The extended Mittag-Leffler function and its properties

Özarslan, Mehmet Ali; Yılmaz, Banu

doi:10.1186/1029-242X-2014-85

研究
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出版：2014年2月20日

扩展的Mittag-Lefler函数及其性质

不等式与应用杂志 体积 2014，物品编号：85(2014)引用这篇文章

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韵律学细节

摘要

本文利用扩展Beta函数（Chaudhry等。在申请中。数学。计算。159:589-6022004），并获得它们的一些积分表示。这些函数的梅林变换是用广义Wright超几何函数给出的。此外，我们还证明了通常的Mittag-Lefler函数的扩展分数导数（数学计算模型52:1825-18332010中的嗧zarslan和嗨zergin）给出了扩展的Mittage-Lefler方程。最后，我们给出了这些函数与拉盖尔多项式和惠塔克函数之间的一些关系。

1引言

分数阶微分方程在过去的几十年里一直是一个活跃的研究领域，在物理和工程的许多应用中都有应用。Mittag-Lefler函数是分数阶微分方程式和分数阶积分方程式的解。Mittag-Lefler函数的一些应用如下：动力学方程、电报方程的研究[1]、随机漫步、列维飞行、超漫传输和复杂系统。此外，Mittag-Lefler函数出现在某些涉及Volterra型分数阶积分微分方程的边值问题的解中[2]. 它在应用问题中有应用，例如流体流动、流变学、类似扩散的扩散输运、电网络、概率和统计分布理论。Mittag-Lefler函数的各种性质在[三]. 此外，在[4].

让我们从给出Mittag-Lefler函数的历史背景开始。功能 ${E类}_{α} (z（z）)$ ,

{E类}_{α} (z（z）) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{z（z）}^{k个}}{Γ (α k个 + 1)},

(1)

由米塔格·莱弗勒于1903年定义和研究[5–7]. 它是指数序列的直接推广，因为 $α = 1$ ，我们有指数函数。由定义的函数

{E类}_{α, β} (z（z）) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{z（z）}^{k个}}{Γ (α k个 + β)}

(2)

给出了方程的推广(1). 维曼于1905年研究了这一概括[8,9]1953年阿加瓦尔，亨伯特和阿加瓦尔[10,11]1953年。随后，Prabhakar[12]通过引入广义Mittag-Lefler函数

{E类}_{β, γ}^{δ} (z（z）) : = \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{(δ)}_{n个}}{Γ (β n个 + γ)} \frac{{z（z）}^{n个}}{n个!},

(3)

哪里 $β, γ, δ \in C类$ 具有 $ℜ (β) > 0$ 。对于 $δ = 1$ ，它简化为方程式中给出的Mittag-Lefler函数(2). 广义Mittag-Lefler函数的一些性质，如梅林变换、逆梅林变换和微分，在[13]. 另一方面，Mittag-Lefler函数的单调性在[14].

本文扩展了Mittag-Lefler函数 ${E类}_{α, β}^{γ} (z（z）)$ 以以下方式。自

{E类}_{α, β}^{γ} (z（z）) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(γ)}_{k个}}{Γ (α k个 + β)} \frac{{(c（c）)}_{k个}}{{(c（c）)}_{k个}} \frac{{z（z）}^{k个}}{k个!},

利用事实

\frac{{(γ)}_{k个}}{{(c（c）)}_{k个}} = \frac{B类 (γ + k个, c（c） 负极 γ)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)},

我们将Mittag-Lefler函数扩展如下：

\begin{matrix} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) : = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{B类}_{第页} (γ + k个, c（c） 负极 γ)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \frac{{(c（c）)}_{k个}}{Γ (α k个 + β)} \frac{{z（z）}^{k个}}{k个!} \\ (第页 \geq 0 ； 重新 (c（c）) > 重新 (γ) > 0), \end{matrix}

(4)

在哪里 ${B类}_{第页} (x个, 年)$ 我们有

{B类}_{第页} (x个, 年) = \int_{0}^{1} {t吨}^{x个 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{年 负极 1} {e（电子）}^{负极 \frac{第页}{t吨 (1 负极 t吨)}} d日 t吨 (重新 (第页) > 0, 重新 (x个) > 0, 重新 (年) > 0),

(5)

中定义的扩展Euler Beta函数[15]（另请参见[16]).

本文的结构如下：在第二节中，我们用Prabhakar的Mittag-Lefler函数和已知的初等函数给出了广义Mittag/Lefler函数的积分表示。利用广义Wright超几何函数得到了扩展Mittag-Lefler函数的Mellin变换[17]. 在第三节中，我们得到了推广的Mittag-Lefler函数的分数阶导数表示，并给出了一些导数公式。在第四节中，我们得到了推广的Mittag-Lefler函数与简单的Laguerre多项式和Whittaker函数之间的关系。

2扩展的Mittag-Lefler函数的一些性质

我们从以下定理开始，该定理给出了扩展的Mittag-Lefler函数的积分表示。

定理1（整体表示）

对于扩展的Mittag-Leffler函数,我们有

{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) = \frac{1}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{1} {t吨}^{γ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ 负极 1} {e（电子）}^{负极 \frac{第页}{t吨 (1 负极 t吨)}} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (t吨 z（z）) d日 t吨,

(6)

哪里 $第页 \geq 0$ , $重新 (c（c）) > 重新 (γ) > 0$ , $重新 (α) > 0$ , $重新 (β) > 0$ .

证明使用方程式(5)在方程式中(4)，我们得到

{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} {\int_{0}^{1} {t吨}^{γ + k个 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ 负极 1} {e（电子）}^{负极 \frac{第页}{t吨 (1 负极 t吨)}} d日 t吨} \frac{{(c（c）)}_{k个}}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \frac{{z（z）}^{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} .

(7)

互换方程式中求和和积分的顺序(7)，这是在定理陈述中给出的假设下得到保证的，我们得到

\begin{matrix} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) \\ = \int_{0}^{1} {t吨}^{γ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ 负极 1} {e（电子）}^{负极 \frac{第页}{t吨 (1 负极 t吨)}} \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(c（c）)}_{k个}}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \frac{{(t吨 z（z）)}^{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} d日 t吨 . \end{matrix}

(8)

使用方程式(三)在方程式中(8)，我们得到了预期的结果。□

推论2 请注意,拿 $t吨 = \frac{u个}{1 + u个}$ 在定理中1,我们得到

\begin{matrix} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) \\ = \frac{1}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{\infty} \frac{{u个}^{γ 负极 1}}{{(u个 + 1)}^{c（c）}} {e（电子）}^{负极 \frac{第页 {(1 + u个)}^{2}}{u个}} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (\frac{u个 z（z）}{1 + u个}) d日 u个 . \end{matrix}

(9)

推论3 拿 $t吨 = 罪^{2} θ$ 在定理中1,我们得到以下积分表示:

\begin{matrix} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) \\ = \frac{1}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} [2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} 罪^{2 γ 负极 1} θ {余弦}^{2 c（c） 负极 2 γ 负极 1} θ {e（电子）}^{负极 \frac{第页}{罪^{2} θ {余弦}^{2} θ}}] \\ \times {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (z（z） 罪^{2} θ) d日 θ . \end{matrix}

(10)

现在，利用Prabhakar的Mittag-Lefler函数的定义，Bayram和Kurulay得到了递推公式[13]

{E类}_{α, β}^{(c（c）)} (t吨 z（z）) = β {E类}_{α, β + 1}^{(c（c）)} (t吨 z（z）) + α z（z） \frac{d日}{d日 z（z）} {E类}_{α, β + 1}^{(c（c）)} (t吨 z（z）) .

将上述递推关系插入方程式(6)，我们得到了扩展的Mittag-Lefler函数的以下递推关系。

推论4（递归关系）

对于扩展的Mittag-Leffler函数,我们得到了

{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) = β {E类}_{α, β + 1}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) + α z（z） \frac{d日}{d日 z（z）} {E类}_{α, β + 1}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页),

哪里 $第页 \geq 0$ , $重新 (c（c）) > 重新 (γ) > 0$ , $重新 (α) > 0$ , $重新 (β) > 0$ .

在下一个定理中，我们利用Wright广义超几何函数给出了扩展的Mittag-Lefler函数的Mellin变换。注意，Wright广义超几何函数定义为[17]

\begin{array}{rcl} {}_{第页}Ψ_{q个} (z（z）) & = & {}_{第页}Ψ_{q个} [\begin{array}{l} (一_{1,} {A类}_{1}), (一_{2}, {A类}_{2}), \dots, (一_{第页}, {A类}_{第页}) \\ ({b条}_{1,} {B类}_{1}), ({b条}_{2}, {B类}_{2}), \dots, ({b条}_{第页}, {B类}_{q个}) \end{array}, z（z）] \\ = & \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{π_{j个 = 1}^{第页} Γ (一_{j个} + {A类}_{j个} k个)}{\prod_{j个 = 1}^{q个} Γ ({b条}_{j个} + {B类}_{j个} k个)} \frac{{z（z）}^{k个}}{k个!}, \end{array}

(11)

其中系数 ${A类}_{我}$ ( $我 = 1, \dots, 第页$ )以及 ${B类}_{j个}$ ( $j个 = 1, \dots, q个$ )是正实数，因此

1 + \sum_{j个 = 1}^{q个} {B类}_{j个} 负极 \sum_{我 = 1}^{第页} {A类}_{我} \geq 0 .

定理5（梅林变换）

扩展Mittag的Mellin变换-Leffler函数由下式给出

\begin{matrix} M（M） {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) ； 秒} = {\frac{Γ (秒) Γ (c（c） + 秒 负极 γ)}{Γ (γ) Γ (c（c） 负极 γ)}}_{2} Ψ_{2} [\begin{array}{ll} \begin{array}{l} (c（c）, 1), \\ (β, γ), \end{array} & \begin{array}{l} (γ + 秒, 1) \\ (c（c） + 2 秒, 1) \end{array} \end{array}, z（z）] \\ (第页 \geq 0, 重新 (c（c）) > 重新 (γ) > 0, 重新 (α) > 0, 重新 (秒) > 0, 重新 (β) > 0), \end{matrix}

(12)

哪里 ${}_{2}Ψ_{2}$ 是Wright广义超几何函数.

证明对扩展的Mittag-Lefler函数进行梅林变换，我们得到

M（M） {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) ； 秒} = \int_{0}^{\infty} {第页}^{秒 负极 1} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) d日 第页 .

(13)

使用方程式(6)在方程式中(13)，我们得到

\begin{matrix} M（M） {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) ； 秒} \\ = \frac{1}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{\infty} {第页}^{秒 负极 1} [\int_{0}^{1} {t吨}^{γ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ 负极 1} {e（电子）}^{负极 \frac{第页}{t吨 (1 负极 t吨)}}] {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (t吨 z（z）) d日 t吨 d日 第页 . \end{matrix}

(14)

交换方程中积分的顺序(14)，由于定理5陈述中的条件，这是有效的，我们得到

\begin{aligned} M（M） {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) ； 秒} \\ = \frac{1}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{1} [{t吨}^{γ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ 负极 1} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (t吨 z（z）)] \int_{0}^{\infty} {第页}^{秒 负极 1} {e（电子）}^{负极 \frac{第页}{t吨 (1 负极 t吨)}} d日 第页 d日 t吨 . \end{aligned}

（15）

现在采取 $u个 = \frac{第页}{t吨 (1 负极 t吨)}$ 在方程式中(15)并利用以下事实 $Γ (秒) = \int_{0}^{\infty} {u个}^{秒负极 1} {e（电子）}^{负极 u个} d日 u个$ ，我们得到

\begin{matrix} M（M） {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) ； 秒} \\ = \frac{Γ (秒)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{1} {t吨}^{γ + 秒 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） + 秒 负极 γ 负极 1} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (t吨 z（z）) d日 t吨 . \end{matrix}

(16)

使用Prabhakar广义Mittag-Lefler函数的定义 ${E类}_{α, β}^{(c（c）)} (t吨 z（z）)$ 在方程式中(16)，我们得到

\begin{matrix} M（M） {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) ； 秒} \\ = \frac{Γ (秒)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{1} {t吨}^{γ + 秒 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） + 秒 负极 γ 负极 1} \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(c（c）)}_{k个} {(t吨 z（z）)}^{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} d日 t吨 . \end{matrix}

(17)

互换求和与积分的顺序，这对 $重新 (c（c）) > 重新 (γ) > 0$ , $重新 (秒) > 0$ , $重新 (c（c）负极 γ + 秒) > 0$ , $重新 (α) > 0$ , $重新 (β) > 0$ ，我们得到

\begin{matrix} M（M） {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) ； 秒} \\ = \frac{Γ (秒)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(c（c）)}_{k个} {z（z）}^{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} \int_{0}^{1} {t吨}^{γ + k个 + 秒 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） + 秒 负极 γ 负极 1} d日 t吨 . \end{matrix}

(18)

在方程式中使用Beta函数(18)，我们有

\begin{matrix} M（M） {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) ； 秒} \\ = \frac{Γ (秒) Γ (c（c） + 秒 负极 γ)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(c（c）)}_{k个} {z（z）}^{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} \frac{Γ (γ + k个 + 秒) Γ (γ + 秒)}{Γ (γ + 秒) Γ (c（c） + k个 + 2 秒)} . \end{matrix}

(19)

考虑到 ${(c（c）)}_{k个} = \frac{Γ (c（c） + k个)}{Γ (c（c）)}$ , $B类 (γ, c（c）负极 γ) = \frac{Γ (γ) Γ (c（c）负极 γ)}{Γ (c（c）)}$ ，并插入方程式(11)转化为等式(19)，我们得到了结果

\begin{array}{rcl} M（M） {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) ； 秒} & = & \frac{Γ (秒) Γ (c（c） + 秒 负极 γ)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ) Γ (c（c）)} \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{z（z）}^{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} \frac{Γ (γ + k个 + 秒) Γ (c（c） + k个)}{Γ (c（c） + k个 + 2 秒)} \\ = & {\frac{Γ (秒) Γ (c（c） + 秒 负极 γ)}{Γ (γ) Γ (c（c） 负极 γ)}}_{2} Ψ_{2} [\begin{array}{ll} \begin{array}{l} (c（c）, 1), \\ (β, α), \end{array} & \begin{array}{l} (γ + 秒, 1) \\ (c（c） + 2 秒, 1) \end{array} \end{array}, z（z）] . \end{array}

□

推论6 拿 $秒 = 1$ 在定理中5,我们得到

\int_{0}^{\infty} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) d日 第页 = {\frac{Γ (c（c） + 1 负极 γ)}{Γ (γ) Γ (c（c） 负极 γ)}}_{2} Ψ_{2} [\begin{array}{ll} \begin{array}{l} (c（c）, 1), \\ (β, α), \end{array} & \begin{array}{l} (γ + 1, 1) \\ (c（c） + 2, 1) \end{array} \end{array}, z（z）] .

推论7 在方程两侧进行逆梅林变换(12),我们得到了优雅的复积分表示

{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) = \frac{1}{2 π 我 Γ (γ) Γ (c（c） 负极 γ)} \int_{ν 负极 我 \infty}^{ν + 我 \infty} Γ (秒) Γ {(c（c） + 秒 负极 γ)}_{2} Ψ_{2} [\begin{array}{ll} \begin{array}{l} (c（c）, 1), \\ (β, α), \end{array} & \begin{array}{l} (γ + 秒, 1) \\ (c（c） + 2 秒, 1) \end{array} \end{array}, z（z）] {第页}^{负极 秒} d日 秒,

哪里 $ν > 0$ .

3扩展的Mittag-Lefler函数的导数性质

经典Riemann-Liouville分数阶导数μ通常定义为

{D类}_{z（z）}^{μ} {（f） (z（z）)} = \frac{1}{Γ (负极 μ)} \int_{0}^{z（z）} （f） (t吨) {(z（z） 负极 t吨)}^{负极 μ 负极 1} d日 t吨, 重新 (μ) < 0,

其中，集成路径是从0到z（z）在综合体中t吨-平面。对于这个案例 $米负极 1 < 重新 (μ) < 米$ ( $米 = 1, 2, 三, \dots$ )，其定义为

\begin{array}{rcl} {D类}_{z（z）}^{μ} {（f） (z（z）)} & = & \frac{{d日}^{米}}{d日 {z（z）}^{米}} {D类}_{z（z）}^{μ 负极 米} {（f） (z（z）)} \\ = & \frac{{d日}^{米}}{d日 {z（z）}^{米}} {\frac{1}{Γ (负极 μ + 米)} \int_{0}^{z（z）} （f） (t吨) {(z（z） 负极 t吨)}^{负极 μ + 米 负极 1} d日 t吨} . \end{array}

扩展的Riemann-Liouville分数阶导数算子由Ùzarslan和ࢁzergin定义如下。

定义8([18])

扩展Riemann-Liouville分数导数定义为

{D类}_{z（z）}^{μ, 第页} {（f） (z（z）)} = \frac{1}{Γ (负极 μ)} \int_{0}^{z（z）} （f） (t吨) {(z（z） 负极 t吨)}^{负极 μ 负极 1} 经验 (\frac{负极 第页 {z（z）}^{2}}{t吨 (z（z） 负极 t吨)}) d日 t吨, 重新 (μ) < 0, 重新 (第页) > 0

(20)

和用于 $米负极 1 < 重新 (μ) < 米$ ( $米 = 1, 2, 三, \dots$ )

\begin{array}{rcl} {D类}_{z（z）}^{μ, 第页} {（f） (z（z）)} & = & \frac{{d日}^{米}}{d日 {z（z）}^{米}} {D类}_{z（z）}^{μ 负极 米} {（f） (z（z）)} \\ = & \frac{{d日}^{米}}{d日 {z（z）}^{米}} {\frac{1}{Γ (负极 μ + 米)} \int_{0}^{z（z）} （f） (t吨) {(z（z） 负极 t吨)}^{负极 μ + 米 负极 1} 经验 (\frac{负极 第页 {z（z）}^{2}}{t吨 (z（z） 负极 t吨)}) d日 t吨}, \end{array}

其中，集成路径是从0到z（z）在综合体中t吨-平面。对于这个案例 $第页 = 0$ ，我们得到了经典的Riemann-Liouville分数导数算子。

我们从以下定理开始。

定理9 让 $第页 \geq 0$ , $重新 (μ) > 重新 (λ) > 0$ , $重新 (α) > 0$ , $重新 (β) > 0$ .然后

{D类}_{z（z）}^{λ 负极 μ, 第页} {{z（z）}^{λ 负极 1} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (z（z）)} = \frac{{z（z）}^{μ 负极 1} B类 (λ, c（c） 负极 λ)}{Γ (μ 负极 λ)} {E类}_{α, β}^{(λ ； μ)} (z（z） ； 第页) .

证明更换μ通过 $λ 负极 μ$ 在扩展分数导数算子（20）的定义中，我们得到

\begin{matrix} {D类}_{z（z）}^{λ 负极 μ, 第页} {{z（z）}^{λ 负极 1} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (z（z）)} \\ = \frac{1}{Γ (μ 负极 λ)} \int_{0}^{z（z）} {t吨}^{λ 负极 1} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (t吨) {(z（z） 负极 t吨)}^{负极 λ + μ 负极 1} 经验 {\frac{负极 第页 {z（z）}^{2}}{t吨 (z（z） 负极 t吨)}} d日 t吨 \\ = \frac{{z（z）}^{负极 λ + μ 负极 1}}{Γ (μ 负极 λ)} \int_{0}^{z（z）} {t吨}^{λ 负极 1} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (t吨) {(1 负极 \frac{t吨}{z（z）})}^{负极 λ + μ 负极 1} 经验 {\frac{负极 第页 {z（z）}^{2}}{t吨 (z（z） 负极 t吨)}} d日 t吨 . \end{matrix}

(21)

拿 $u个 = \frac{t吨}{z（z）}$ 在方程式中(21)，我们得到

\begin{matrix} {D类}_{z（z）}^{λ 负极 μ, 第页} {{z（z）}^{λ 负极 1} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (z（z）)} \\ = \frac{{z（z）}^{μ 负极 1}}{Γ (μ 负极 λ)} \int_{0}^{1} {u个}^{λ 负极 1} {(1 负极 u个)}^{负极 λ + μ 负极 1} 经验 {\frac{负极 第页}{u个 (1 负极 u个)}} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (u个 z（z）) d日 u个 . \end{matrix}

(22)

将此结果与等式进行比较(6)，我们得到

{D类}_{z（z）}^{λ 负极 μ, 第页} {{z（z）}^{λ 负极 1} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (z（z）)} = \frac{{z（z）}^{μ 负极 1} B类 (λ, c（c） 负极 λ)}{Γ (μ 负极 λ)} {E类}_{α, β}^{(λ ； μ)} (z（z） ； 第页) .

结果从哪里来。□

在下面的定理中，我们给出了扩展的Mittag-Lefler函数的导数性质。

定理10 对于扩展的Mittag-Leffler函数,我们有以下导数公式:

\frac{{d日}^{n个}}{d日 {z（z）}^{n个}} {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页)} = {(c（c）)}_{n个} {E类}_{α, β + n个 α}^{(γ + n个 ； c（c） + n个)} (z（z） ； 第页), n个 \in N个 .

(23)

证明对…求导z（z）在方程式中(6)，我们得到

\frac{d日}{d日 z（z）} {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页)} = c（c） {E类}_{α, β + α}^{(γ + 1 ； c（c） + 1)} (z（z） ； 第页) .

(24)

再次对z（z）在方程式中(24)，我们得到

\frac{{d日}^{2}}{d日 {z（z）}^{2}} {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页)} = c（c） (c（c） + 1) {E类}_{α, β + 2 α}^{(γ + 2 ； c（c） + 2)} (z（z） ； 第页) .

(25)

继续重复此过程n个次，我们得到了期望的结果。□

定理11 对于扩展的Mittag-Leffler函数,下面的微分公式成立:

\frac{{d日}^{n个}}{d日 {z（z）}^{n个}} {{z（z）}^{β 负极 1} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (λ {z（z）}^{α} ； 第页)} = {z（z）}^{β 负极 n个 负极 1} {E类}_{α, β 负极 n个}^{(γ ； c（c）)} (λ {z（z）}^{α} ； 第页) .

证明在方程式中(23)，更换z（z）通过 $λ {z（z）}^{α}$ 和乘法 ${z（z）}^{β 负极 1}$ ，然后采取z（z）-导数n个次数，我们得到结果。□

定理12 对于扩展的Mittag-Leffler函数,下面的微分公式适用:

\frac{{d日}^{n个}}{d日 {第页}^{n个}} {{E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页)} = {(负极 1)}^{n个} \frac{Γ (γ 负极 n个) Γ (c（c） 负极 γ 负极 n个) Γ (c（c）)}{Γ (c（c） 负极 2 n个) Γ (γ) Γ (c（c） 负极 γ)} {E类}_{α, β}^{(γ 负极 n个 ； c（c） 负极 2 n个)} (z（z） ； 第页) .

证明采取第页-导数n个等式中的时间(6)，我们得到结果。□

4推广的Mittag-Lefler函数与Laguerre多项式和Whittaker函数的关系

在本节中，我们用拉盖尔多项式和惠塔克函数给出了扩展的Mittag-Lefler函数的表示。

定理13 对于扩展的Mittag-Leffler函数,我们有

\begin{matrix} 经验 (2 第页) {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) \\ = \frac{1}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \sum_{米, n个, k个 = 0}^{\infty} \frac{{L（左）}_{米} (第页) {L（左）}_{n个} (第页) {(c（c）)}_{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} {z（z）}^{k个} B类 (米 + k个 + γ + 1, n个 + c（c） 负极 γ + 1), \end{matrix}

哪里 $重新 (c（c）) > 重新 (γ) > 0$ , $重新 (α) > 0$ , $重新 (β) > 0$ .

证明我们首先回顾在[18]

经验 (\frac{负极 第页}{t吨 (1 负极 t吨)}) = 经验 (负极 2 第页) \sum_{米, n个 = 0}^{\infty} {L（左）}_{n个} (第页) {L（左）}_{米} (第页) {t吨}^{米 + 1} {(1 负极 t吨)}^{n个 + 1} ； 0 < t吨 < 1 .

(26)

使用方程式(26)在方程式中(6)，我们得到

\begin{array}{rcl} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) & = & \frac{1}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{1} {t吨}^{γ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ 负极 1} 经验 (负极 2 第页) \\ \times \sum_{米, n个 = 0}^{\infty} {L（左）}_{n个} (第页) {L（左）}_{米} (第页) {t吨}^{米 + 1} {(1 负极 t吨)}^{n个 + 1} {E类}_{α, β}^{c（c）} (t吨 z（z）) d日 t吨 . \end{array}

(27)

现在，考虑Prabhakar广义Mittag-Lefler函数的级数展开 ${E类}_{α, β}^{c（c）} (t吨 z（z）)$ 在方程式中(27)，我们有

\begin{array}{rcl} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) & = & \frac{经验 (负极 2 第页)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{1} {t吨}^{γ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ 负极 1} \\ \times \sum_{米, n个 = 0}^{\infty} {L（左）}_{n个} (第页) {L（左）}_{米} (第页) {t吨}^{米 + 1} {(1 负极 t吨)}^{n个 + 1} \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(c（c）)}_{k个} {(t吨 z（z）)}^{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} d日 t吨 \\ = & \frac{经验 (负极 2 第页)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{1} {t吨}^{γ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ 负极 1} \\ \times \sum_{米, n个, k个 = 0}^{\infty} \frac{{L（左）}_{n个} (第页) {L（左）}_{米} (第页) {(c（c）)}_{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} {t吨}^{米 + k个 + 1} {(1 负极 t吨)}^{n个 + 1} {z（z）}^{k个} d日 t吨 . \end{array}

(28)

互换方程中积分和求和的顺序(28)，这可以在定理的假设下完成，我们有

\begin{array}{rcl} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) & = & \frac{经验 (负极 2 第页)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \sum_{米, n个, k个 = 0}^{\infty} \frac{{L（左）}_{n个} (第页) {L（左）}_{米} (第页) {(c（c）)}_{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} {z（z）}^{k个} \\ \times B类 (米 + k个 + γ + 1, n个 + c（c） 负极 γ + 1) . \end{array}

(29)

等式两边相乘(29)由 $经验 (2 第页)$ ，我们得到结果。□

在下面的定理中，我们根据Whittaker函数给出了扩展的Mittag-Lefler函数。

定理14 对于扩展的Mittag-我们有Leffler函数

经验 (\frac{三 第页}{2}) {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) = \frac{Γ (c（c） 负极 γ + 1)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \sum_{米, k个 = 0}^{\infty} \frac{{L（左）}_{米} (第页) {(c（c）)}_{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} {第页}^{\frac{米 + k个 + γ 负极 1}{2}} {W公司}_{\frac{γ 负极 2 c（c） 负极 米 负极 1}{2}, \frac{米 + k个 + γ}{2}} (第页) .

证明考虑到以下等式：

经验 (\frac{负极 第页}{t吨 (1 负极 t吨)}) = 经验 (\frac{负极 第页}{1 负极 t吨}) 经验 (\frac{负极 第页}{t吨}),

利用拉盖尔多项式的生成函数，我们得到

经验 (\frac{负极 第页}{t吨 (1 负极 t吨)}) = 经验 (负极 第页) 经验 (\frac{负极 第页}{t吨}) (1 负极 t吨) \sum_{米 = 0}^{\infty} {L（左）}_{米} (第页) {t吨}^{米} .

(30)

采用方程式(30)在方程式中考虑(6)，我们有

\begin{array}{rcl} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) & = & \frac{1}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{1} {t吨}^{γ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ 负极 1} {e（电子）}^{负极 \frac{第页}{t吨 (1 负极 t吨)}} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (t吨 z（z）) d日 t吨 \\ = & \frac{1}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{1} {t吨}^{γ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ 负极 1} 经验 (负极 第页) 经验 (\frac{负极 第页}{t吨}) \\ \times (1 负极 t吨) \sum_{米 = 0}^{\infty} {L（左）}_{米} (第页) {t吨}^{米} {E类}_{α, β}^{(c（c）)} (t吨 z（z）) d日 t吨 . \end{array}

(31)

利用Prabhakar的广义Mittag-Lefler函数 ${E类}_{α, β}^{(c（c）)} (t吨 z（z）)$ 在方程式中(31)，我们得到

\begin{matrix} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) \\ = \frac{经验 (负极 第页)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \int_{0}^{1} {t吨}^{γ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ} 经验 (\frac{负极 第页}{t吨}) \sum_{米 = 0}^{\infty} {L（左）}_{米} (第页) {t吨}^{米} \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(c（c）)}_{k个} {t吨}^{k个} {z（z）}^{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} d日 t吨 . \end{matrix}

（32）

互换方程中求和和和积分的顺序(32)，我们得到

\begin{matrix} {E类}_{α, β}^{(γ ； c（c）)} (z（z） ； 第页) \\ = \frac{经验 (负极 第页)}{B类 (γ, c（c） 负极 γ)} \sum_{米, k个 = 0}^{\infty} \frac{{L（左）}_{米} (第页) {(c（c）)}_{k个} {z（z）}^{k个}}{Γ (α k个 + β) k个!} \int_{0}^{1} {t吨}^{米 + k个 + γ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{c（c） 负极 γ} 经验 (\frac{负极 第页}{t吨}) d日 t吨 . \end{matrix}

(33)

最后，使用以下积分表示[19]:

\begin{matrix} \int_{0}^{1} {t吨}^{μ 负极 1} {(1 负极 t吨)}^{ν 负极 1} 经验 (\frac{负极 第页}{t吨}) d日 t吨 = Γ (ν) {第页}^{\frac{μ 负极 1}{2}} 经验 (\frac{负极 第页}{2}) {W公司}_{\frac{1 负极 μ 负极 2 ν}{2}, \frac{μ}{2}} (第页) \\ (重新 (ν) > 0, 重新 (第页) > 0), \end{matrix}

在方程式中(33)，我们得到结果。□

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作者信息

作者和附属机构

东地中海大学，途经土耳其北塞浦路斯法马古斯塔Mersin 10
穆罕默德·阿里·扎斯兰和巴努·伊尔马兹

作者

穆罕默德·阿里·扎斯兰
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作者的贡献

所有作者一起完成了论文。所有作者阅读并批准了最终手稿。

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关于本文

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Oh zarslan，M.A.，Yñlmaz，B.扩展的Mittag-Lefler函数及其性质。J不平等申请 2014, 85 (2014). https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-85

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收到:2013年11月5日
认可的:2013年12月13日
出版:2014年2月20日
内政部:https://doi.org/10.1186/1029-242X-2014-85