用传统方法数值处理高维问题数值方法受到所谓的“维数灾难”的影响。这种指数级增长O（运行）(n个d日)数值算法的复杂性在尺寸参数中d日通过并行计算和高性能计算。张量数值方法，架起多重线性代数和非线性逼近理论的桥梁，允许将多维问题的解决方案简化为一维计算。它们依赖于多元函数和运算符的有效可分离表示大的n个⊗d日网格，导致低计算成本的算法在维度参数中以多项式或线性方式缩放d日.因此，张量方法可以理解为变量分离的离散模拟，可以在所有计算步骤中有效地保持。目标函数可以是某些算子方程的解A类u个=（f）尤其是PDE，它可以通过所谓的解运算符来表示u个=S公司(A类)（f）.在张量数值方法中，实体u个，（f），A类还有S公司(A类)在低秩张量格式中进行了有益的近似。
传统的可分离近似方法结合了正则、Tucker、，以及矩阵乘积状态（MPS）格式，后者称为张量列（TT）分解，分解[22，21].结合指数精度sinc近似的最新张量方法经证明可提供𝒪(d日)广泛类的数据压缩函数和运算符[5，6，9，7，4].函数的量子化TT（QTT）张量逼近[13]可以在量化张量空间中求解高维PDE，使用日志-以全网格大小扩展卷复杂性，即𝒪(d日日志n个)，而不是𝒪(n个d日).
目前，张量数值方法和多重线性代数在不断扩展迅速发展到广泛的理论和应用领域，参见示例[11，14，10].我们还参考了最近的研究专著[15，12],其中张量数值方法在科学计算中具有特殊性重点介绍了多维偏微分方程和电子结构计算。这些趋势也反映在本期CMAM的论文中。
本期特刊是一本论文集，展示了张量技术允许解决各种困难的理论和计算问题包括多维椭圆/抛物线偏微分方程的近似。本期包括十篇关于基于张量的数值方法的理论分析和应用。这些论文涵盖了广泛的主题，包括计算方案的构建对于稳态和动态问题以及随机和参数方程函数和运算符、数值模拟等。下面我们简要介绍一下这期特刊的内容。
论文的目标[1]是随机变量的有效数值解特征值问题。此类问题往往导致具有张量积结构的高维系统望而却步当使用随机Galerkin方法离散时。作者利用了这个固有的张量积构建一个全球化的低阶不精确牛顿方法来处理随机性特征值问题。数值实验验证了该算法的有效性。
报纸[2]一种求解高维进化问题的算法TT中的方程（ODE和离散时间相关PDE）分解，假设解和ODE右侧允许这样的具有低秩参数的分解。线性ODE，通过离散化一步或切比雪夫差分格式变成了一个大的线性系统。张量分解允许求解该系统的几个时间点同时。在输运和化学的数值实验中掌握方程式，作者证明新方法比传统方法更快时间步进和随机模拟算法。
报纸[三]检查一个完全非侵入性的、基于样本的泛函低阶解的计算方法高维参数随机PDE不确定性量化的深入研究领域。在获得广义多项式混沌表示的阶一种新的适应黑盒等级的近似随机解提出了张量重建方法。表演用几个数值例子说明了所述方法的示例并与蒙特卡罗采样进行比较。
的作者[8]考虑抽象微分方程热和薛定谔键入并讨论各种N个-基于Cayley的参数逼近转换和拉盖尔展开，提供亚指数精度，即订单的准确性𝒪(e（电子）-N个日志N个).他们使用高斯-洛巴托-切比雪夫组合提出了一种新的近似值插值和Cayley变换并获得阶的纯指数精度𝒪(e（电子）-N个).这种近似的秩结构张量形式d日-维度的空间算子系数导致算法具有线性复杂度d日.
报纸[16]流形上的动态低阶逼近研究定秩张量列与投影分析这些问题的时间积分方法。作者证明了误差估计对于显式Euler方法，用拟最优投影对流形，在适当的近似性假设下。然后他们讨论高阶显式和隐式投影的可能性和困难Runge–Kutta方法，特别是限制等级增长的方法增量，以及对小奇异值的鲁棒性。
报纸[17]讨论一种新的隐马尔可夫谱学习算法模型（HMM）。与标准方法相比，参数HMM的值不是直接近似的，而是通过联合概率的估计分配。使用TT-format，作者通过最小化Frobenius得到近似值经验联合概率分布与低张量之间的距离具有核心张量归一化约束的TT-秩。一种算法基于交替最小的优化问题的求解提出了平方（ALS）方法，并开发了稀疏张量的快速算法。作者比较了与现有方案相比，该算法的性能并发现，如果高估了隐藏状态的数量，则该算法将更加稳健。
报纸[18]描述了处理多变量的高级数值工具用于分析大型数据集。特别是协方差矩阵在时空统计任务中至关重要，但通常计算和存储成本高昂，尤其是在3D中。因此，可以使用低秩张量格式，以减少计算和存储成本本质上是很高的。作者将Tucker和正则张量分解应用于变参数Matérn型径向函数及其证明理论上和数值上，它们的张量近似呈指数形式秩参数快速收敛，因此计算复杂度较低。
报纸[19]处理一个时空等几何分析方案扩散系数抛物型发展方程的离散化取决于时间和空间变量。该问题在时空圆柱体ℝd日+1，使用d日=2，三并使用高阶离散化高光滑样条空间。这使得矩阵形成任务非常从计算的角度来看具有挑战性。作者通过以下方式克服了这个问题将算子的低阶解耦引入空间和时间分量。数值实验证明了该方法的有效性。
在[20]作者提出了一种计算低秩的有效算法近似于所谓的“类拉普拉斯”线性系统的解。这个想法是将问题转换为频域，然后使用交叉近似值。在这种情况下，我们不需要对逆算子，可以直接近似解，从而导致降低了复杂性。通过使用它作为求解Stokes问题的Uzawa迭代方法中的求解器。
一元多项式组的近似求解问题一个或多个公共根及其系数被噪声污染[23].提出了新的瑞利商方法并评估共同点根。利用张量代数，合理的瑞利商方法起始值可以计算。将新方法与高斯-牛顿法进行比较，以求解特征值从广义Sylvester矩阵得到的问题，并在根之间建立簇所有多项式。模拟研究表明，高斯-牛顿和新瑞利商法表现最好，当其他根比真根更准确时，后者更准确共同的根紧密相连。
