关于任意时间尺度上的nabla共形分数阶Hardy型不等式

摘要

本文的主要目的是介绍一些新的∇-时间尺度上的Hardy型的相容动态不等式。我们在时间尺度上利用链式法则和Fubini定理给出并证明了几个结果。我们的结果推广、补充和扩展了文献中已有的结果。所提结果的许多特殊情况，例如新的保角分数小时-和不等式，新的相容分式问-得到并分析了和不等式和新的经典保角分数次积分不等式。

1介绍

分数微积分理论在数学分析和应用中具有重要作用。分数微积分（FC）是非整数阶积分和导数的理论，是一个研究领域，其历史可以追溯到Abel、Riemann和Liouville（参见[33]历史总结）。事实上，最著名和最广泛研究的配方，

$$开始{aligned}I_{a+}^{alpha}\eta（t）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_{a}^{x}（x-t）^{\alpha-1}\eta（t）\，dt，\end{aligned}$$

被称为Riemann–Liouville分数积分以纪念他们。相应的分数阶导数是由分数阶积分与整数阶导数组成的。

分数阶积分和导数的定义并不是唯一的，许多分数阶导数算子的定义已经被引入，并成功地应用于科学和工程中的复杂系统（参见[17，32，37]). 近年来，分数阶动力学方程的研究在世界各地非常广泛，在纯数学、应用数学、物理、工程、生物学、经济学等领域都有着广泛的应用。他们在其公式中使用了积分，特别是柯西积分公式，并作了一些修改。因此，有时需要进行困难的计算才能获得。Riemann–Liouville和Caputo分数导数不满足乘积、商和链式规则等非线性导数规则。中值定理和罗尔定理并不是使用黎曼-刘维尔和卡普托分数导数的定义来表述的。

最近，仅依靠导数的基本极限定义，Khalil等人[31]提出了分数导数的一个新的简单定义，称为保形导数\（T_{α}f（T）\） \（（在（0,1]）中为α）函数的\（f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\）

$$开始{aligned}T_{alpha}f（T）=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{f（T+\epsi隆T^{1-\alpha}）-f（T）}{\epsilon}，\end{aligned}$$

为所有人\（t>0），\（在（0,1]\）中为α，这个定义在对分数微积分感兴趣的科学界引起了广泛的共鸣，参见[29，30，48]. 因此，通过这个定义计算导数很容易与基于积分的定义进行比较。研究人员[31]还建议了α-函数的保角积分η如下：

$$\开始{aligned}\int_{a}^{b}\eta（t）d_{alpha}t=\int_}a}^}\eta（t）t^{alpha-1}\，dt。\结束{对齐}$$

之后，阿卜杜勒贾瓦德[4]对新引入的整合演算进行了广泛的研究。在他的工作中，他推广了保角导数的定义\（T_{\alpha}^{a} （f）（t） \）对于\（t>a\in\mathbb{R}^{+}\）如下：

$$\开始{aligned}T_{\alpha}^{a} （f）（t） =\lim_{\epsilon\rightarrow 0}\frac{f（t+\epsi隆（t-a）^{1-\alpha}）-f（t）}{\epsilon}，\end{aligned}$$

哪里\（f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}\）Benkhetto等人[38]介绍了一种任意时间尺度上的保形微积分，它是保形微积分的自然扩展。

在过去的几十年里，许多作者指出，非整数阶的导数和积分非常适合描述各种真实材料的性质，例如聚合物。分数导数为描述各种材料和工艺的记忆和遗传特性提供了一种极好的工具。与经典的整数阶模型相比，分数阶导数具有一些优势。

时间尺度理论始于S.Hilger，已经成为一种趋势。在他的博士论文中，这个概念是为了得到一个定理中的连续定理和离散定理而提出的[27]. 在[12，13]Bohner和Peterson介绍了与时间尺度理论相关的最基本的概念和定义。接下来，给出了本手稿中使用的分数分析的一些基本定义和概念，并根据[12，13，34，38]. 实数的任何非空的任意闭子集称为时间尺度\（\mathbb{T}\）。我们假设\（\mathbb{T}\）实数上有标准拓扑\（\mathbb{R}\）现在，让我们\（\sigma:\mathbb{T}\rightarrow\mathbb{T}\）是由定义的前跳运算符

$$\begin{aligned}\sigma（t）：=\inf\{s\in\mathbb{t}：s>t\}，\quad t\in\mathbb{t{，\end{alinged}$$

(1.1)

和\（\rho:\mathbb{T}:\rightarrow\mathbb{T}\）是由定义的后向跳转运算符

$$\begin{aligned}\rho（t）：=\sup\{s\in\mathbb{t}：s<t\}，\quad t\in\mathbb{t{。\结束{对齐}$$

（1.2）

在(1.1)和(1.2)，我们设置\（\sup\mathbb{T}=\inf\emptyset\）（即。，\（σ（t）=t）如果吨是的最小值\（\mathbb{T}\）)和\（\inf\mathbb｛T｝=\sup\emptyset\）（即。，\（\rho（t）=t\）如果吨是最大值），其中∅是空集。A分\（t\in\mathbb{t}\）具有\（\inf\mathbb{T}<T<\sup\mathbb{T}\）如果\（\西格玛（t）=t\），如果为左旋\（\rho（t）=t\），右分散如果\（σ（t）>t），如果为左散射\（\rho（t）<t\）同时具有右向和左向特征的点称为稠密点，同时具有右散射和左散射特征的点则称为孤立点。正向和反向颗粒度函数μ和ν，对于时间刻度\（\mathbb{T}\），由定义\（\mu（t）：=\sigma（t）-t）和\（nu（t）：=t-\rho（t））分别是。

在[11]，作者研究了任意时间尺度上的nabla共形分数导数的一个版本。即，对于函数\（\ta:\mathbb{T}\rightarrow\mathbb{R}\），nabla共形分数导数，\（T_{nabla，\alpha}\eta（T）\in\mathbb{R}\）订单的\（在（0,1]\）中为α在吨∈\（\mathbb{T}（T）_{\kappa}\）和\（t>0）定义为：给定任何\（epsilon>0\），有一个δ-邻里\（U_{t}\子集\mathbb{t}\）属于吨，\（增量>0）这样的话

$$\begin{aligned}\bigl\vert\bigl[\eta\bigl（\rho（t）\bigr）-\eta（s）\biger]t^{1-\alpha}-t_{nabla，\alpha}（\eta）（t）\ bigl[\ rho（t）-s\bigr]\bigr\vert\leq\varepsilon\bigl\ vert\rho（d）-s\vigr\end{alinged}$$

为所有人\（s \在U_｛t｝\中）nabla适形分数积分由

$$\begin{aligned}\int\eta（t）\nabla_{\alpha}t=\int\eta（t）t^{\alfa-1}\nabla t.\end{alinged}$$

Rahmat等人[38]提出了一种新的包含时间尺度幂函数的保角nabla导数和积分\（\widehat{希腊}_{n} （t，s）\）对于秒，\（t\in\mathbb｛t｝\）并推广了nabla共形分数阶导数和积分在时间尺度上的定义[11]. 时间尺度幂函数采用以下形式\（（t-a）^{\eta}\）对于\（\mathbb{T}=\mathbb{R}\）这归结为Khalil等人定义的共形分数导数的定义[31]。

定义1.1

让\（[s，t]\子集\mathbb{t}\）和\（s<t \）.广义时间尺度幂函数\（\widehat{希腊}_{n} ：\mathbb{T}\times\mathbb{T}\longrightarrow\mathbb2{R}^{+}\）对于\（n \ in \ mathbb{无}_{0}\)由定义

$$\开始{aligned}\widehat{希腊}_{n} （t，s）=\textstyle\begin{cases}（t-s）^{n}，&\text{if}[t，s]\text{dense}；\\\prod_{j=0}^{n-1}（t-\rho^{j}（s）），&\text{if}[t，s]\text{isolated}；\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

（1.3）

及其逆函数\（\widehat{希腊}_{-n}:\mathbb{T}\times\mathbb2{T}\longrightarrow\mathbb{R}^{+}\）然后由给出

$$\开始{aligned}\widehat{希腊}_{-n}（t，s）=\textstyle\begin{cases}（t-s）^{-n}，&\text{if}[t，s]\text{condense}；\\\压裂{1}{\prod_{j=0}^{n-1}（\rho^{n}（t）-\rho_{j}（s））}，&\text{if}[t，s]\text{isolated}。\结束{cases}\displaystyle\end{aligned}$$

(1.4)

我们使用约定\（\widehat{希腊}_{0}（t，s）=1\）为所有人\（s，t\in\mathbb{t}\）。

推论1.2

对于 \（h>0），\（\mathbb{T}=h\mathbb2{Z}=\{hk:k\in\mathbb{Z}\}\），我们有 \（\rho^{k}=s-kh\）。然后

$$\开始{aligned}\widehat{希腊}_{n} （t，s）&=（t-s）^{（n）}_{h}\\&=\prod_{j=0}^{n-1}（t-s+jh）\\&=h^{n}\biggl（\frac{t-s}{h}\bigr）^{n）}，\quadr n \in\mathbb{n}，\ end{aligned}$$

（1.5）

和

$$\开始{aligned}\widehat{希腊}_{n} （t，s）&=（t-s）^{（-n）}_{h}\\&=\frac{1}{\prod_{j=0}^{n-1}（t-n-s+jh）}\\&=h^{-n}\biggl（\frac{t-n-s}{h}+n\biggr）^{（n）}，\quad n \ in \mathbb{n}，\ end{aligned}$$

(1.6)

哪里

$$开始{对齐}x^{（n）}=\frac{\Gamma（x+n）}{\Garma（x）}\quad\textit{和}\quad x^{（-n）}=\frac{1}{（x-n）^{。\结束{对齐}$$

对于 \（\mathbb{T}=q^{mathbb{无}_{0}}\)，我们有 \（\rho^{k}=平方{-k}\）。然后我们写

$$\开始{aligned}\widehat{希腊}_{n} （t，s）&=（t-s）^{（n）}{{\波浪形{q}}\\&=\prod_{j=0}^{n-1}\bigl（t-sq^{-j}\bigr）\\&=t^{n}\prod\j=0{^{n-1}\biggl（1-\frac{\tilde{q}^{j} 秒}{t} \biggr），\quad\biggl（0<\tilde{q}=\frac{1}{q}<1\biggr。\结束{对齐}$$

(1.7)

备注1.3

关于幂函数的推广\（\widehat{希腊}_{\字母}（t，s）\）到的实际值\（\alpha\geqslant 0\）（而不是整数），我们回忆起它的特殊情况的一个被广泛接受的扩展(1.5)和(1.7)在表格中（请参见[14])

$$开始{对齐}（t-s）^{（\alpha）}_{h}=h^{\alpha}\frac{\Gamma}^{\alpha}s/t，\tilde{q}）{\infty}}，\quad t\neq 0，\end{aligned}$$

(1.8)

哪里

$$\开始{aligned}（p，\tilde{q}）_{\infty}=\prod_{j=0}^{\inffy}（1-p\ tilde{q}）。\结束{对齐}$$

定义1.4

（共形nabla衍生物）

给定一个函数\（f:\mathbb{T}\longrightarrow\mathbb{R}\）和\（a \ in \ mathbb{T}\），（f）是\（（伽玛射线，a））-nabla在\（t>a\），如果它是nabla可微的吨、及其\（（伽玛射线，a））-nabla导数定义为

$$\开始{aligned}\nabla_{a}^{gamma}f（t）=\widehat{希腊}_{1-\gamma}（t，a）f^{\nabla}（t），\quad t>a，\end{aligned}$$

其中函数\（\widehat{希腊}_{1-\伽马}（t，a）\）定义见(1.3). 如果\（纳布拉{a}^{gamma}[f（t）]\）存在于某个间隔中\（（a，a+\epsilon）_{\mathbb{T}}，\epsilen>0\），然后我们定义

$$\开始{对齐}\nabla_{a}^{gamma}\bigl[f（a）\bigr]=\lim_{t\右箭头a^{+}}\nabla{a}^{gama}\bigle[f（t）\biger]\end{aligned}$$

如果\（\lim_{t\右长箭头a^{+}}\nabla_{a}^{\gamma}[f（t）]\）存在。此外，我们致电（f）是\（（伽玛射线，a））-nabla可微\（\mathbb{T}（T）_{k} \） \（（a \in\mathbb）{T}（T）_{k} ）\）假如\（纳布拉{a}^{gamma}[f（t）]\）对所有人都存在\（t \ in \ mathbb{T}（T）_{k} \）.功能\（nabla{a}^{gamma}:\mathbb{T}（T）_{k} \longrightarrow\mathbb{R}\）然后被调用\（（伽玛射线，a））-nabla导数（f）在\（\mathbb{T}（T）_{k} \）。

接下来，我们提供\（（伽玛射线，a））-和、积和商的nabla导数\（（伽玛射线，a））-nabla可微函数。

定理1.5

假设 \（f，g:\mathbb{T}\longrightarrow\mathbb{R}\） 是 \（（伽玛射线，a））-nabla在 \（t \ in \ mathbb{T}（T）_{k} \），\（t>a\）。然后:

• （i） 总额 \（f+g:\mathbb｛T｝\longrightarrow\mathbb｛R｝\） 是 \（（伽玛射线，a））-nabla在 吨 具有

  $$\开始{aligned}\nabla_{a}^{gamma}（rf+sg）（t）=r\nabla_{a{{gamma{f（t）+s\nabla{a}^{gama}g（t）。\结束{对齐}$$

• （ii） 对于所有人 \（k\in\mathbb{R}\），然后 \（kf:\mathbb{T}\longrightarrow\mathbb{R}\） 是 \（（伽玛射线，a））-nabla在 吨 具有

  $$\begin{aligned}\nabla_{a}^{gamma}（kf）（t）=k\nabla{a}^{gama}f（t）。\结束{对齐}$$

• （iii） 产品 \（fg:\mathbb{T}\longrightarrow\mathbb{R}\） 是 \（（伽玛射线，a））-nabla在 吨 具有

  $$\begin｛aligned｝\nabla _｛a｝^｛\gamma｝（fg）（t）=\bigl[\nabla _｛a｝^｛\gamma｝f（t）\bigr]g（t）+f^｛\rho｝（t）\bigl[\nabla _｛a｝^｛\gamma｝g（t）\bigr]。\结束{对齐}$$

• （iv） 如果 \（g（t）g ^｛\rho｝（t）\neq 0\），然后 \（f/g\） 是 \（（伽玛射线，a））-nabla在 吨 具有

  $$开始{aligned}\nabla_{a}^{gamma}\biggl（\frac{f}{g}\bigr）。\结束{对齐}$$

引理1.6

（链式规则）

让 \（g\在C^{nabla}_{ld}（\mathbb{T}）中\） 并假设 \（f:\mathbb｛R｝\rightarrow\mathbb｛R｝\） 是一个连续可微函数。然后 \（（（循环）：\mathbb{T}\rightarrow\mathbb{R}\） 是 \（（伽玛射线，a））-nabla可微且满足

$$\begin{aligned}\nabla^{gamma}_{a}（f\circ g）（t）=\biggl\{\int_{0}^{1} （f）'\bigl（g（t）-h\nu（t）g^{nabla}（t。\结束{对齐}$$

(1.9)

引理1.7

让 \（伽马\in（0,1]\）。假设 \（\xi:\mathbb{T}\rightarrow\mathbb{R}\） 是连续的，并且 \（（伽玛射线，a））-nabla阶可微 γ 在 \（位于{\mathbb{t}}_{k}\中），哪里 \（t>a\） 和 \（\ta:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\） 是连续可微的。然后就有了 c（c） 在实际间隔中 \（[\rho（t），t]\） 这样的话

$$\开始{aligned}\nabla_{a}^{gamma}（\eta\circ\xi）。\结束{对齐}$$

(1.10)

定义1.8

(γ-nabla积分一)

假设\（0<\gamma\leqsleat 1），一，\（t{1}\），\（t_{2}\在\mathbb{t}\中），\（工厂t_｛1｝\工厂t_｛2｝\）、和\（f\在C_｛ld｝（\mathbb｛T｝）\中）然后我们说（f）是\（（伽玛射线，a））-区间上的nabla可积\（[t{1}，t{2}]\）如果以下积分

$$\开始{对齐}\nabla^{-\gamma}_{a}f（t）&=\int_{t{1}}^{t{2}}f（\tau）\nabala^{gamma}{a}\tau\\&=\int_{t}1}}^{t}2}f（\t）\widehat{希腊}_{\gamma-1}\bigl（\sigma^{\gama-1}（\tau），a \bigr）\nabla\tau \end{aligned}$$

（1.11）

存在且是有限的。

我们需要时间尺度上不同类型演算之间的关系\（\mathbb{T}\）连续微积分、离散微积分和量子微积分如下。注意：对于这种情况\（\mathbb{T}=\mathbb{R}\），我们有经典的共形积分，定义见[4]，即

$$\开始{aligned}\int_{a}^{t}f（\tau）\nabla^{gamma}_{a{tau=\int_}a}^}f（\t au）（\tau-a）^{gama-1}\，d\tau。\结束{对齐}$$

(1.12)

对于\（\mathbb{T}=h\mathbb{Z}\），\（h>0），我们有一个新的共形分数小时-金额由

$$\begin{aligned}\int_{a}^{t}f（\tau）\nabla^{gamma}_{a{tau=\sum_{tau\in（a，t]}hf（\tao）\bigl（\rho^{gama-1}（\t au）-a\bigr）_{h}^{（\gamma-1）}。\结束{对齐}$$

(1.13)

对于\（\mathbb{T}=q^{mathbb{无}_{0}}\)，我们有一个新的共形分数问-金额由

$$\begin{aligned}\int_{a}^{t}f（\tau）\nabla^{gamma}_{a{tau=\sum_{tau\in（a，t]}\tau（1-\tilde{q}）f（\tao）\bigl（\rho^{gama-1}（\tau）-a\bigr）_{tilde{q}^{（\gamma-1）}。\结束{对齐}$$

(1.14)

定理1.9

让 \（伽马\in（0,1]\） 和 \（a \ in \ mathbb{T}\）。然后，对于任何ld-连续函数 \（f:\mathbb{T}\longrightarrow\mathbb{R}\），存在一个函数 \（F:\mathbb{T}\longrightarrow\mathbb{R}\） 这样的话

$$\开始{aligned}\nabla_{a}^{gamma}F（t）=F（t）\quad\textit{for-all}t\in\mathbb{T}（T）_{k} ●●●●。\结束{对齐}$$

功能 F类 称为 \（（伽玛射线，a））-纳布拉抗衍生药 （f）。

定理1.10

让 \（伽马\in（0,1]\）。如果 一，\（t{1}\） \（t{2}\），\（t_{3}\在\mathbb{t}\中），\（a \leq斜面t{1}\leq斜面t{2}\leq倾斜面t{3}\），\（\alpha\in\mathbb{R}\），和 （f），\（g\在C_{ld}（\mathbb{T}）中\），然后

• （i） \（int_{t_{1}}^{t_{2}}[f（t）+g（t）]\nabla_{a}^{gamma}t=\nint_{t{1}{^{t{2}f（t。

• （ii） \（int_{t{1}}^{t{2}}\αf（t）\nabla_{a}^{gamma}t=\alpha\int_{t_1}}^{t}}f（t。

• （iii） \（int_{t{1}}^{t{2}}f（t）\nabla_{a}^{gamma}t=-\int_{t_2}}^}t{1{}f（t）\nabala}^}）。

• （iv） \（int_{t{1}}^{t{3}}f（t）\nabla{a}^{gamma}s=\int_{t1}}^}{t{2}}f。

• （v） \（int_{t_{1}}^{t_1}}f（t）\nabla_{a}^{gamma}t=0\）。

• （vi） 如果 \（垂直f（t）垂直g（t）） 在 \（[t{1}，t{2}]\），然后

  $$\开始{aligned}\biggl\vert\int_{t{1}}^{t{2}}f（t）\nabla_{a}^{gamma}t\biggr\vert\leq\int_{t_1}}^{t_2}}g（t）\nabla{a}^}{gamma t.\end{aligned}$$

哈代型不等式的研究吸引并仍然吸引着许多研究者的关注。几十年来，对上述不等式进行了许多推广、扩展和改进，我们请感兴趣的读者参阅论文[1，8，9，18，19，23，24，35，36，41，44]，另请参见[2，21，22，24]以及其中引用的参考文献。

哈代[25]建立了经典的离散不等式。

定理1.11

让 \（\{\varrho（\imath）\}_{\imath=1}^{\infty}\） 是非负实数序列。对于 \（1<p），我们有

$$\begin{aligned}\sum_{\imath=1}^{\infty}\frac{1}{\imash^{p}}\Biggl（\sum_{\jmath=1}^}\imath}\varrho（\jmath）\Biggr）^{p{\leq\Biggl（\frac{p}{p-1}\Biggr）。\结束{对齐}$$

(1.15)

1925年，哈代利用变分法[26]引入了不等式的连续形式(1.15).

定理1.12

假设连续函数 \（\eta\geq 0\） 在 \（[0，\infty）\）。对于 \（1<p），我们有

$$开始{aligned}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\pi^{p}}\biggl（\int_}0}^}\pi}\eta（s）\，ds\biggr）^{p{\，d\pi\leq\biggal（\frac}{p}{p-1}\bigr）^{p}\int_{0}^{\ifty}\eta^{pneneneep（\pi）\，d\\pi。\结束{对齐}$$

(1.16)

常量\（（\压裂{p}{p-1}）^{p}\）在(1.16)是锋利的。

科普森[16]得到了另一个经典的Hardy型离散不等式。

定理1.13

让 \（\{\varrho（\imath）\}_{\imath=1}^{\infty}\） 是非负实数序列。对于 \（1<p），我们有

$$\begin{aligned}\sum_{\imath=1}^{\infty}\Biggl（\sum_{\jmath=\imath}^{\finty}\varrho（\jmath）\Biggr）^{p}\leqp^{p{\sum{\imash=1}^}\infty}\bigl（\imath\varrho（\imath）\bigr）^{p}。\结束{对齐}$$

(1.17)

雷诺[40]证明了以下两个结果，即不等式的逆离散和连续形式(1.17).

定理1.14

假设 \（\{\varrho（\imath）\}_{\imath=1}^{\infty}\） 是一个非负且不递增的实数序列。对于 \（1<p），我们有

$$\begin{aligned}\sum_{\imath=1}^{\infty}\Biggl（\sum_{\jmath=\imath}^{\finty}\varrho（\jmath）\Biggr）^{p}\geq\sum_}\imath=1}^{\ inftyneneneep \imath^{p{\varrho^{p}（\imath）。\结束{对齐}$$

(1.18)

定理1.15

假设 η 是区间上的非负且不增加的函数 \（[0，\infty）\）。对于 \（1<p），我们有

$$\begin{aligned}\int_{0}^{\infty}\biggl（\int_{\pi}^{\finty}\eta（s）\，ds\biggr）^{p}\，d\pi\geq\int_}0}^}\infty}\pi{p}\eta^{p{}（\pi）\，d\\pi。\结束{对齐}$$

(1.19)

雷诺[40]证明了以下结果。

定理1.16

假设 η 是区间上的非负且不增加的函数 \（[0，\infty）\）。对于 \（1<p），我们有

$$\开始{aligned}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{\pi^{p}}\biggl（\int_}0}^}\pi}\eta（s）\，ds\biggr）^{p{\，d\pi\geq\frac}{p-1}\int_{0}。\结束{对齐}$$

(1.20)

在[三，6，12，19，20，24，28，39]许多数学家研究了几种新形式的动态不等式。2005年，艾哈克[39]是第一位引入统一不等式的哈代不等式时间尺度版本的数学家(1.15)和(1.16)如下所示。

定理1.17

让 \（\mathbb{T}\） 是一个时间刻度，和 \（C_{rd}（[a，\infty）_{\mathbb{T}}，[0，\inft）中的f\）。如果 \（p>1），然后

$$开始{aligned}\int_{a}^{\infty}\biggl（\frac{\int_}a}^{\sigma（t）}\eta$$

(1.21)

除非 \（\t等于0）。

此外，如果 \（\mu（t）/t\右箭头0\） 作为 \（t\rightarrow\infty\），然后是不等式(1.21)很锋利。

Saker等人[43]在时间尺度上研究了以下结果。

定理1.18

让 \（\mathbb{T}\） 是一个时间刻度 \（1倾斜c倾斜k）。让

$$\begin{aligned}\chi（t）=\int_{a}^{t}\lambda（s）\Delta s\quad\textit{用于[a，\infty）_{mathbb{t}}，\end{aligned}中的任意}$$

(1.22)

并定义

$$\begin｛aligned｝\Theta（t）=\int _｛a｝^｛t｝\lambda（s）\xi（s）\Delta s\quad\textit｛for any｝t\ in[a，\infty）_｛\mathbb｛t｝｝｝.\end｛aligned｝$$

(1.23)

然后

$$开始{aligned}\int_{a}^{\infty}\frac{\lambda（t）}{（chi^{\sigma}（t））^{c}\bigl较大）^{k-1}\增量t.\结束{对齐}$$

和

$$开始{对齐}\int_{a}^{\infty}\frac{\lambda（t）}{（\chi^{\sigma}（t）^{（k-1）c}}{（\chi（t））^{k（c-1）}}\lambda（t）\xi^{k}（t$$

定理1.19

让 \（\mathbb{T}\） 是一个时间刻度 \（k>1） 和 \（0\leqslead c<1\）。让 χ 定义如下(1.22)并定义

$$\begin{aligned}\overline{\Theta}（t）=\int_{t}^{\infty}\lambda（s）\xi（s）\ Delta s\quad\textit{用于[a，\infty）_{\mathbb{t}}.\end{alinged}中的任何}$$

然后

$$开始{对齐}\int_{a}^{\infty}\frac{\lambda（t）}{（\chi^{\sigma}（t））^{c}\bigl（t）\bigl（\overline{\Theta}（t）\ bigr）^{k-1}\Delta t\end{aligned}$$

和

$$开始{对齐}\int_{a}^{\infty}\frac{\lambda（t）}{（\chi^{\sigma}（t））^{c}}\bigl）^{k-c}\lambda（t）\xi^{k}（t）\增量t.\end{aligned}$$

阿加瓦尔等人[7]广义不等式(1.20)时间刻度如下：\（p>1），

$$\开始{aligned}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{t^{p}}\biggl（\int_}^{t}\eta（s）\Delta s\biggr）^{p{\Delta t\geq\frac{p}{p-1}\int_{0}^{\infty}\eta^{pneneneep（t）\Delta.t\end{aligned}$$

(1.24)

2020年，El-Deeb等人[23]建立了(1.24)它们统一了(1.18)和(1.19)格式如下：\（1\leq p\）和\（1<\gamma\），我们获得

$$开始{aligned}\int_{a}^{infty}\frac{\tilde{\lambda}（\zeta）\breve{\Psi}^{p}（\ zeta）}{\tilde{\lambda}^{\hat{\gamma}}（\szetaλ}^{p-\hat{\gamma}}（\zeta）\eta^{p}（\ zeta）\δ\zeta，\end{aligned}$$

哪里

$$\begin{aligned}\breve{\Psi}（\zeta）=\int_{a}^{\zeta}\tilde{\lambda}（\ta）\eta（s）\Delta\eta\quad\text{and}\quad\\tilde}\lambda}（\ze塔）=\int _{a}^{\zeta}\titde{\lambda}（\t）\Delta。\结束{对齐}$$

有关时间尺度上Hardy-type不等式的更多结果，我们请感兴趣的读者参阅[8，18，35，36，44]。

几年前，通过使用共形演算，已经发表了许多关于共形不等式的论文，一些作者研究了不同的不等式，如Hardy不等式[42，49]，Hermite–Hadamard不等式[5，15，47]，Opial不等式[10，45]和Steffensen不等式[46]. 例如，在2020年，Saker等人[42]给予α-定理的整合版本1.18和定理1.19时间刻度如下。

定理1.20

让 \（\mathbb{T}\） 是一个时间刻度 \（1倾斜c倾斜k），并定义

$$\开始{aligned}\chi（x）=\int_{a}^{x}\lambda（s）\Delta_{alpha}s\quad\textit{和}\quad\Theta（x）=\int_{a}^{x{lambda$$

如果

$$\begin｛aligned｝\Theta（\infty）<\infty\quad\textit｛and｝\quad\int _｛a｝^｛\infty｝\frac｛\lambda（s）｝｛（\chi^｛\sigma｝（s））^｛c-\alpha+1｝｝\Delta _｛\alpha｝s<\infty，\end｛aligned｝$$

然后

$$开始{对齐}\int_{a}^{\infty}\frac{\lambda（x）}{（\chi^{\sigma}（x））^{c-\alpha+1}}\bigl（\Theta（x）\bigr chi（x））^{k（\alpha-c）}}{（\chi^{\sigma}（x$$

最近，Zakarya等人[49]给出了一个α-定理的整合版本1.20时间刻度如下。

定理1.21

假设 \（\mathbb{T}\） 是带有的时间刻度 \（（0，infty）_{\mathbb{T}}中的\omega\）。如果 \（k倾斜0<h<1） 和 \（在（0,1]\）中为α，定义

$$\begin{aligned}\chi（t）=\int_{t}^{infty}\lambda$$

然后

$$\开始{aligned}\int_{\omega}^{\infty}\frac{\lambda（t）}{\chi^{k-\alpha+1}（t）{\bigl（\Theta^{\sigma}（t）\bigr）^{h}\Delta_{\alpha}t\geqslate\biggl（\frac}{h}{\alfa-k}\biggr）h}（t）\chi^{h-k+\alpha-1}（t）\Delta_{\alpha}t.\end{aligned}$$

在本文中，受[7，23，43]，我们通过共形分式引入了Hardy型动态不等式的一个新的nabla版本∇-阶积分\（伽马\in（0,1]\）在时间尺度上。这些不等式有一种全新的形式。因此，作为特例，我们得到了一些新的共形分式小时-和不等式，新的相容分式问-和不等式，以及新的经典保形分数积分不等式。

2主要成果

现在，我们准备陈述并证明我们的主要成果。在本节中，任何时间尺度\（\mathbb{T}\）是无界的，我们假设不等式的右边收敛，如果左边收敛。

定理2.1

假设 \（\mathbb{T}\） 是带有的时间刻度 \（0\leqr\in\mathbb{T}\）。此外，假设是这样 （f） 和 λ 是非负的身份证-上的连续函数 \（[r，\infty）_{\mathbb{T}}\） 具有 （f） 无衰减。如果 \（第1页） 和 \（\beta\leqsleat 0\），然后针对 \（t \ geq斜面a \ in \ mathbb{t}\） 和 \（伽马\in（0,1]\） 我们有这个

$$开始{aligned}\int_{r}^{infty}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{（\lambda^{\rho}（t））^{beta}}\nabla_{a}^{gamma}t\leqslead\int_{r}^{ifty}\frac{\lampda（t{（\lambda^{\rho}（t））^{\beta}}\nabla_{a}^{\gamma}t，\end{aligned}$$

(2.1)

哪里

$$\begin{aligned}\Phi（t）=\int_{t}^{infty}\lambda（s）f$$

证明

作为（f）没有减少，我们有\（x\geq t\geq r）

$$\开始{对齐}F（x，t）=\int_{t}^{x}\lambda（s）F$$

然后

$$\开始{对齐}f（x）f^{p-\gamma}（x，t）\leqsleat\biggl[\int_{t}^{x}\lambda（s）\nabla_{a}^{gamma}s\biggr]^{p-\ gamma}f^{p-\gamma+1}（x）。\结束{对齐}$$

(2.2)

应用链式规则(1.9)和使用\（nabla_{a}^{{gamma，x}}F（x，t）=\lambda（x）F（x）\geq0），其中\（nabla{a}^{{gamma，x}}）表示\（（伽玛射线，a））-关于的nabla导数x个，我们得到

$$开始{对齐}\nabla_{a}^{\gamma，x}}\bigl（F^{p-\gamma+1}（x，t）\bigr）&=（p-\gama+1）\nabla_{a}^{\gamma，x}}F（x，t）\int_{0}^{1}\bigr[（1-h）F（x、t）+hF\bigl（\rho（x），t\bigr]^{p-\ gamma}\，dh\\&\leqsleat（p-\gamma+1）\lambda（x）F（x）\int_{0}^{1}\bigl[（1-h）F（x，t）+hF（x、t）\bigr]^{p-\gama}\，dh\\&=（p-\gamma+1）\ lambdaF^{p-\gamma}（x，t）。\结束{对齐}$$

(2.3)

组合(2.2)带有(2.3)给予

$$开始{aligned}\nabla_{a}^{\gamma，x}}\bigl（F^{p-\gamma+1}（x，t）\bigr）\leqslate（p-\gama+1）\lambda（x$$

所以（注意\（x\geq t\geq r）因此由于∧是非退化的，\（（0\leqsleat（\Lambda^{rho}（x））^{beta}\leqstreat\Lambda~{rho{（t））^}\beta}\）)

$$开始{对齐}\frac{\lambda（t）\nabla_{a}^{\gamma，x}}（F^{p-\gamma+1}（x，t））}{（\lambda^{\rho}（t））^{\beta}}和\leqslate\frac}（p-\gama+1）\lambda^（t ^{x}\lambda（s）\nabla_{a}^{gamma}s\biggr]^{p-\gamma}F^{p-\ gamma+1}（x）\\&\leqsleat\frac{（p-\ gama+1）\lambda（t）\lambda（x）}{（\lambda^{\rho}（x））^{\beta}}\biggl[\int_{t}^{x}\lambda。\结束{对齐}$$

在以下方面整合双方x个结束\（[t，\infty）_{\mathbb{t}}\）给予

$$开始{对齐}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{（\lambda^{\rho}（t））^{\beta}}&=\int_{t}^{\infty}\frac{\lampda（t \nabla_{a}^{gamma}x\\&\leqslate（p-\gamma+1）\nint_{t}^{infty}\frac{\lambda（t）\lambda（x）}{（\lambda^{rho}（x））^{\beta}}\biggl[\int_{t}^{x}\lambda（s）\nabla_{a}^{gamma，x}s\biggr]^{p-\gamma}f^{p-\ gamma+1}（x）\nabla _{a}^{gama}x$$

再次整合双方，但这次涉及吨结束\（[r，\infty）_{\mathbb{T}}\），生产

$$\开始{对齐}&\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{（\lambda^{\rho}（t））^{\beta}}\nabla{a}^{\ gamma}t\\&\quad\leqslate（p-\gama+1）\int_}{r}{\inffy}\biggl[\int _{t}^{infty{\lampda（t）\lambda（x）}{（\lambda^{\rho}（x））^{\beta}}\biggl[\int_{t}^{x}\lambda（s）\nabla_{a}^{gamma}s\biggr]^{p-\gamma}f^{p-\gamma+1}（x）\nabla{a}^{gamma}x\biggr]\nabla{a}^{gama}t.\end{aligned}$$

(2.4)

利用时间尺度上的Fubini定理，不等式(2.4)可以重写为

$$\开始{对齐}&\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{（\lambda^{\rho}（t））^{\beta}}\nabla_{a}^{\ gamma}t\\&\quad\leqslate（p-\gama+1）\\&\qquad{}\times\int_{r\}^{infty{\lampda（x）\bigl（\lambda^}rho}（x）\bigr）^{-\beta}f^{p-\gamma+1}（x）\biggl[\int_{r}^{x}\lambda（t）\bigl[\int_{t}^{x}\lampda（s）\nabla{a}^{gamma}s\biggr]^{p-\gamma}\nabla{a}^{gama}t\biggr]$$

(2.5)

现在，根据链式法则(1.10)，存在\（c在[\rho（t），t]\中）这样（这里\（nabla{a}^{{gamma，t}}）表示\（（伽玛射线，a））-关于的nabla导数吨)

$$\开始{对齐}\nabla_{a}^{\gamma，t}}\biggl[-\biggl（\int_{t}^{x}\lambda（s）\nabla{a}^{\gamma}\bigr）^{p-\gamma+1}\bighr]&=（p-\gama+1）\lambda（t）\biggl/（int_{c}^{x}\lamda（s）\nabla}^}\gamma}s\biggr]^{p-\gamma}\\&\geqsland（p-\gama+1）\lambda（t）\biggl[\int_{t}^{x}\lambda\s）\nabla_{a}^{\gammaneneneep s\biggr]^{p-\gamma}。\结束{对齐}$$

(2.6)

替换(2.6)到(2.5)导致

$$\开始{对齐}&\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{（\lambda^{\rho}（t））^{\beta}}\nabla_{a}^{\ gamma}t\\&\quad\leqslead\int_{r}^{\finfty{\lamda（x）\bigl（\lambda^{\rho}（x）\ bigr）^{-\beta{f ^{p-\gamma+1}（x）\biggl[\int_{r}^{x}-\nabla_{a}^{{gamma，t}}\biggl[\biggl（\int_{t}^{x}\lambda（s）\nabla{a}^{gamma}s \biggr）^{p-\gamma+1}\bigr]\nabla-{a}{gammaneneneep t\biggr]\nabra_{a{{gama}x\\quad=\int_}r}^{infty}\frac{\lambda（x）\lambda（x）da^{p-\gamma+1}（x）f^{p-\ gamma+1（x）}{（\lambda^{\rho}（x））^{\beta}\nabla_{a}^{\gamma}x$$

这表明了不等式的有效性(2.1). □

现在，作为我们结果的特例，我们给出了连续、离散和量子α-共形不等式。也就是说，在时间尺度的情况下\（\mathbb{T}=\mathbb{R}\），\（\mathbb{T}=h\mathbb{Z}\），\（\mathbb{T}=\mathbb{Z}\）、和\（\mathbb{T}=q^{mathbb{无}_{0}}\)。

推论2.2

如果 \（\mathbb{T}=\mathbb{R}\） 在定理中2.1，不平等(2.1)减少到

$$开始{对齐}\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{\lambda^{\beta}（t）}（t-a）^{\gamma-1}\，dt\leqslead\int_{r}^{\finfty{\lampda（t \结束{对齐}$$

哪里

$$\begin{aligned}\Phi（t）=\int_{t}^{infty}\lambda$$

推论2.3

如果 \（\mathbb{T}=h\mathbb{Z}\） 在定理中2.1，不平等(2.1)减少到

$$开始{对齐}和\sum_{t=\frac{r}{h}}^{\infty}\frac}\lambda（ht）\Phi^{p-\gamma+1}（ht）}{\lambda^{\beta}（ht-h）}\bigl（\rho^{\gamma-1}{\infty}\frac{\lambda（ht）\lambda^{p-\gamma+1}（ht）f^{p-\ gamma+1（ht）}{\lambda（{\beta}（ht-h）}\bigl（\rho^{\gamma-1}（ght）-a \biger）{h}^{（\gamma-1）}，\end{aligned}$$

哪里

$$\开始{对齐}&\Phi（t）=h\sum_{s=\frac{t}{h}}^{infty}\lambda（hs）f（hs{h} -1个}\λ（hs）\bigl（\rho^{gamma-1}（hs）-a\bigr）{h}^{（\gamma-1）}。\结束{对齐}$$

推论2.4

对于 \（\mathbb{T}=\mathbb{Z}\），我们只需要 \（h=1） 在推论中2.3。在这种情况下，不平等(2.1)减少到

$$开始{对齐}\sum_{t=r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{\lambda^{\beta}（t-1）}\bigl f^{p-\gamma+1}（t）}{\lambda^{\beta}（t-1）}\bigl（\rho^{\gamma-1}（t）-a\bigr）^{（\gamma-1）}，\end{aligned}$$

哪里

$$\begin{aligned}\Phi（t）=\sum_{s=t}^{\infty}\lambda（s）f（s）\bigl（\rho^{\gamma-1}（s）-a\bigr）^{（\gamma-1）}\quad\textit{和}\quade\lambda（t）=\sum_{s=r}^{t-1}\lampda（s。\结束{对齐}$$

推论2.5

如果 \（\mathbb{T}=q^{mathbb{无}_{0}}\) 在定理中2.1，不平等(2.1)减少到

$$开始{对齐}和\sum_{t\in（r，\infty）}\frac{t（\rho^{\gamma-1}（t）-a）{\tilde{q}}^{（\gamma-1）}\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}{\gamma-1}（t）-a）{\tilde{q}}^{（\gamma-1）}\lambda（t）\lambda^{p-\gamma+1})}，\结束{对齐}$$

哪里

$$\开始{对齐}&\Phi（t）=（\波浪号{q} -1个)\sum_{s\in（t，\infty）}s\lambda（s）f（s）\bigl（\rho^{\gamma-1}（s）-a\bigr）_{\tilde{q}}^{（\gamma-1）}\quad\textit{和}\\&\lambda（t）=（\tilde{q} -1个)\sum{s\in（r，t）}s\lambda（s）\bigl（\rho^{\gamma-1}（s）-a\bigr）{\tilde{q}}^{（\gamma-1）}。\结束{对齐}$$

讨论不等式很有趣(2.1)改变积分极限后\（\int_{r}^{t}\lambda（s）\nabla_{a}^{gamma}}s\）来自吨至∞。让我们在下面的定理中这样做。

定理2.6

在定理的相同假设下2.1具有 \（β>1\），那么我们就有了

$$\begin｛aligned｝\int _｛r｝^｛\infty｝\frac｛\lambda（t）\Phi^｛p-\gamma+1｝（t）｝｛\Omega ^｛β-\gamma+1｝（t）｝\nabla _｛a｝^｛\gamma｝t\leqslant\frac｛p-\gamma+1｝｛β-\gamma｝\int _｛r｝^｛\infty｝\lambda（t）\Omega ^｛p-\gamma+1｝（t）\nabla _｛a｝^｛\gamma｝t，\结束｛对齐｝$$

(2.7)

哪里

$$\beagin｛aligned｝\Phi（r）=0，\qquad\Phi（t）=\int _｛t｝^｛\infty｝\lambda（s）f（s）\nabla _｛a｝^｛\gamma｝s\quad\textit｛and｝\quad\Omega（t）=\int _｛t｝^｛\infty｝\lambda（s）\nabla _｛a｝^｛\gamma｝s \end｛aligned｝$$

证明

自（f）没有减少，我们有\（t \geq x \geq r）

$$\begin{aligned}\Phi（x）=\int_{x}^{infty}\lambda（s）f（s）\nabla_{a}^{gamma}s\geqslatef（x）\Omega（x）。\结束{对齐}$$

所以，

$$\开始{对齐}f（x）\Phi^{p-\gamma}（x）\ geqslide\Omega^{p-\ gamma}（x）f^{p-\gamma+1}（x）。\结束{对齐}$$

(2.8)

利用链式法则(1.9)和使用\（\nabla_{a}^{gamma}（\Phi（x））=-\lambda（x）f（x）\leq0），我们得到

$$\开始{对齐}\nabla_{a}^{\gamma}\bigl（\Phi^{p-\gamma+1}（x）\bigr）&=（p-\gama+1）\nabla _{a}^{\gamma}\bigl（\ Phi（x）\ bigr leqslate-（p-\gamma+1）\lambda（x）f（x）\int_{0}^{1}\bigl[h\Phi（x）+（1-h）\Phi，dh\\&=-（p-\gamma+1）\lambda（x）f（x）\Phi^{p-\garma}（x）。\结束{对齐}$$

(2.9)

发件人(2.8)和(2.9)我们得到了

$$\begin{aligned}\nabla_{a}^{gamma}\bigl（\Phi^{p-\gamma+1}（x）\biger）\leqslate-（p-\gama+1）\lambda（x）\ Omega^{p-\ gamma}（x）f^{p-\gamma+1}（z）。\结束{对齐}$$

因此，

$$开始{对齐}\frac{\lambda（t）\nabla_{a}^{gamma}（\Phi^{p-\gamma+1}（x）（t）}。\结束{对齐}$$

因此，在整合双方x个结束\（[r，t]_{\mathbb{t}}\），

$$开始{对齐}\frac{\lambda（t）[\Phi^{p-\gamma+1}（t）}\nabla{a}^{gamma}x\\&\leqslate-（p-\gamma+1）\int_{r}^{t}\frac{\lambda（t）\lambda（x）\Omega^{p-\gama}（x）f^{p-\gamma+1}（x）}{\Omega^{\beta-\gamma+1}（t）}\nabla{a}^{\gamma}x.\end{aligned}$$

自\（\Phi^{p-\gamma+1}（r）=0\），我们有

$$开始{对齐}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{\Omega^{\beta-\gamma+1}}\nabla{a}^{gamma}x.end{aligned}$$

然后，通过整合双方吨结束\（[r，\infty）_{\mathbb{T}}\），我们得到

$$开始{对齐}和\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{\Omega^{\beta-\gamma+1}da（x）\Omega^{p-\gamma}（x）f^{p-\ gamma+1}（x）}{\Omega ^{beta-\gamma+1{（t）}\nabla_{a}^{gamma}x\biggr]\nabla_{a}^{\gamma}t.\end{aligned}$$

（2.10）

借助于Fubini时间尺度定理，不等式(2.10)可以重写为

$$开始{对齐}和\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{\Omega^{\beta-\gamma+1}}（x）\biggl[\int_{x}^{\infty}-\lambda（t）\Omega^{-（beta-\gamma+1）}（t）\nabla_{a}^{gamma}t\biggr]\nabla{a}^{gamma}x.end{aligned}$$

(2.11)

来自链式规则(1.10)，存在\（d\in[\rho（t），t]\）具有

$$开始{对齐}-\nabla_{a}^{\gamma}\bigl。\结束{对齐}$$

(2.12)

组合(2.12)和(2.11)收益率

$$\开始{对齐}&\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t（x）f^{p-\gamma+1}（x）\biggl[\int_{x}^{infty}-\nabla_{a}^{gamma}\bigl（\Omega^{-\beta+\gamma}（t）\biger）\nabla{a}^{gamma}t\biggr]\nabla{a}^{ga玛}x \\&\quad=\frac{p-\gamma+1}{\beta-\gamma}\int_{r}^{infty}\lambda（x）\Omega^{p-\beta}（x）f^{p-\ gamma+1}（x）\nabra{a}{gamma x，\end{aligned}$$

从哪个不等式(2.7)如下。□

我们准备将我们的结果的几个特殊情况呈现给连续、离散和量子α-共形不等式。也就是说，在时间尺度的情况下\（\mathbb{T}=\mathbb{R}\），\（\mathbb{T}=h\mathbb{Z}\），\（\mathbb{T}=\mathbb{Z}\）、和\（\mathbb{T}=q^{mathbb{无}_{0}}\)。

推论2.7

如果 \（\mathbb{T}=\mathbb{R}\） 在定理中2.6，然后是不等式(2.7)归结为

$$开始{aligned}\int_{r}^{infty}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{\Omega^{\beta-\gamma+1}（t）}（t-a）^{\gamma-1}\，dt\leqsleat\frac{p-\gamma+1}{\beta-\gamma}\int_{r}{infty}\lambda^{（t p-\gamma+1}（t）（t-a）^{\gamma-1}\，dt，\end{aligned}$$

哪里

$$\begin{aligned}\Phi（t）=\int_{t}^{infty}\lambda$$

推论2.8

如果 \（\mathbb{T}=h\mathbb{Z}\） 在定理中2.6，然后是不等式(2.7)归结为

$$开始{对齐}&\sum_{t=\frac{r}{h}}^{\infty}\frac}\lambda（ht）\Phi^{p-\gamma+1}（ht）}{\Omega^{\beta-\gamma+1}\gamma}\sum_{t=\frac{r}{h}}^{\infty}\lambda（ht）\Omega^{p-\gamma}（ht）f^{p-\ gamma+1}（tt）\bigl（\rho^{\gamma-1}（ght）-a \biger）{h}^{（\gamma-1）}，\end{aligned}$$

哪里

$$\开始{对齐}&\Phi（t）=h\sum_{s=\frac{t}{h}}^{infty}\lambda（hs）f（hs \rho^{\gamma-1}（hs）-a\biger）{h}^{（\gamma-1）}。\结束{对齐}$$

推论2.9

对于 \（\mathbb{T}=\mathbb{Z}\），我们只需要 \（h=1） 在推论中2.8。在这种情况下，不平等(2.7)归结为

$$开始{对齐}&\sum_{t=r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t）}{\Omega^{\beta-\gamma+1}\infty}\lambda（t）\Omega^{p-\beta}（t）f^{p-\gamma+1}（t）\bigl（\rho^{\gamma-1}（c）-a\bigr）^{（\gamma-1）}，\结束{对齐}$$

哪里

$$\begin{aligned}\Phi（t）=\sum_{s=t}^{\infty}\lambda（s）f（s）\bigl（\rho^{\gamma-1}（s）-a\bigr）^{（\gamma-1）}\quad\textit{和}\quade\Omega（t）=\sum_{s=t}^{\infty}\lamda（s）\ bigl第页。\结束{对齐}$$

推论2.10

如果 \（\mathbb{T}=q^{mathbb{无}_{0}}\) 在定理中2.6，然后是不等式(2.7)归结为

$$\开始{对齐}和\sum_{t\in（r，\infty）}\frac{t\lambda（t）\Phi^{p-\gamma+1}（t sum_{t\in（r，\infty）}t\lambda（t）\Omega^{p-\beta}（t）f^{p-\γ+1}（t）\bigl（\rho^{\γ-1}（c）-a \biger）{\波浪线{q}}^{（\gamma-1）}，\end{aligned}$$

哪里

$$\开始{对齐}&\Phi（t）=（\波浪号{q} -1个)\sum_{s\in（t，\infty）}s\lambda（s）f（s）\bigl（\rho^{\gamma-1}（t）-a\bigr）_{\tilde{q}}^{（\gamma-1）}\quad\textit{和}\\&\Omega（t）=（\tilde{q} -1个)\sum{s\in（t，\infty）}s\lambda（s）\bigl（\rho^{\gamma-1}（t）-a\bigr）{\tilde{q}}^{（\gamma-1）}。\结束{对齐}$$

定理2.11

在定理的相同假设下2.1具有 \（0\leqslant\β\leqslant1\），我们有这个

$$开始{aligned}\int_{r}^{infty}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{\lambda^{\beta}（t）}\nabla{a}^{\gamma}t\leqsleat\frac{p-\gamma+1}{\beta-1}\int_{r}{\infty{\lampda（t gamma+1}（t）\nabla{a}^{gamma}t，\end{aligned}$$

(2.13)

哪里

$$\开始{aligned}\Psi（t）=\int_{r}^{t}\lambda（s）f$$

证明

作为（f）没有减少，我们有\（x\geqr）

$$\开始{对齐}\Psi（x）=\int_{r}^{x}\lambda（s）f$$

然后

$$\开始{对齐}f（x）\Psi^{p-\gamma}（x）\倾斜f^{p-\ gamma+1}（x）\Lambda^{p-\fgamma}（x）。\结束{对齐}$$

(2.14)

使用链式法则(1.9)事实上\（\nabla_{a}^{gamma}（\Psi（x））=\lambda（x）f（x）\geq0\），我们得到

$$\开始{对齐}\nabla_{a}^{\gamma}\bigl（\Psi^{p-\gamma+1}（x）\bigr）&=（p-\gama+1）\nabla _{a}^{\gamma}\bigl（\ Psi（x）\ bigr leqslate（p-\gamma+1）\lambda（x）f（x）\int_{0}^{1}\bigl[h\Psi（x）+（1-h）\Psi\lambda（x）f（x）\Psi^{p-\gamma}（x）。\结束{对齐}$$

(2.15)

组合(2.14)带有(2.15)给予

$$开始{aligned}\nabla_{a}^{gamma}\bigl$$

因此

$$开始{对齐}\frac{\lambda（t）\nabla_{a}^{\gamma}（\Psi^{p-\gamma+1}（x））}{\lambda^{\beta}（t）}\leqsleat\frac{（p-\gama+1）\lambda\（t）\ lambda。\结束{对齐}$$

因此，

$$开始{对齐}\frac{\lambda（t）\nabla_{a}^{\gamma}\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{\lambda^{\beta}（t）}&=\int_{r}^{t}\frac{\lampda（t x\\&\leqslate（p-\gamma+1）\int_{r}^{t}\frac{\lambda（t）\lambda（x）\lambda^{p-\gama}（x）f^{p-\ gamma+1}（x）}{\Lambda^{\beta}（t）}\nabla_{a}^{\gamma}x，\end{aligned}$$

因此

$$开始{对齐}和\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{\lambda^{\beta}^{p-\gamma}（x）f^{p-\ gamma+1}（x）}{\lambda^{\beta}（t）}\nabla_{a}^{\gamma{x\biggr]\nabla_{a}^{\gamma}t.\结束{对齐}$$

(2.16)

利用时间尺度上的Fubini定理，不等式(2.16)可以重写为

$$开始{对齐}和\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{\lambda^{\beta}gl[\int_{x}^{infty}\lambda（t）\lambda^{-\beta}（t）\nabla_{a}^{gamma}t\biggr]\nabla_a}^{gamma}x.\结束{对齐}$$

(2.17)

再次使用链式法则(1.10)，有\（c在[\rho（t），t]\中）这样的话

$$开始{aligned}\nabla_{a}^{gamma}\Lambda^{-\beta+1}（t）&=（1-\beta）\Lambda ^{-\ beta}。\结束{对齐}$$

(2.18)

替换(2.18)到(2.17)给予

$$开始{aligned}和\int_{r}^{infty}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{\lambda^{\beta}（t）}\nabla{a}^{\gamma}t\&\quad\leqsleat\frac{p-\gamma+1}{1-\beta{\int_r}{\infty{\lampda（x）\lambda ^{p-\ gamma}（x）f^{p-\gamma+1}（x）\biggl[\int_{x}^{infty}\nabla_{a}^{gamma}\lambda^{-\beta+1}t\biggr]\nabla_{a}^{gamma}x\\&\quad=\frac{p-\gamma+1}{\beta-1}\int_{r}^{\infty}\lambda（x）\lambda^{p-\gamma-\beta+1}（x）f^{p-\ gamma+1}（x）\nabla{a}^{\gamma}x.\end{aligned}$$

这就完成了证明。□

再次，我们将我们的结果的一些特殊情况呈现给连续、离散和量子α-共形不等式。也就是说，在时间尺度的情况下\（\mathbb{T}=\mathbb{R}\），\（\mathbb{T}=h\mathbb{Z}\），\（\mathbb{T}=\mathbb{Z}\）、和\（\mathbb{T}=q^{mathbb{无}_{0}}\)。

推论2.12

如果 \（\mathbb{T}=\mathbb{R}\） 在定理中2.11，不平等(2.13)减少到

$$开始{aligned}\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{\lambda^{\beta}（t）}（t-a）^{\gamma-1}\，dt\leqsleat\frac{p-\gamma+1}{\beta-1}\int_{r}{\inffy}\lambda^{p-\betaneneneep（t）f^{p-\gamma+1}（t）（t-a）^{α-1}，dt，结束{对齐}$$

哪里

$$\begin{aligned}\Psi（t）=\int_{r}^{t}\lambda$$

推论2.13

如果 \（\mathbb{T}=h\mathbb{Z}\） 在定理中2.11，不平等(2.13)减少到

$$开始{对齐}&\sum_{t=\frac{r}{h}}^{\infty}\frac}\lambda（ht）\Psi^{p-\gamma+1}（ht）}{\lambda^{\beta}（int）}\bigl（\rho^{\gamma-1}（ght）-a\bigr）_{h}^{（\gamma-1{t=\frac{r}{h}}^{infty}\lambda（ht）\lambda^{p-\beta}（ht）f^{p-\gamma+1}（ght）\bigl（\rho^{gamma-1}（hr）-a\bigr）_{h}^{（\gamma-1）}，\end{对齐}$$

哪里

$$\begin{aligned}&\Psi（t）=h\sum_{s=\frac{r}{h}}^{\frac{t}{h} -1个}\λ（h）f（hs）\bigl（\rho^{\gamma-1}（ht）-a\bigr）_{h}^{（\gamma-1）}\quad\textit{和}\\&\lambda（t）=h\sum_{s=\frac{r}{h}}^{\frac}t}{h} -1个}\lambda（hs）\bigl（\rho^{gamma-1}（ht）-a\bigr）{h}^{（\gamma-1）}。\结束{对齐}$$

推论2.14

对于 \（\mathbb{T}=\mathbb{Z}\），我们只需要 \（h=1） 在推论中2.13。在这种情况下，不平等(2.13)减少到

$$\开始{对齐}&\sum_{t=r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{\lambda^{\beta}（t）}\bigl（\rho^{\gamma-1}（d）-a\bigr）^{（\gamma-1）}\&\quad\leqsleat\frac{p-\gamma+1}{\beta-1}\sum_{t=r}^{\infty}\ lambda da（t）\lambda^{p-\β}（t）f^{p-\gamma+1}（t）\bigl（\rho^{\gamma-1}（c）-a\bigr）^{（\gamma-1）}，\end{aligned}$$

哪里

$$\begin{aligned}\Psi（t）=\sum_{s=r}^{t-1}\lambda（s）f（s）\bigl（\rho^{\gamma-1}（s）-a\bigr）^{（\gamma-1）}\quad\textit{和}\quadr\lambda（t）=\sum_{s=r}^{t-1}\lampda（s。\结束{对齐}$$

推论2.15

如果 \（\mathbb{T}=q^{mathbb{无}_{0}}\) 在定理中2.11，然后是不等式(2.13)减少到

$$开始{对齐}和\sum_{t\in（r，\infty）}\frac{t\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{\lambda^{\beta}在（r，t）}t \lambda（t）\lambda^{p-\beta}（t）f^{p-\γ+1}（t）\bigl（\rho^{\gamma-1}（c）-a\bigr）{\tilde{q}}^{（\gamma-1）}中，\结束{对齐}$$

哪里

$$\开始｛对齐｝&\Psi（t）=（\波浪号{q} -1个)\sum_｛s\in（r，t）｝s\lambda（s）f（s）\bigl（\rho^｛\gamma-1｝（s）-a\bigr）_｛\tilde｛q｝｝^｛（\gamma-1）｝\quad\textit｛and｝\\&&\lambda（t）=（\tilde{q} -1个)\sum{s\in（r，t）}s\lambda（s）\bigl（\rho^{\gamma-1}（s）-a\bigr）{\tilde{q}}^{（\gamma-1）}。\结束{对齐}$$

接下来我们讨论不等式(2.13)对于积分极限\（\int_{r}^{t}\lambda（s）\nabla_{a}^{gamma}s\）更改自吨至∞。

定理2.16

在定理的相同假设下2.1具有 \（贝塔斜面1），那么我们就有了

$$开始{aligned}\int_{r}^{infty}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{（\Omega^{\rho}（t））^{\beta}}\nabla{a}^{\gamma}t\leqsleat\frac{p-\gamma+1}{1-\beta{\infty{\lampda（x）\lambda^{p-\ gamma}\（t）\欧米茄^{1-\beta}（t）f^{p-\gamma+1}（t）\nabla_{a}^{gamma}t，\end{aligned}$$

(2.19)

哪里

$$\begin{aligned}\Psi（t）=\int_{r}^{t}\lambda（s）f（s）\nabla_{a}^{gamma}s，\qquad\lambda（t）=\int_}r}^{t}\ lambda s.\end{对齐}$$

证明

自（f）没有减少，我们有\（x\geqr）

$$\开始{aligned}\Psi（x）&=\int_{r}^{x}\lambda（s）f$$

然后

$$\开始{对齐}f（x）\Psi^{p-\gamma}（x）\倾斜f^{p-\ gamma+1}（x）\Lambda^{p-\fgamma}（x）。\结束{对齐}$$

(2.20)

使用链式法则(1.9)和使用\（nabla_{a}^{gamma}\Psi（x）=\lambda（x）f（x）\geq0\），我们得到

$$\开始{对齐}\nabla_{a}^{\gamma}\bigl（\Psi^{p-\gamma+1}（x）\bigr）&=（p-\gama+1）\nabla _{a}^{\gamma}\Psi（x）.int_{0}^{1}\bigr[h\Psi\bigl（\rho（x）\ bigr伽马+1）\lambda（x）f（x）\int_{0}^{1}\bigl[h\Psi（x）+（1-h）\Psif（x）\Psi^{p-\gamma}（x）。\结束{对齐}$$

(2.21)

组合(2.20)带有(2.21)导致

$$开始{aligned}\nabla_{a}^{gamma}\bigl$$

等等

$$开始{对齐}\frac{\lambda（t）\nabla_{a}^{\gamma}（\Psi^{p-\gamma+1}（x））}{（\Omega^{\rho}（t））^{\beta}}\leqsleat\frac{（p-\gama+1）\lambda（t）\ lambda（t）^{\beta}}。\结束{对齐}$$

因此，

$$开始{对齐}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{（\Omega^{\rho}（t））^{\beta}}&=\int_{r}^{t}\frac{\lambeda（t a}^{\gamma}x\\&\leqslate（p-\gamma+1）\int_{r}^{t}\frac{\lambda（t）\lambda（x）\lambda^{p-\gama}（x）f^{p-\ gamma+1}（x）}{（\Omega^{\rho}（t））^{\beta}}\nabla_{a}^{\gamma}x，\end{aligned}$$

因此

$$开始{对齐}和\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{（\Omega^{\rho}（t））^{\beta}}\nabla{a}^{\ gamma}t\\&\quad\geq（p-\gama+1）\int_}^{{\inffy}\biggl[\int_{r}^{t}\frac{\lamda（t）\ lambda（x）\lambda^{p-\gamma}（x）f^{p-\ gamma+1}（x）}{（\Omega^{\rho}（t））^{\beta}}\nabla_{a}^{\gamma{x\biggr]\nabla_{a}^{\gamma}t.\end{aligned}$$

(2.22)

利用时间尺度上的Fubini定理，不等式(2.22)可以重写为

$$开始{对齐}&\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{（\Omega^{\rho}（t））^{\beta-\gamma+1}}\nabla{a}^{\ gamma}t\\&\quad\leqsleat（p-\gama+1）\int_}r}{\inffy}\lambda（x）\lambda^{p-\ gamma（x）f ^{p-\gamma+1}（x）\biggl[\int_{x}^{\infty}\lambda（t）\bigl（\Omega^{\rho}（t）\ bigr）^{-\beta}\nabla_{a}^{\gamma}t\biggr]\nabla{a}^{\gama}x.\end{aligned}$$

（2.23）

我们采用链式法则(1.10)再次拥有\（d\in[\rho（t），t]\）这样的话

$$\开始{对齐}\nabla_{a}^{\gamma}\Omega^{-\beta+1}（t）=（1-\beta）\Omega ^{-\ beta}（d）\nabla{a}^{\gamma}\欧米茄（t）\geq（\beta-1）\lambda（t）\ bigl。\结束{对齐}$$

(2.24)

替换(2.24)到(2.23)收益率

$$开始{对齐}和\int_{r}^{infty}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{（\Omega^{\rho}（t））^{\beta}}\nabla{a}^{\gamma}t\\&\quad\leqsleat\frac{p-\gamma+1}{\beta-1}\int__{r{{\infty{\lampda（x）\lambda^{p-\ gamma}（x）f^{p-\gamma+1}（x）\biggl[\int_{x}^{infty}\nabla_{a}^{gamma}\bigl（\Omega^{1-\beta}（t）\biger）\nabla_{a}^{gamma}t\biggr]\nabla _{a{gamma x\\&\quad=\frac{p-\gamma+1}{1-\beta}\int_{r}^{infty}\lambda（x）\lambda^{p-\gamma}$$

这是我们想要的不等式(2.19). □

现在，作为我们结果的特例，我们将给出连续、离散和量子α-共形不等式。也就是说，在时间尺度的情况下\（\mathbb{T}=\mathbb{R}\），\（\mathbb{T}=h\mathbb{Z}\），\（\mathbb{T}=\mathbb{Z}\）、和\（\mathbb{T}=q^{mathbb{无}_{0}}\)。

推论2.17

如果 \（\mathbb{T}=\mathbb{R}\） 在定理中2.16，然后是不等式(2.19)归结为

$$开始{对齐}和\int_{r}^{\infty}\frac{\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{\Omega^{\beta}（t）}^{gamma-\beta}（t）f^{p-\gamma+1}（t）（t-a）^{gama-1}，dt，end{aligned}$$

哪里

$$\开始{对齐}&\Psi（t）=\int_{r}^{t}\lambda（s）f（s）（s-a）^{\gamma-1}\，ds，\qquad\lambda（t）=\ int_{r}^{t}\lampda（s \，ds.\结束{对齐}$$

推论2.18

如果 \（\mathbb{T}=h\mathbb{Z}\） 在定理中2.16，然后是不等式(2.19)归结为

$$\开始{对齐}&\sum_{t=\frac{r}{h}}^{\infty}\frac}\lambda（ht）\Psi^{p-\gamma+1}（ht）}{\Omega^{\beta}（ht-h）}\bigl（\rho（ht）^{\gamma-1}-a\biger）^{（1-\gamma）}_{h}\\&\quad\leqslian\frac{p-\gamma+1}{1-\beta{\sum_{t=\frac{r}{h}}^{\infty}\lambda（ht）\lambda^{p-\gamma}（ht）\欧米茄^{\gamma-\beta}（ght）f^{p-\ gamma+1}（tt）\bigl（\rho（ht）^{\gamma-1}-a\biger）^{（1-\gamma）}_{h}，\end{aligned}$$

哪里

$$\begin{aligned}&\Psi（t）=h\sum_{s=\frac{r}{h}}^{\frac{t}{h} -1个}\λ（hs）f（hs{h} -1个}\λ（hs）\bigl（\rho（hs）^｛\gamma-1｝-a\bigr）^｛（1-\gamma）｝_｛h｝\fquad\textit｛and｝\\&&\Omega（t）=h\sum_｛s=\frac｛t｝｛h｝｝^｛\infty｝\lambda（hs）\bigl（\rho（hs）^｛\gamma-1｝-a\bigr）^｛（1-\gamma）｝_｛h｝。\结束{对齐}$$

推论2.19

对于 \（\mathbb{T}=\mathbb{Z}\），我们只需要 \（h=1） 在推论中2.18。在这种情况下，不平等(2.19)归结为

$$\begin｛aligned｝&&sum_｛t=r｝^｛\infty｝\frac｛\lambda（t）\Psi ^｛p-\gamma+1｝（t）｝｛\Omega ^｛\beta｝（t-1）｝\bigl（\rho（t）^｛\gamma-1｝-a\bigr）^｛（1-\gamma）｝\\&&quad\leqslant\frac｛p-\gamma+1｝｛1-\beta｝\sum _｛t=r｝^｛\infty｝\lambda（t）\lambda ^｛p-\gamma｝（t）\Omega^｛\gamma-\beta｝（t）f^｛p-\gamma+1｝（t）\bigl（\rho（t）^｛\gamma-1｝-a \biger）^{（1-\gamma）}，\end{对齐}$$

哪里

$$开始{对齐}&\Psi（t）=\sum_{s=r}^{t-1}\lambda（s）f（s）\bigl（s）^{\gamma-1}-a\bigr Omega（t）=\sum_{s=t}^{\infty}\lambda（s）\bigl（\rho（hs）^{\gamma-1}-a\biger）^{（1-\gamma）}。\结束{对齐}$$

推论2.20

如果 \（\mathbb{T}=q^{mathbb{无}_{0}}\) 在定理中2.16，不平等(2.19)归结为

$$开始{对齐}和\sum_{t\in（r，\infty）}\frac{t\lambda（t）\Psi^{p-\gamma+1}（t）}{\Omega^{\beta}（\rho（t））}\bigl \sum_{t\in（r，\infty）}t\lambda（t）\lambda^{p-\gamma}（t）\欧米茄^{\gamma-\beta}（t）f^{p-\ gamma+1}（t-）\bigl（\rho（t）^{\gamma-1}-a\biger）^{（1-\gamma）}{\tilde{q}}，\end{aligned}$$

哪里

$$\开始{对齐}&\Psi（t）=（\波浪号{q} -1个)\sum_{s\in（r，t）}s\lambda（s）f（s）\bigl（\rho（s）^{\gamma-1}-a\bigr）^{（1-\gamma）}_{\tilde{q}}，\\&\lambda（t）=（\tilde{q} -1个)\sum_{s\in[r，t]}s\lambda（s）\bigl（\rho（s）^{\gamma-1}-a\bigr）^{（1-\gamma）}_{\tilde{q}}\quad\textit{和}\\&\Omega（t）=（\tilde{q} -1个)\sum_{s\in（r，\infty）}s\lambda（s）\bigl（\rho（s）^{\gamma-1}-a\bigr）^{（1-\gamma）}{\tilde{q}}。\结束{对齐}$$

三结论

在这项重要的工作中，我们利用时间尺度上的nabla积分讨论了一些新的Hardy型动力学不等式。通过使用保角分数∇-时间尺度上的共形积分∇-证明了时间尺度上的共形Hardy型不等式。我们提出的结果显示了产生一些原始连续、离散和量子不等式的潜力。我们进一步提出了一些相关的不等式作为特例：离散不等式和积分不等式。这些结果可用于获得之前获得的几个不等式的更广泛的结果。