693 × 10⁻³	4.3024 × 10⁻⁴	4.3836 × 10⁻⁴	5.8666 × 10⁻⁴
	1.2500 × 10⁻²	2.2594 × 10⁻³	2.1739 × 10⁻³	2.3468 × 10⁻³	2.1364 × 10⁻⁴	2.1760 × 10⁻⁴	2.7162 × 10⁻⁴
	6.2500 × 10⁻³	1.1323 × 10⁻³	1.0903×10⁻³	1.1765 × 10⁻³	1.0645 × 10⁻⁴	1.1169 × 10⁻⁴	1.3021 × 10⁻⁴
曲柄–尼科尔森	1.0000 × 10⁻¹	3.0659 × 10⁻⁴	2.0459 × 10⁻⁴	3.9556 × 10⁻⁴	3.0957 × 10⁻⁵	1.5536×10⁻⁵	6.6946 × 10⁻⁴
	5.0000 × 10⁻²	8.4249 × 10⁻⁵	4.5236×10⁻⁵	1.0332 × 10⁻⁴	8.4718 × 10⁻⁶	3.2714 × 10⁻⁶	8.3605 × 10⁻⁵
	2.5000 × 10⁻²	2.4213 × 10⁻⁵	9.5438 × 10⁻⁶	2.7555 × 10⁻⁵	2.3901 × 10⁻⁶	6.4059 × 10⁻⁷	1.6480 × 10⁻⁵
	1.2500 × 10⁻²	7.1414 × 10⁻⁶	1.8555 × 10⁻⁶	7.4599 × 10⁻⁶	6.8938 × 10⁻⁷	1.1316 × 10⁻⁷	3.9518 × 10⁻⁶
	6.2500 × 10⁻³	2.1392×10⁻⁶	3.4572 × 10⁻⁷	2.1154 × 10⁻⁶	2.0203 × 10⁻⁷	9.5540 × 10⁻⁸	1.0463 × 10⁻⁶

$图1示例1，（左）节点与误差范数和（右）分数阶α\阿尔法s与误差标准的对比。$

图1

示例1，（左）节点与误差范数和（右）分数阶 α s与误差标准。

图2

示例1（左）c（c）与RMS和（右）c（c）与条件编号相对。

图3

例1，（左）精确与近似解，（右）精确与绝对误差。

示例2

考虑模型方程(1)带有 β = 1 , γ = δ = 0 有精确的解决方案

(12) U型 ( z ¯ , t吨 ) = e（电子） x个 − 年 − t吨罪 ( π x个 ) 罪 ( π 年 ) , z ¯ = ( x个 , 年 ) ∈ Ω .

在示例2中，LMM利用MQ RBF获得了数值结果。这些结果显示在表2，错误代表 L（左） 2 。这些结果是使用不同的 τ ，分数阶 α 1 = α 2 = 0.3 和 α 1 = α 2 = 0.6 , N个 2 = 6 , t吨 = 1 和 t吨 = 2 此外，还使用了显式、隐式和Crank–Nicolson格式，并观察到当 τ 在这种情况下也会减少。此外，在其他时间积分方案中，Crank–Nicolson方案的结果更准确。例2的数值结果使用了各种分数阶数值的显式、隐式和Crank–Nicolson格式 α 的显示在中图4可以注意到，与显式和隐式方案相比，Crank–Nicolson方案更有效。与前面的示例一样，根据形状参数值测试了所建议方法的准确性和稳定性，测试范围很广（可达200），如所示图5在这种情况下，MQ和IMQ RBF比IQ RBF更稳定，而且IQ RBFs的conation数也比MQ和IMQRBF高。与基于网格的方法相比，无网格方法的优点之一是易于在不规则域中实现。我们考虑了一个具有挑战性的不规则穿孔域，如图6。对应于不规则区域的LMM数值结果列于表3从该表中可以看出，所建议的LMM在不规则域中也给出了良好的结果。在这种情况下，MQ和IMQ的准确性优于IQ RBF。

表2

示例2，LMM的仿真结果

L（左） 2
方法	τ	t吨= 1	t吨= 1	t吨= 2	t吨= 2
方法	τ	α 1 = α 2 = 0.3	α 1 = α 2 = 0.6	α 1 = α 2 = 0.3	α 1 = α 2 = 0.6
明确的	1.0000 × 10⁻¹	5.2290 × 10⁻²	5.1872 × 10⁻²	3.7158 × 10⁻²	3.7523 × 10⁻²
	5000×10⁻²	2.5622 × 10⁻²	2.5444 × 10⁻²	1.8438 × 10⁻²	1.8637×10⁻²
	2.5000 × 10⁻²	1.2687 × 10⁻²	1.2612 × 10⁻²	9.1845 × 10⁻³	9.2941 × 10⁻³
	1.2500 × 10⁻²	6.3133 × 10⁻³	6.2822 × 10⁻³	4.5840 × 10⁻³	4.6433 × 10⁻³
	6.2500 × 10⁻³	3.1494 × 10⁻³	3.1364 × 10⁻³	2.2900 × 10⁻³	2.3216 × 10⁻³
隐性的	1.0000 × 10⁻¹	4.8471 × 10⁻²	4.8894 × 10⁻²	3.6200 × 10⁻²	3.7120 × 10⁻²
	5.0000 × 10⁻²	2.4691 × 10⁻²	2.4862×10⁻²	1.8215 × 10⁻²	1.8657 × 10⁻²
	2.5000 × 10⁻²	1.2461 × 10⁻²	1.2528 × 10⁻²	9.1339 × 10⁻³	9.3447 × 10⁻³
	1.2500 × 10⁻²	6.2589 × 10⁻³	6.2845 × 10⁻³	4.5728×10⁻³	4.6732 × 10⁻³
	6.2500 × 10⁻³	3.1364 × 10⁻³	3.1458×10⁻³	2.2877 × 10⁻³	2.3357 × 10⁻³
曲柄–尼科尔森	1.0000 × 10⁻¹	7.0289 × 10⁻⁴	3.5095 × 10⁻⁴	5.0136 × 10⁻⁴	2.5348 × 10⁻⁴
	5.0000 × 10⁻²	1.6547 × 10⁻⁴	9.2813 × 10⁻⁵	1.1769 × 10⁻⁴	7.1868 × 10⁻⁵
	2.5000 × 10⁻²	3.8330 × 10⁻⁵	4.9749 × 10⁻⁵	2.7198 × 10⁻⁵	3.8280 × 10⁻⁵
	1.2500 × 10⁻²	8.6918 × 10⁻⁶	2.4637 × 10⁻⁵	6.1554 × 10⁻⁶	1.8688×10⁻⁵
	6.2500 × 10⁻³	1.9200 × 10⁻⁶	1.0941 × 10⁻⁵	1.3581 × 10⁻⁶	8.2362 × 10⁻⁶

$图4示例2，分数阶α\阿尔法的与L（左）2L2级误差标准。$

图4

示例2，分数阶 α 的与 L（左） 2 误差标准。

图5

例2（左）c（c）与RMS和（右）c（c）与条件编号相对。

图6

计算域。

表3

示例2，使用中给出的计算域的LMM仿真结果图6

储备银行	误差标准	t吨= 1	t吨= 2	t吨= 3
智商	最大误差	2.8503 × 10⁻³	6.9177 × 10⁻³	1.9053 × 10⁻²
	RMS（有效值）	5.3969 × 10⁻⁴	1.1019 × 10⁻³	2.6854 × 10⁻³
	L2级	5.8179 × 10⁻³	1.1879 × 10⁻²	2.8949 × 10⁻²
MQ公司	最大误差	1.0762×10⁻⁴	7.4827 × 10⁻⁵	3.9556 × 10⁻⁵
	RMS（有效值）	1.2498 × 10⁻⁵	8.9038 × 10⁻⁶	4.8116 × 10⁻⁶
	L2级	1.3473 × 10⁻⁴	9.5983 × 10⁻⁵	5.1869 × 10⁻⁵
IMQ公司	最大误差	1.6486 × 10⁻⁴	1.2021 × 10⁻⁴	6.5942 × 10⁻⁵
	RMS（有效值）	1.6465×10⁻⁵	1.2001 × 10⁻⁵	6.5818 × 10⁻⁶
	L2级	1.7749 × 10⁻⁴	1.2937 × 10⁻⁴	7.0953 × 10⁻⁵

示例3

考虑模型方程(1)带有 β = 1 , γ = 1 , δ = π 2 有精确的解决方案

(13) U型 ( z ¯ , t吨 ) = e（电子） t吨罪 ( π x个 ) 罪 ( π 年 ) , z ¯ = ( x个 , 年 ) ∈ Ω .

LMM获得的近似解与示例3的精确解的比较如所示图7使用 N个 2 = 20 , α 1 = α 2 = 0.25 和 t吨 = 0.1 可以看出，数值解与精确解非常吻合，而绝对误差如所示图8.

图7

例3，（左）精确解和（右）数值解。

图8

例3，（左）处的绝对误差 t吨 = 0.01 和（右） t吨 = 0.05 .

4结论

基于RBF的LMM用于求解二项时间分数阶Sobolev方程。使用了三种类型的RBF。所提出的算法框架导致了稀疏线性方程组，并以良好的精度近似解。为了验证所提方案的准确性，使用矩形和一个不规则计算域考虑了几个示例。数值结果表明，该算法可靠、有效，并给出了精确的解。考虑到当前的工作，我们可以说，所提出的策略是数值求解多项时间分数阶偏微分方程的令人惊讶、强大和成功的工具，因此它可以应用于自然科学和工程中出现的广泛的复杂问题。

chuyuming2005@126.com

基金本研究得到了国家自然科学基金（11971142、11871202、61673169、11701176、11626101和11601485）的资助。
数据可用性：数据将按要求提供给第二作者。

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收到：2020-11-01

修订过的：2020-11-28

认可的：2020-11-30

在线发布：2020-12-23

本作品根据知识共享署名4.0国际许可证授权。

用局部无网格方法数值求解数学物理中的二项时间分数阶偏微分方程模型

摘要

1引言

2拟议方法

3数值讨论

示例1

示例2

示例3

4结论

工具书类

期刊和发行

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