考虑客户满意度的多目标车辆路径问题（MVRPCS）涉及在一个时间窗口内将多个仓库的订单分配给一组客户。针对MVRPCS提出了一种自适应网格多目标量子进化算法（MOQEA），该算法考虑了客户满意度和旅行成本。通过提出一个改进的模糊二次窗口来表示客户满意度，并将优化问题建模为混合整数线性规划。在MOQEA中，非支配解集是由挑战杯规则构造的。此外，设计了自适应网格以实现解集的多样性；也就是说，每一代的网格数不是固定的，而是根据当前代非支配解集的分布自动调整的。在研究中，MOQEA通过应用于经典基准问题来进行评估。数值模拟和比较结果表明，所建立的模型是有效的，MOQEA对MVRPCS是有效的。
1.简介
车辆路径问题（VRP）是最重要且研究最广泛的组合优化问题之一，在物流配送和运输中有许多实际应用[1]. 自1959年Dantzig和Ramser首次提出VRP以来[2]它一直是运筹学和组合优化领域的研究热点[三–5].
VRP的目的是为车队找到最佳路线，为一组具有已知需求的客户提供服务。每个客户只需接受一次服务，必须为其分配一辆满意的车辆，而不超过车辆容量。该问题的解决方案是找出一组用于表示车辆分布和客户排列的最小成本路线。然而，目前对VRP的研究[6,7]主要集中在单一目标问题上，目标是优化调度车辆数量和行驶距离，即降低供应商的服务成本。
实际上，为了获得竞争优势，服务提供商不仅需要考虑服务成本，还需要考虑能够决定客户满意度的服务质量。大多数关于多目标VRP（MOVRP）的研究都没有考虑到这一目标，只关注成本最小和路线最长的传统目标[8,9]. Hong和Park[10]构建了带时间窗约束的生物目标车辆路径规划（BVRPTW）的线性目标规划（GP）模型，并提出了一种启发式算法来减轻GP模型应用中固有的计算负担。Zitzler和Thiele[11]提出了一种基于Pareto方法的VRP多目标进化算法。Lim和wang[12]提出了一种通过分配不同的目标权重来处理MOVRP的方法。Tan等人[13]提出了一种混合多目标进化算法（HMOEA），该算法在进化搜索中结合了用于局部挖掘的各种启发式算法，并引入了求解带时间窗约束车辆路径问题（VRPTW）中多目标优化问题的Pareto最优性概念。加西亚-纳杰拉和布利纳里亚[14]研究了一种改进的带时间窗的VRP多目标进化算法。
VRPTW是在VRP的基础上发展起来的，在过去十年中得到了广泛的研究[15–19]. 在VRPTW中，每个客户都有一个时间窗口，其中包含有关其所需服务的截止日期和最早时间限制的值。因此，该问题涉及路由组合和调度组件。路线的设计必须使总成本最小化，但同时，必须进行调度以确保时间可行性。
实际上，这个时间窗口并不能很好地描述客户的满意度。一个主要原因是要求客户提供固定的服务时间窗口，但实际上他们真的希望在期望的时间得到服务。程和根[20,21]将这样一个期望时间称为due-time，并提出用模糊due time的概念来代替这个时间窗口，因为正如他们所声称的那样，它可以更好地描述客户的满意度。因此，顾客满意度也可以描述为凸模糊数[22–24].
程和根[20,21]引入模糊时间，用三角模糊数描述顾客满意度，并用遗传算法求解VRP。Zhang等人[25]提出了一种多目标模糊VRP，并用梯形模糊数来描述客户满意度。贾[26]针对这个问题，使用了多目标混合遗传算法。吴[27]研究了基于客户满意度的开放式VRP。林[28]针对基于空间效用、服务满意度、等待时间、延迟时间和运输距离五个属性的模糊车辆路径与调度问题，提出了一种基于遗传算法的车辆最优运输多目标决策方法。王和李[29]提出了一种基于遗传算法的混合算法，并结合一些基于贪婪算法的方法来求解同时考虑仓库需求和客户期望的MOP模型。
上述研究使用目标加权和来解决多目标问题；目标的重要性越高，其相应的权重系数越大。一般来说，没有一种解决方案可以同时达到所有目标的最佳值。因此，需要获得一组Pareto最优解，即Pareto集。与集合中的结果相对应的目标空间中的点通常称为Pareto前沿。
针对MVRPCS问题，提出了一种自适应网格多目标量子进化算法（MOQEA）。特别是，量子进化算法（QEA）因其高效、收敛速度快、全搜索优化能力强而被用于MOQEA[30]. 在MOQEA中，通过对染色体进行解码，可以获得总旅行成本最小、客户满意度最大的最优或近似最优车辆路线解集，并同时获得多个解集。该方法可以支持调度员更有效地确定如何通过可用车辆配送货物以服务客户。
本文的其余部分组织如下。章节2给出了考虑客户满意度的MVRPCS的数学模型。章节三详细描述了拟议的MOQEA。在节中4介绍了所提出的算法在一个经典问题上的应用，并讨论了仿真结果，并与早期算法进行了比较。最后，第节给出了结论5。
2.MVRPCS模型
2.1. 客户满意度的表示
在传统的VRP中，客户的时间约束由时间窗口表示，如图所示1对于这种方法，如果客户在窗口内的某个时间得到服务，则满意度为100%，否则满意度为0。基于时间窗口相应地测量满意度是不现实的，因为如果在窗口内的不同时间提供服务，客户满意度不一定相同。实际上，服务时间可以分为两类；即，服务时间是可以容忍的，服务时间也是理想的。
引入了模糊双时间窗来描述不同的满意度。一般来说，客户可接受的服务时间可以描述为，其中是最早的时间是最近的时间。例如，在[20,25]客户满意度用三角模糊数表示，如图所示2当考虑到所需的服务时间时，可以使用梯形模糊数来描述客户满意度。在[26]，使用此方法，理想的服务时间由due-time描述，如图所示三在这种情况下，如果没有达到预期的服务时间段，无论车辆早到还是晚到，客户满意度都为零。
本文提出了一种改进的模糊双时间窗，如图所示4.在这种方法中，如果在期望的时间为客户提供服务，则满意度为1；否则，满意度随着实际服务时间和期望时间之间的差异的增加而降低。对于车辆早于最早预期时间到达的情况，满意度不为零，而是等于满足最早预计时间的情况。客户满意度由改进的模糊双时间窗的隶属函数表示，即改进的梯形模糊数。对于客户，将其满意度标记为对于给定的服务时间.然后可以使用隶属函数计算满意度，如下所示：
2.2. 数学模型
MVRPCS可以描述如下：每个仓库都有容量为的车辆。这些车辆将被派往以满足客户的需求。
标记客户需求作为，并假设。每个客户都可以使用仓库中的任何车辆进行服务，但服务只会进行一次。此外，每辆车都可以完成运输任务，而无需返回原始仓库。因此，需要一个适当的车辆调度程序来满足所有客户的需求。本研究中使用的变量的含义描述如下。
客户编号为.车辆段编号为。
发送车辆的固定成本为。
来自客户的分销成本致客户是、和。
客户的时间窗口是; 客户到达时间是; 行程时间到是是客户的服务时间和是客户满意度。
如果车辆直接从客户处旅行致客户而且到达得太早了，它将等待；是客户的等待时间用于车辆。因此，可以建立MVRPCS模型，如下文所述。两个决策变量定义如下：这个问题有两个目标，由服务质量和服务成本决定。考虑这两个目标可以帮助调度员在不影响任何两个目标的情况下做出更好的决策。通过选择不同的参数，调度员仍然可以对不同的目标有偏好。
服务质量目标是最大化平均客户满意度：
这一目标相当于将平均客户不满降至最低：
服务成本的另一个目标是最小化旅行成本、固定成本和等待成本。为此，考虑发送车辆的固定成本，因为运行中的车辆存在折旧和燃油消耗。固定成本也与车辆数量有关，即车辆越多，固定成本越高。据我们所知，在求解具有模糊到期时间的多目标VRP时，以前没有做过考虑这种固定成本的工作。基于上述讨论，MVRPCS的数学模型可以建立如下：在模型中，公式(2.6)确保每辆车的承载能力；公式(2.7)确保从每个车辆段调度的车辆数量不超过车辆段的容量；公式(2.8)和(2.9)确保每个客户只使用一辆车；公式(2.10), (2.11)，以及(2.12)确保在时间窗口内为客户提供服务；和来自(2.10)和(2.12)，可以获得车辆的等待成本。
3.MVRPCS的MOQEA
在本研究中，Pareto最优解的多目标优化方法[31]使用。它的主要优点是近似帕累托前沿，以便为决策者提供一组等效的解决方案[32,33]. 求解Pareto最优多目标优化问题的算法涉及两个主要问题：（i）如何构造一个Pareto最优解集，即非支配解集，并使其尽可能接近Pareto最佳前沿？（ii）如何实现解决方案的多样性？针对这两个问题，提出了一种求解MVRPCS问题的自适应网格多目标量子进化算法（MOQEA）。构造非支配解集并获得解的多样性和多样性的方法将在以下部分中描述。
3.1. 构造非支配解集
在本文中，挑战杯规则[34]用于构造非支配解集。假设是一个进化群体是一个构造集，让最初。假设Ndset公司是一个初始为空的非支配集。这条规则的基本思想是从，然后与所有其他个人进行比较在里面如果，然后清除从; 如果，然后使用更换，然后是新的冠军，并继续与其他个人进行比较。经过比较，形成，其中是最小的元素。添加到Ndset公司并继续进行比较，直到为空。
3.2. 基于自适应网格的集多样性和多样性获取方法
为了获得集合的多样性，单个空间被划分为几个小区域，每个区域都被称为网格，如图所示5因此，每个个体都与图中的网格相关联，并且每个网格中的个体数量可以定义为挤出系数。
网格以多种不同的方式使用，以保持解决方案的多样性和多样性。Knowles和Crone[35]提出了pareto多目标优化的pareto存档进化策略。Corne等人[36]提出了一种基于pareto包络的多目标优化选择算法。
当网格包含多个个体时，这些个体将被视为同一个解决方案。因此，网格的大小非常重要。当网格过大时，同一网格中会存在多个个体，由此产生的解分布不准确。当网格太小时，某些网格中很可能没有个体，因此虽然得到的解分布是准确的，但计算时间较长。因此，在确定网格大小时，必须权衡计算时间和精度。
在这个优化问题中有两个目标函数。客户满意度的范围是实验数据改变了出行成本和等待成本的范围。目标空间网格的边界可以由上述两个目标函数的范围确定。
在本文中，每一代的网格数不是固定的，而是根据当前一代非支配解集的分布情况自动调整的。栅格边界是一个固定值。在每个进化世代的过程中，网格的数量由D类-非支配解集中每个维度的最大值和最小值之间的值。自适应网格的设计方法如下。
这两个反对意见可以用.将第1代中每个尺寸网格的编号标记为,作为第1代中设置的非支配解决方案，以及作为生成中的非支配解集.如果是每个维度的反对意见，那么D类-每个维度的值可以描述如下： 第1代： 一代 生成中每个维度网格的数量是为了保持非支配解集的多样性和多样性，选择具有最大挤出系数的个体，并将其从非支配解集中删除。
3.3. 代表
量子进化算法（QEA）[37]基于量子计算的概念和原理，如量子比特和状态叠加。QEA使用Q-位染色体作为概率表示，而不是二进制和数字表示，Q-位个体由一串Q-位建模。
存储在两态量子计算机中的最小信息单位称为Q-位，它可以处于“1”态，也可以处于“0”态，或者两者的任意叠加。Q位的状态可以表示为哪里和是复数。和给出Q-位分别处于“0”状态和“1”状态的概率。国家统一的标准化用于满足。
因此，具有m个Q比特串的Q比特个体可以表示如下哪里。
这种表示法的主要优点是可以表示解的任何线性叠加。例如，一个三Q位系统可以包含八个状态的信息。Q-bit表示的QEA比其他表示具有更好的种群多样性特征，因为它可以表示状态概率的线性叠加。
本文设计了一种将整数表示转换为Q位表示的方法。对于MVRPCS客户，客户路线的表示被描述为.注意的排列是，并代表每个基因作为字符串第页-Q位，然后 组n个-获得了Q位。因此，量子个体被描述为Q位矩阵。此处，其中是不小于的最小整数和，这样我们就可以。
3.4. 解码方法
解码采用“客户置换路径优先，车辆配送集群优先”规则。(1)首先，获取客户排列路径。MVRPCS的解决方案是所有客户的排列，不能直接评估Q位表示。因此，应将其转换为排列进行评估。 首先将Q位字符串转换为二进制字符串具体来说，是一个随机数之间生成，如果一点满足Q-位字符串的，然后让相应的位二进制字符串的为1，否则为0。然后将二进制表示转换为整数表示，整数表示被视为随机密钥表示[38]，并且基于生成的随机密钥来构造客户排列。如果两个随机密钥值不同，则较小的随机密钥表示数字较小的客户；否则，让第一个出现的表示数字较小的客户。(2)其次，分配车辆并获得代位权。根据客户的排列路线将车辆发送给服务客户，如果车辆无法满足时间窗口或装载能力限制而无法为下一个客户提供服务，则将发送新车辆。例如，客户的排列路径是[]，3个仓库注释[]，使用此解码方法，副路由为：路由1:11-8-5-9；线路2:10-3-4-1；路线3:12-2-6-7。
3.5。Q-Gate更新策略
在MOQEA中，Q-门是一个进化算子，与[39]. 旋转门通常用于更新Q-位个体，如所示(3.6)哪里是第个Q位和是每个Q位的旋转角度。。
的查找表如表所示1本文从非支配解集中随机选取一个非支配解作为当前目标解。在多目标优化中，无法在满足所有目标的情况下找到最优值。所以我们需要选择一个客观的解决方案针对每个人只有找到非支配解集。
在上表中，是旋转角度的大小。是的标志这决定了方向。和是单个二进制解的Q位和目标解决方案分别是。是目标。是大小的旋转角度，它影响收敛速度和搜索能力。本文提出了一种动态调整旋转角度的方法，即：；将根据第节中讨论的挤压系数进行更改三以下为：哪里是挤压系数。是范围内的常数.来自(3.7)，我们可以看到当挤压系数较小，旋转角度大到可以加快收敛速度；当挤压系数搜索步长将减小以增强解的多样性。
3.6. MOQEA程序
该问题的MOQEA流程图如图所示6。
MOQEA的详细程序如下。
步骤1。让并随机生成初始种群，即随机生成对于和，其中表示j中的第个个人t吨第代。同时，构造初始的空外部集尺寸为。
第2步。转换到二进制总体，然后将其转换为整数填充。
步骤3。根据获得子任务的解码方法，评估目标以获得MVRPCS解集，其中是j两个目标在t吨第代。然后让成为施工现场。
步骤4。使用公式(2.4)和(2.5)评估各自的主导地位施工中设置并使用挑战杯规则的方法构造非支配解集NDset（NDset）().
步骤5。什么时候？，复制NDset（NDset）（0）到外部集合.何时，如果某个人NDset（NDset）()主导一个解决方案删除解决方案并将个人加入，如果解决方案在在NDset（NDset）()，中的解决方案不变；否则，加入个人NDset（NDset）()进入。
步骤6。调整的大小到的数量并且满足非支配解集的分布。该方法详细讨论如下。如果小于，随机选择个人NDset（NDset）（t） 进入直到尺寸是; 否则，使用自适应网格方法来保持，划分个人空间分成几个小网格，选择挤压系数最大的网格，并从中随机删除一个解决方案集。
第7步。如果满足停止条件，则输出Pareto集；否则，请继续执行以下步骤。
步骤8。从Q-bit中随机选择一些个人，由来自对应于。
第9步。使用(3.6)执行旋转操作生成。
第10步。让然后返回步骤2。
4.实验结果和比较
4.1. 实验数据
考虑到客户满意度的多VRP研究很少。在考虑到客户满意度的研究中，大多数是使用随机生成的测试用例进行评估的。因此，没有标准的测试用例库。本研究使用的测试数据来自MDVRPTW（带时间窗的多基地车辆路径问题）标准示例库中的基准问题，所有示例都可以从http://neo.lcc.uma.es/radi-aeb/WebVRP网站/。是初始数据中的时间窗口，即本文中允许的时间。是理想的服务时间，可以使用以下公式计算[27]:
4.2。MOQEA参数讨论
MOQEA中涉及的参数包括系数在公式中(2.1)和常量在公式中(3.7). 对不同参数的拟议MOQEA进行了讨论，分析结果如表所示2和三.VN是车辆编号。CS表示客户不满意。这些表只列出了总成本最低的解决方案。从表格中我们可以看到和，生成的车辆数最小。
4.3. 模拟实验
本研究中的所有程序都是使用JAVA语言开发的，并在带有Dual 2.8的PC上运行 GHz CPU和1.0 GB内存。一家制造公司有4个仓库，向48家供应商提供货物。实际的分发过程可以归因于开放、容量限制和多报告VRP。容量为20 t.建议的MOQEA用于解决这个问题，每个客户和车辆段的距离和需求如表所示4和5.CN是客户编号。ST是服务时间。De是需求。TW是时间窗口。
所得结果如表所示6和图7具体来说，迭代次数为2000，人口规模为30。系数设为0.06。常量在公式中(4.1)为0.2。帕累托最优解集为（6303523）、（5933879）、（5564164）、（5434203）、。不满意的数值放大了1000倍。从图中可以看出7靠近轴的帕累托阵面形成了一个更令人满意的解集。通过比较最左侧和最右侧的点，我们可以看出，在这种情况下，可以将总成本降低20%，但代价是不满意程度增加了约25%。
4.4. 比较与讨论
为了评估算法的性能，将提出的MOQEA与年开发的混合多目标进化算法（HMOEA）进行了比较[34]. 在HMOEA中，使用前推插入启发式（PFIH）构造可行个体作为初始种群，并使用遗传算法更新这些种群以获得新的子种群，并通过局部搜索方法改进子种群中的个体-用可变概率交换，然后利用挑战杯规则构造非支配解集。
表7显示了两种算法所得结果的比较。由于计算结果是一个解决方案集，因此此表仅列出总成本最小的解决方案。VN是车辆编号。CS表示客户不满意。从表中我们可以看出，从拟议的MOQEA中获得的这两个多点VRP的总成本小于HMOEA，并且从MOQEA中获得的客户满意度大于从HMOEA中获得的客户满意度。
5.结论
本文提出了考虑客户满意度和MVRPCS开发的车辆调度问题建模。具体而言，提出了一种改进的梯形模糊数来表示客户满意度，并针对该问题开发了MOQEA。MOQEA可以根据自己的期望得到多个解，即Pareto最优解集。决策者将根据对满意度最大化和旅行成本最小化的不同偏好，使用这些解决方案来选择最佳解决方案。在MOQEA中，针对非支配解集构造了挑战杯规则，并基于自适应网格设计了一种保持解集多样性的方法。仿真结果和比较表明，MOQEA是一种有效的方法。在我们未来的工作中，我们将重点改进算法并在其他数据集上进行测试。
致谢
本文得到了国家自然科学基金（60970021）、浙江省博士后科学基金和浙江省教育厅基金（Y201225032）的资助。作者也非常感谢匿名审稿人提出的建设性建议，这些建议导致了一些更正和建议，这些更正和建议极大地帮助了本文的提交。
