设置中的不动点理论\（（α，β，psi，φ））-内插收缩

摘要

在这份手稿中，我们介绍了\（（α，β，psi，φ））-内插收缩统一并概括了重要概念：Proinov型收缩、内插收缩和充分频谱收缩。我们研究了保证此类映射不动点存在唯一的充要条件。

1介绍

多年来，不动点理论领域的研究人员已经知道并使用了这种类型的收缩性条件：

哪里是公制空间，是一个自映射，并且\（\psi，\phi:[0，+\infty）\rightarrow[0，+\infty）\）是满足某些一般条件的两个辅助函数，其主要目的是帮助证明映射的不动点的存在性，以及在大多数情况下的唯一性（博伊德和王[1]，杰拉蒂[2]阿米尼·哈兰迪和彼得鲁·埃尔[三]、Jleli和Samet[4]沃多夫斯基[5]这只是一种简单但有趣的方法来概括最初出现于[6]. 此后，出现了许多其他生成巴拿赫压缩映射原理的方法[6]主要基于三个不同的方向：基础空间的抽象度量结构，新的越来越普遍的压缩条件的形成，以及代数（不一定是度量）结构（二进制关系、偏序）的引入[7]，模糊度量[8,9]等）

在关于收缩条件泛化的研究中，值得强调两个不同模型的演变。一方面，有些模型只基于两个主要术语的使用：空间中任意两点之间的距离以及各自图像之间的距离。在这方面，值得强调的是博伊德和王的努力[1]最近，Khojasteh等人[10]引入了模拟功能后来由Roldán López de Hierro等人在[11]. 在一系列连续的研究论文深化这一领域之后（参见[12–14])最后一位作者和Shahzad提出了充分频谱收缩在[15]有双重目的：从抽象的角度分析未来可能出现的任何收缩的本质性质，即在不动点理论领域必须满足并推广尽可能多的结果。

另一方面，在研究过程中所做的努力，使新术语介入收缩条件（例如，任何点与其图像之间的距离）也值得注意。在这一行中，我们可以重点介绍坎南奇·伊里奇给出的结果[16,17]哈迪·罗杰斯[18]等。受Kannan收缩和类型内插三元组概念的启发γ描述于[19]，卡拉普纳引入[20]的内插Kannan型收缩。该预付款后来于年延期[21]借助模拟功能（参见[10,11]). 最近，Aydi等人[22]已经展示了ω-插入式Chi-irić–Reich–Rus型收缩通过在压缩性条件中包含一些新的项和代数结构。这最后一类压缩应用程序启发了我们将在本文中介绍的一些内容。

回到第一条评论性的研究路线（在收缩条件下仅使用两个术语），去年Proinov[23]发表了一篇手稿，其中证明了关于不动点存在唯一性的新结果。这篇论文引起了这一领域研究人员的极大关注，主要是因为用于发展主要结果的假设较弱。例如，证明了所涉及的Picard序列是Cauchy序列，而无需对函数建立单调条件ψ和ϕ在收缩状态下出现的。此外，研究表明，其他作者（Amini-Harandi和Petrusel、Moradi、Geragthy、Jleli和Samet、Wardowski）引入的大量收缩可被视为Proinov收缩。

本文从上述工作中得到启发，引入了一类新的收缩词，推广了Proinov收缩词。也就是说，我们使用了一种新术语出现的奇-伊里奇-瑞奇-罗斯型收缩条件（与第一个讨论的研究领域中使用的两个术语不同）。对于这类算子，我们引入了关于不动点存在唯一性的新结果。此外，在此之前，我们指出这一类适当地扩展了Proinov收缩族，因为我们特别证明了所有Proinov压缩都是Roldán López de Hierro和Shahzad充分谱收缩的特殊情况。

2前期工作

在本节中，我们将介绍我们将要使用的符号，并介绍本文受到启发的三类收缩。

2.1代数背景

我们将从现在开始介绍主要结果的框架是一个度量空间具有自映射功能.一个元素这样的话是一个不动点 .所有不动点的集合表示为。

从今往后，让我们\（\mathbb{N}=\{1,2,3，\ldots\}\）代表所有正整数的集合。以下[24]，一个序列在里面让人满意为所有人\（k，p\in\mathbb{N}\）,\（k\neq p\），称为无限的顺序。如果由提供为所有人\（k\in\mathbb{N}\），则该序列称为Picard序列 。

提议1

([18]，提议2）

让 是度量空间中的Picard序列 这样的话 。如果有 \（k_｛1｝，k_｛2｝\in\mathbb｛N｝\） 这样的话 \（k_｛1｝<k_｛2｝\） 和 ,那么就有 \（k_{0}\in\mathbb{N}\） 和 这样的话 为所有人 \（k\geq-k{0}\）(那就是, 从一项开始是常数).在这种情况下, 是自我的固定点-其中的映射 是Picard序列。

引理1

([23,25,26])

让 是度量空间中的序列 这样的话 作为 \（k\rightarrow+\infty\）。如果序列 不是 -柯西,那么就有了 和两个部分子序列 和 属于 这样的话

2.2Roldán–Shahzad大量频谱收缩

在[15]Roldán López de Hierro和Shahzad引入了一大类缩略语，它们用一种特殊的性质概括了以前的许多种缩略语：它们只使用术语和它们的收缩性条件。在以下定义中，\（\数学｛S｝\）表示上的二进制关系和\（\mathcal{S}^{ast}\）由提供什么时候和。

定义1

让\（{a{k}）和\（{b{k}）是两个实数序列。我们这么说\（（a{k}，b{k}）是一个-序列如果存在两个序列这样的话

定义2

([15]，定义4）

我们会这么说是一个充分频谱收缩如果存在函数这样的话和ϱ满足以下四个条件：

\（（\mathcal）{乙}_{1} ) \)以下为：

非空且。

\（（\mathcal）{乙}_{2} ) \)以下为：

如果是皮卡车吗\（\数学｛S｝\）-非递减序列这样的话

然后。

\（（\mathcal）{乙}_{3} ) \)以下为：

如果是一个\（（（T，\mathcal{S}^{ast}）\）-顺序如下\（{a{k}）和\（{b{k}）收敛到相同的极限并验证和\（\varrho（a{k}，b{k}）\geq0\）为所有人\（k\in\mathbb{N}\），然后。

\（（\mathcal）{乙}_{4} ) \)以下为：

为所有人这样的话和。

在这种情况下，我们会说是一个关于 \（\数学｛S｝\） 和ϱ。

为了在不动点理论领域引入非常一般的结果，考虑了一些额外的性质。

\（（\mathcal）{乙}_{2} ^{\prime}）\）以下为：

如果是这样的两点

然后。

\（（\mathcal）{乙}_{5} ) \)以下为：

如果\（（a{k}，b{k}）是一个\（（（T，\mathcal{S}^{ast}）\）-顺序如下\（\｛b_｛k｝\｝\右箭头0\）和\（\varrho（a_｛k｝，b_｛k｝）\geq 0\）为所有人\（k\in\mathbb{N}\），然后\（\{a_{k}\}\rightarrow0\）。

尽管在[15]，我们在这里声明以下结果，这是中给出的主要定理的简单结果[15]. 平凡二元关系\（\mathcal{宋体}_{X} \）在X（X）由提供\（x\mathcal{宋体}_{十} 年\)为所有人\（x中的x，y\）。

定理1

([15])

每个充足的频谱收缩w。第页。t吨。\（\mathcal{宋体}_{十} \） 从完备度量空间到满足自身 \（（\mathcal）{乙}_{2} ^{\prime}）\） 和 \（（\mathcal）{乙}_{5} ) \) 具有唯一的固定点。事实上,每个Picard序列收敛到这样一个不动点。

证明

不动点的存在遵循中的定理2[15]使用项\（（b）\）唯一性遵循中的定理3[15]因为我们假设条件\（\数学{乙}_{2} ^{\prime}）\）. □

2.3 ω-插入性宫缩-Reich-Rus型宫缩

概念ω-插入式Chi-irić–Reich–Rus型收缩首先受到著名的Kannan型收缩的启发。自我映射如果有，是Kannan收缩这样的话

哪里是公制空间。坎南收缩被认为是巴拿赫收缩的杰出概括，原因在于坎南收缩不一定是连续的。考虑到这种收缩和类型的插值三元组的概念γ中描述的[19]，卡拉普纳引入[20]概念内插Kannan型收缩，对应于映射，从公制空间从而满足以下条件：

哪里α是属于区间的常数$( 0,1 )$本文证明了定义在完备度量空间上的每个内插Kannan型压缩都有唯一的不动点。

这一研究领域的其他重大进展是所谓的α-允许的插值Rus–Reich–cci irić型 \（\mathcal{Z}\）-收缩涉及收缩性条件如下：

哪里

\（\zeta\in\mathcal{Z}\）是模拟功能（请参见[10,11]),ψ和α是适当的功能，以及β和γ是正常数，因此\（\γ+\β<1\）（参见[21]更多详细信息）。

最后，值得一提的是激发这项工作的收缩类型[22]，给定一个度量空间，一个函数，两个正实数\（β，γ>0）这样的话\（\β+\γ<1\），一个函数\（\psi\in\psi\），我们说映射是一个ω-内插Chi-irić–Reich–Rus型收缩如果它验证

为所有人。为了完整性，我们澄清，这里Ψ表示所有非递减函数族\（\psi:[0，+\infty）\rightarrow[0，+/infty满足以下条件：

$$\sum_{p=1}^{+\infty}\psi^{p}（s）<+\infcy\quad\text{表示所有}s>0$$

定理2

([22，定理3]）

假设一个连续的自我-映射 是 ω-轨道容许也是 ω-内插Chi-irić–Reich–Rus型收缩关于完备度量空间 。如果有一点 这样的话 ,然后 在中有一个固定点。

概念ω-轨道容许映射可以在[22,27].

2.4Proinov收缩

最近，Proinov宣布了一些统一了许多已知结果的结果。

定理3

（普罗伊诺夫[23]，定理3.6）

让 是一个完整的度量空间，并且 是这样的映射

（2.1）

其中函数 \（\psi，\phi:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\） 满足以下条件以下为：

(\（{1}\）):

ψ 不会减少;

(\（a_｛2｝\）):

\（φ<psi） 对于任何 \（s>0\）;

(\（a{3}\）):

对于任何 。

然后 具有唯一的固定点 和迭代序列 收敛到 对于每个 。

三 \（（α，β，psi，φ））-内插收缩

正如我们在引言中所评论的，定理三由于声明中为了保证所涉及算子不动点的存在性和唯一性而假设的假设很弱，因此吸引了不动点理论领域的许多研究人员的注意此外，作者还展示了[23]过去几年在非线性分析中引入的许多不动点结果可以很容易地从定理中推导出来三。由于它的巨大影响，我们可以说从度量空间它本身是一个Proinov收缩如果有两种功能\（\psi，\phi:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\），满足条件(\（{1}\）), (\（a{2}\）)、和(\（a{3}\）)，使得收缩性条件(2.1)持有。定理三保证从一个完整的度量空间到其自身的每个Proinov收缩都有一个唯一的不动点。¹灵感来自这类收缩，也来自ω-插入式Chi-irić–Reich–Rus型收缩[22]在本文中，我们将研究满足更一般压缩性条件的自映射不动点的存在唯一性。

定义3

让是一个度量空间。地图据说是一个\（（α，β，psi，φ））-内插收缩如果存在\（[0,1）中的α、β这样的话\（α+β<1）和一对函数\（\psi，\phi:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）这样：

(3.1)

虽然第一眼看到的是收缩性(3.1)似乎与(2.1)，我们想强调的是，它们在性质上是完全不同的。主要区别在于收缩条件(2.1)只使用术语和，处于状态时(3.1)条款和也会出现。这个事实迫使我们假设初始点和用于收缩状态(3.1)不是映射的固定点，因为函数ϕ未为定义\（t=0）此外，在这种情况下，如果\（阿尔法=0）和是的固定点，的论点ϕ在的右侧(3.1)可以包含0类型的代数不确定性⁰为了表明这种差异非常重要，我们首先从显示每个Proinov收缩都是一个充分的频谱收缩开始我们的主要结果。

定理4

让 是度量空间的Proinov收缩 进入与功能相关的自身 \（\psi，\phi:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）。让我们定义以下为：

• 二元关系 \（\mathcal{宋体}_{十} \） 在 X（X） 由提供 为所有人 ,

• \（A=（0，+\输入）\）,

• \（\varrho_{\psi，\phi}：（0，+\infty）\次（0，+/infty，\rightarrow\mathbb{R}\）,

  $$\begin{aligned}&\varrho_{\psi，\phi}（t，s）=\phi（s）-\psi（t）\quad\textit{代表所有}t，s\in（0，+\infty）。\结束{对齐}$$

然后 是关于 \（\数学｛S｝\） 和 \（\ varrho _｛\psi，\ phi｝\） 满足附加属性 \（（\mathcal）{乙}_{2} ^{\prime}）\） 和 \（（\mathcal）{乙}_{5} ) \)。

证明

我们检查定义中给出的所有假设2。

\（（\mathcal）{乙}_{1} ) \)以下为：

这是微不足道的，因为\（A=（0，+\输入）\）。

\（（\mathcal）{乙}_{2} ) \)以下为：

让成为皮卡德\（\数学｛S｝\）-非递减序列这样的话

然后引理2意味着。

\（（\mathcal）{乙}_{2} ^{\prime}）\）以下为：

让是两个初始点，这样Picard序列和，由定义和为所有人\（k\in\mathbb{N}\），满足

因此，对于所有人来说\（k\in\mathbb{N}\）,

考虑到条件\（（a{2}）\）事实上，前面的不等式意味着

(3.2)

自从函数ψ那么就不会减少了为所有人\（k\in\mathbb{N}\）.让。请注意为所有人\（k\in\mathbb{N}\）.证明这一点，假设在这种情况下，以下限值相等：

然后(3.2)导致

这与之相矛盾(\（a{3}\）)因为

因此，也就是说，。

\（（\mathcal）{乙}_{2} ) \)以下为：

它直接从\（（\mathcal）{乙}_{2} ^{\prime}）\）通过选择任意点和使用在里面\（（\mathcal）{乙}_{2} ^{\prime}）\）。

\（（\mathcal）{乙}_{3} ) \)以下为：

让\（（a_{k}，b_{k{）成为-顺序如下\（{a{k}）和\（{b{k}）收敛到相同的极限并验证和\（\varrho{psi，\phi}（a{k}，b{k}）\geq0\）为所有人\（k\in\mathbb{N}\）因此，对于所有人来说\（k\in\mathbb{N}\）,\（0\leq\varrho{psi，\phi}（a{k}，b{k}）=\phi（b{k{）-\psi（a{k}）），所以\（psi（a{k}）.自\（a{k}>0\）和\（b{k}>0\），然后(\（a_｛2｝\）)意味着

$$\psi（a_｛k｝）\leq\phi（b_｛k｝）<\psi（b_｛k｝）\quad\text｛for all｝k\in\mathbb｛N｝$$

(3.3)

作为ψ不会减少，\（a{k}<b{k}\），所以为所有人\（k\in\mathbb{N}\）.考虑到

财产(3.3)导致

但是，如果，我们推断出一个矛盾(\（a{3}\）)因为

因此，。

\（（\mathcal）{乙}_{4} ) \)以下为：

让是这样的和也就是说，和因此收缩性条件(2.1)意味着

\（（\mathcal）{乙}_{5} ) \)以下为：

让\（（a{k}，b{k}）成为\（（（T，\mathcal{S}^{ast}）\）-顺序如下\（\{b_{k}\}\rightarrow 0\）和\（\varrho{psi，\phi}（a{k}，b{k}）\geq0\）为所有人\（k\in\mathbb{N}\）。我们可以重复(3.3)，所以我们推断\（a{k}<b{k}\）为所有人\（k\in\mathbb{N}\）.因此\（\{a_{k}\}\rightarrow0\）. □

推论1

每个Proinov收缩都是一个充分的频谱收缩。

推论2

定理三直接遵循定理1。

定理4意味着\（（α，β，psi，φ））-内插收缩属于一类收缩，其性质与Proinov收缩非常不同：每个Proinov压缩都是一个丰富频谱收缩的特殊情况；然而，就目前而言，研究两者之间可能的关系是一个悬而未决的问题\（（α，β，psi，φ））-插值收缩和大量频谱收缩。

4的不动点定理\（（α，β，psi，φ））-内插收缩

在本节中，我们将介绍一些不动点结果\（（α，β，psi，φ））-插值收缩。以下引理很重要，以便稍后证明Picard序列是Cauchy。

引理2

让 做一个 \（（α，β，psi，φ））-度量空间的插值收缩 融入自身,假设函数 ϕ 和 ψ 满足,至少,下列条件之一以下为：

(\（\mathbb{A}\）):

它可以容纳,同时,

(\（{1}\）):

ψ 不会减少,

(\（a{2}\）):

\（φ（s）<\psi（s）\） 为所有人 \（s>0\）,

(\（a{3}\）):

为所有人 。

(\（\mathbb{B}\）):

如果 \（{s_{n}\}\子集（0，+\infty）\） 是这样一个序列 \（psi（s{k+1}）\leq\phi（s{k}^{1-\beta}s{k+1}^{\beta{）\） 为所有人 \（k\in\mathbb{N}\）,然后 \（\{s_{k}\}\rightarrow 0\）。

然后 是渐近正则映射。

证明

让武断，让我们定义和为所有人\（k\in\mathbb{N}\）.如果有\（k_{0}\in\mathbb{N}\）这样的话，然后是的固定点.在这种情况下，相反，假设为所有人\（k\in\mathbb{N}\）。然后每个不是的固定点还有

应用收缩性条件(3.1)，我们推断\（k\in\mathbb{N}\）,

如果我们定义为所有人\（k\in\mathbb{N}\），前面的不等式意味着序列\（\｛s_｛k｝\｝\）满足\（磅/平方英寸（s_｛k+1｝）\leq\phi（s_｛k｝^｛1-\β｝s_｛k+1｝^｛β｝）\）为所有人\（k\in\mathbb{N}\）.在条件下(\（\mathbb{B}\）)，我们推断，这就完成了证明。

接下来，假设(\（\mathbb{A}\）)持有。自和，属性(\（a{2}\）)保证，对所有人来说\（k\in\mathbb{N}\）,

(4.1)

考虑到功能ψ没有减少，因此

这会立即导致

作为正实数序列严格递减，它是收敛的。然后就有了这样的话

为了证明这一点我们自相矛盾地认为在这种情况下，两个序列，

正在严格减少并收敛到（请注意，如果\（β=0），然后为所有人\（k\in\mathbb{N}\）). 作为ψ是非递减的，存在以下限制，并且它们相等：

因此\（k\rightarrow+\infty\）英寸(4.1)，存在以下极限，并且是有限的：

然而，这一事实与财产相矛盾(\（a{3}\）)因为

因此，和是渐近正则映射。□

备注1

• 1 请注意，前面的结果表明，条件（ii）在[23，引理3.2]当我们假设（iii）成立时。

• 2 我们包括假设(\（\mathbb｛B｝\）)因为它可以很容易地在实际例子中检查。例如，如果有\（[0,1）中的\lambda\）这样的话\（磅/平方英寸=秒）和\（φ=λs）为所有人\（在（0，+\infty）中为\），然后(\（\mathbb{B}\）)通常保持不变，我们不需要检查中给出的属性(\（\mathbb{A}\）).

我们在本文中的第一个主要定理是以下结果。

定理5

让 做一个 \（（α，β，psi，φ））-完备度量空间的插值压缩 融入自身,假设函数 ϕ 和 ψ 满足以下属性以下为：

(\（{1}\）):

ψ 不会减少,

(\（a{2}\）):

\（φ<psi） 为所有人 \（s>0\）,

(\（a{3}\）):

为所有人 。

然后 有一个固定点和Picard序列 收敛到 无论起始点是什么 。

证明

首先，让我们证明不是没有固定点的。让是一个任意的初始点，让我们考虑Picard序列属于从开始也就是说，定义和为所有人\（k\in\mathbb{N}\）.如果有\（k_{0}\in\mathbb{N}\）这样的话，然后是的固定点在这种情况下，证明的第一部分就完成了。接下来假设一下为所有人\（k\in\mathbb{N}\）因此引理2意味着

(4.2)

此外，命题1保证Picard序列的每两项是不同的，也就是说，对于任何\（k_{1}，k_{2}\in\mathbb{N}\）这样的话\（k{1}\neqk{2}）。

为了证明这一点是一个-柯西序列，我们用矛盾推理。假设不是-柯西。在这种情况下，引理1声明存在和两个部分子序列和属于这样的话

(4.3)

(4.4)

应用收缩性条件(3.1)和财产(\（a{2}\）)，我们推断\（k\in\mathbb{N}\）,

自ψ那么，就所有人而言，这并没有减少\（k\in\mathbb{N}\）,

这尤其意味着，对所有人来说\（k\in\mathbb{N}\）,

(4.5)

考虑到(4.2)–(4.4)，请注意

如果\（\alpha>0\）或\（β>0\）然后，让\（k\rightarrow+\infty\）英寸(4.5)，我们观察到

这与事实相矛盾为了避免这种矛盾，假设\（阿尔法=贝塔=0）在这种情况下，收缩性条件(3.1)由提供

尽管此条件比第[23]，该文中引理3.3证明的相同参数表明是中的Cauchy序列因此，我们已经证明，在任何情况下，序列是-完备度量空间中的柯西。因此这样的话也就是说，

我们声称为了证明这一点，用矛盾的方式假设也就是说，.按顺序是无限的，那么\（k_{0}\in\mathbb{N}\）这样的话和为所有人\（k\geq-k{0}\）.使用收缩性条件(3.1)和财产(\（a{2}\）)，我们推断\（k\ geq k_｛0｝\）,

自ψ没有减少，我们推断

(4.6)

自\（1-\α-\β>0\），然后，所以因此序列极限的唯一性在度量空间中保证，这是一个矛盾，因为我们假设不是的固定点。

这个矛盾最终证明了是的固定点还有Picard序列无论初始点是什么，都会收敛到这样一个不动点. □

一般来说，不动点的唯一性是不保证的。事实上，收缩性条件(3.1)那个\（（α，β，psi，φ））-插值映射满足不能用于在任何两个不同的不动点之间建立关系。条件的问题

是功能吗\（\psi，\phi:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）不一定定义为\（t=0）因此，如果（或)是的固定点，则前面不等式的右侧没有很好地定义。一方面，当ψ是不递减的，极限

$$\lim_{s\rightarrow 0^{+}}\psi（s）$$

存在，但当函数ψ不是从下面限定的。避免最后一个案例，我们可以合理地假设ψ定义明确\（t=0）另一方面，对于\（\phi（0）\）因为条件\（φ<psi\）不会导致附加条件，除非我们假设这两个函数ϕ和ψ将在持续\（t=0）在下面的结果中，我们说明了通过假设一个附加条件来推断不动点唯一性的简单方法。

定理6

给定一个映射 来自完全度量空间 融入自身,假设有两个实数 \（[0,1）中的α、β 这样的话 \（α+β<1） 和一对函数 \（\psi，\phi:[0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\） 令人满意的

对于任何 具有 (我们同意这一点 如果 \（阿尔法=0） 和 是的固定点 ,和类似的 ).此外,假设满足以下条件以下为：

(\（{1}\）):

ψ 不会减少 \（（0，+\infty）\）;

(\（a{2}\）):

\（φ<psi） 为所有人 \（s>0\）;

(\（a{3}\）):

为所有人 ;

(\（a{4}\）):

如果 \（s_{0}\在[0，+\infty中）\） 验证 \（磅/平方英寸（s_｛0｝）\leq\phi（0）\）,然后 \（s_{0}=0\）。

然后 具有唯一的不动点和Picard序列 收敛到这样一个不动点 无论起始点是什么 。

证明

让我们考虑一下限制函数\（\psi^{\prime}=\psi|_{（0，+\infty）}\）,\（\phi^{\prime}=\phi|_{（0，+\infty）}：（0，++）\rightarrow\mathbb{R}\）.然后是一个\（（alpha、beta、psi^{prime}、phi^{prime}）-插值映射。自\（\psi^{\prime}\）和\（\ phi ^｛\prime｝\）满足辅助条件(\（{1}\）), (\（a{2}\）)、和(\（a{3}\）)，定理5确保映射有一个固定点和Picard序列收敛到无论起始点是什么.为了证明不动点的唯一性，假设存在两个不同的不动点第页，共页.然后在这种情况下，收缩性条件意味着

(4.7)

我们可以通过以下推理得出一个矛盾。

• 如果\（阿尔法>0），然后，如果\（β>0\），然后在这两种情况下，然而，假设(\（a{4}\）)意味着，这与事实相矛盾。

• 如果\（阿尔法=贝塔=0），然后(4.7)意味着，这与(\（a{2}\）)因为。

在任何情况下，所获得的矛盾导致的不动点的唯一性. □

接下来，我们将展示先前主要结果的一些后果。

推论3

让 是一个完备的度量空间,然后让 成为映射。假设存在一个常数 \（（0,1）中的α） 和两个功能 \（\psi，\phi:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）,令人满意的(\（{1}\）), (\（a{2}\）),和(\（a{3}\）),这样的话

然后 有一个不动点和Picard序列 收敛到 无论起始点是什么 。

证明

它遵循定理5适用于该案件\（β=0）. □

即使我们假设。

推论4

让 是一个完备的度量空间,然后让 成为映射。假设存在两个函数 \（\psi，\phi:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）,令人满意的(\（{1}\）), (\（a{2}\）),和(\（a{3}\）),这样的话

然后 有一个固定点和Picard序列 收敛到 无论起始点是什么 。

证明

它遵循定理5适用于该案件\（阿尔法=贝塔=0）. □

推论5

让 是一个完备的度量空间,然后让 成为映射。假设存在一个常数 \（α在（0,0.5）中） 和两个功能 \（\psi，\phi：（0，+\infty）\rightarrow\mathbb｛R｝\）,令人满意的(\（{1}\）), (\（a{2}\）),和(\（a{3}\）),这样的话

然后 有一个固定点和Picard序列 收敛到 无论起始点是什么 。

证明

它与案例相对应\（α=β）在定理中5. □

推论6

让 是一个完备的度量空间,让 是映射,然后让 \（\phi:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\） 是满足以下条件的函数以下为：

(\（a{2}\）):

\（\phi（s）<s\） 为所有人 \（s>0\）;

(\（a{3}\）):

为所有人 。

如果我们假设存在两个常数 \（α，β在（0,1）中） 这样的话 \（α+β<1） 和

然后 有一个固定点和Picard序列 收敛到 无论起始点是什么 。

证明

只需要应用定理5什么时候\（磅/平方英寸=秒）为所有人\（在（0，+\infty）中为\）. □

推论7

让 是一个完备的度量空间,让 成为映射,然后让 \（\psi:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\） 是满足以下条件的函数以下为：

(\（{1}\）):

ψ 不会减少 \（（0，+\输入）\）;

(\（a{2}\）):

\（s<\psi（s）\） 为所有人 \（s>0\）。

如果我们假设存在两个常数 \（α，β在（0,1）中） 这样的话 \（α+β<1） 和

然后 有一个固定点和Picard序列 收敛到 无论起始点是什么 。

证明

我们使用函数\（\phi:（0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\）由定义\（φ=s）为所有人\（在（0，+\infty）中为\）注意，在这种情况下，对于所有人,

所以假设(\（a{3}\）)可以从中推断(\（a_｛1｝\）)和(\（a{2}\）). 因此，只需要应用定理5什么时候\（φ=s）为所有人\（在（0，+\infty）中为\）. □

推论8

让 是一个完备的度量空间,然后让 成为映射。假设存在三个常数 这样的话 \（α+β<1） 和

然后 有一个固定点和Picard序列 收敛到 无论起始点是什么 。

证明

这个结果来自定理5通过使用\（磅/平方英寸=秒）和为所有人\（在（0，+\infty）中为\）.此类功能明显满足条件(\（{1}\）), (\（a{2}\）)、和(\（a_｛3｝\）). □

5结论和展望工作

灵感来自两个著名的宫缩家族，即Proinov宫缩和ω-插值的Ćirić–Reich–Rus型收缩，在本文中我们引入了\（（\alpha，\beta，\psi，\phi）\）-内插收缩作为一种利用这两类压缩映射的最佳特性的方法。此外，我们已经表明，这种新的收缩与之前的定义在性质上是不同的，与上述家族相比，这为我们的提案提供了实质性的附加值。

在未来的工作中，我们将研究这类新的压缩映射与其他压缩映射族之间的可能关系，主要是为了寻找新的应用，我们还将尝试通过使用更一般的条件、辅助函数和代数结构来推广它们。