具有对称性的非线性动力系统表现出丰富的行为，通常用复杂的吸引子-基图以及增强和抑制的分岔来描述。对称性论证提供了一种研究这些集体行为并简化其分析的方法。Koopman算子是一种无限维线性算子，它通过状态空间函数的线性演化来完全捕捉系统的非线性动力学。重要的是，与局部线性化相比，它保留了系统的全局非线性特征。我们演示了对称性的存在如何影响Koopman算子的结构及其谱特性。事实上，我们表明对称性考虑也可以简化使用扩展和核动态模式分解方法（EDMD和核DMD）查找Koopman算子近似。具体地说，表示理论允许我们证明，在算子近似中，同型分量基诱导了块对角结构，揭示了隐藏的组织。实际上，如果对称性已知，可以修改EDMD和核DMD方法，以更有效地计算Koopman算子近似及其特征值、特征函数和特征模式。在发展过程中，我们讨论了测量噪声的影响。

话题
非线性动力学, 非线性系统, 动力系统, 算法和数据结构, 群论, 算子理论, 功能空间, 表象理论, 光谱现象和特性

许多自然和工程动力系统——电网网络和生物调控网络——在其连接结构和内部动力学中表现出对称性。有些具有时间反转对称性，另一些具有旋转和空间平移不变性，还有一些具有组合性。这些对称性通常是理解系统行为的关键。例如，系统行为和结构对称性之间的相互作用出现在运动中，在动物步态中观察到的对称性对产生对称性的神经回路的结构施加了某些约束。特别是对于网络系统，连通结构中的对称性至关重要。例如，由相同振荡器组成的网络的结构对称性可以确定其对称破坏的容许模式。也就是说，通常需要网络结构知识之外的其他信息来解决有关系统动力学的更详细问题，例如特定配置在给定参数范围内是否稳定。在这些情况下，系统在稳态附近的线性化可以与互连对称性相结合来提供答案。然而，这些线性化方法仅在状态空间的局部子集上有效，因此不足以满足非线性动力系统的全局特性，如吸引子、流域和瞬变。相反，Koopman算子是一个线性无穷维算子，它在状态空间上演化函数，而状态空间在整个状态空间上都有效。我们展示了如何将对称性考虑与Koopman分析相结合来研究具有对称性的非线性动力系统。我们使用表示理论来确定对称性对Koopman算子及其近似的影响，得出局部动力学对称性如何与系统变量连接性产生的对称性相互作用。这反过来又允许我们修改数据驱动的Koopman近似算法，使其在应用于具有对称性的动力学系统时更有效。我们在单个振子动力学及其物理耦合中具有对称性的耦合Duffing振子的简单网络中说明了我们的发现。

动力系统的对称性表现为渐近动力学、分岔和吸引子盆地结构。对称性在引导同步和模式形成的出现方面起着至关重要的作用，这是在自然和工程系统中广泛观察到的行为。群论、表示论和等变分歧理论的方法为研究对称系统的共同特征提供了有用的工具。15–17 

组织成网络的动力元件是一类重要的动力系统，经常表现出这些行为，特别是当网络结构和单个节点的动力学都出现对称性时。利用计算群论研究对称性对综合系统和现实系统网络拓扑结构的影响是一个活跃的研究领域。29,33,34这些对称性导致了诸如完全同步、簇同步和形成嵌合体等奇异稳态等现象。10,14,30,41此外，耦合的相同元素的簇同步的拓扑对称性有助于分析这些完全同步的簇状态的稳定性。18,33对于相同耦合振子网络，其极限环解的形式及其分支的形式可以从对称性考虑中导出。1对称性也是决定网络可控性和可观测性的关键。例如，参考。13和37探讨了显式网络对称性对线性时间无关网络和时间相关网络的影响。同样，参考文献。26和47考虑具有对称性的非线性网络模体，研究不同类型结构对称性的存在如何影响系统的可观测性和可控性。参考32与我们的方法类似，使用了Koopman运算符形式（如下所述）。他们提供了将动力系统中置换对称性的存在与其可观测性联系起来的分析结果。

许多当前感兴趣的动力学系统都是高维的非线性系统。例如，许多复杂网络就是这样，例如电网和生物网络。网络互连结构与节点和边缘动力学中的非线性之间的相互作用产生了复杂性。这通常会导致多稳定性。线性化方法可以提供系统吸引子附近的信息，但它们很难在状态空间的其余部分近似动力学。相反，基于算子的方法可以获得非线性系统的全局特性。它们是在线性环境中进行的，因此更适合描述多稳态动力系统的吸引子盆地结构或控制干预设计。Perron-Frobenius和Koopman算子是伴随线性无穷维算子，其谱可以提供系统的全局信息。它们使用数据驱动方法的近似值使得操作员方法在没有系统先验知识的情况下具有潜在的适用性。

Perron-Frobenius算子在状态空间上演化密度。它被广泛用于评估非线性动力系统的全局行为。25,45有几种成熟的方法可以获得其数值近似值，例如Ulam方法，该方法依赖于状态空间的离散化来获得Perron-Frobenius算子的近似值。46由于库普曼算子是Perron Frobenius算子的伴随，因此使用这些方法也可以获得库普曼算子的数值近似。20 

Koopman算子是一个无限维线性算子，描述了“可观测”（状态空间的函数）的演化。20,22,25例如，参考文献。9本文还总结了它在模型约简、相干分析和遍历理论中的适用性。事实证明，基于Koopman算子分解的方法在模型简化和流体流动控制、，三电力系统分析，44提取神经数据的时空模式。7 

近似Koopman运算符的数据驱动方法依赖于连续时间步长的系统状态测量值的快照对。从这些快照对重建操作符需要选择一组函数（称为可观测字典）。引入的第一种数据驱动方法，即动态模式分解（DMD），隐式使用线性单项式作为字典，因此最适用于库普曼特征函数由该基集很好地表示的系统。38参考文献。48当应用于非线性系统时，可以比标准DMD更强大，因为它允许选择更复杂的字典函数集。如果字典函数的数量不超过使用的快照对的总数，则应用EDMD在计算上最可行。如果选择了富函数字典（例如，高阶多项式字典），则不一定是这种情况。参考文献中引入了一种称为内核DMD的EDMD的修改。49通过提供一种在字典函数数超过测量数的情况下有效计算Koopman算子近似值的方法，解决了这个问题。然而，使用EDMD或内核DMD对对应于领先Koopman模式的本征谱进行精确近似的底层字典的原则性选择仍然是一个突出的挑战。例如，在参考文献。27，其中提出了一种迭代EDMD字典学习方法。虽然字典函数的最佳选择通常是未知的，但有一些常见的选择可以为某些类型的系统生成准确的结果。48 

在这里，我们结合基于算子的方法和线性表示理论来研究具有离散对称性的非线性动力系统。最近，相关方法已被应用于具有对称性的动力系统。一方面，参考。31讨论Perron-Frobenius算子的对称性与吸引子的容许对称性的关系。另一方面，参考。39将Navier-Stokes方程的时空对称性与时空Koopman算子联系起来。此外，参考。8注意到对称性考虑在发现控制方程方面发挥着重要作用。参考19显示了如何使用Koopman算子近似检测守恒定律，然后用于控制哈密顿系统。

相反，我们的重点是由有限群描述的具有对称性的动力系统。我们展示了如何将相关Koopman算子谱的特性与从有限数据中获得的Koopman运算符的有限维近似的谱的特性联系起来。我们进一步展示了Koopman算子分解的分析性质如何告知可以在Koopman运算符近似中使用的字典函数的选择。这为降低近似问题的维数提供了一种实用的方法。

我们的开发构建如下。章节二定义了Koopman算子，介绍了近似方法（EDMD和核DMD），定义了等变动力系统以及群论和表示论中的有用概念。章节三得出了动力学系统对称性对Koopman算子结构及其特征分解的影响。章节四、将Koopman算子的属性与其对称系统的EDMD近似结构联系起来。然后，这允许修改EDMD方法以利用潜在的对称性，从而产生块对角库普曼算子近似矩阵。我们还提供了数值示例，展示了使用特定的字典结构如何加快算法的速度。最后，第。V（V）总结了我们的发现并概述了未来工作的方向。

在本节中，我们提供了动力学系统的算子理论方法的一些背景，特别是Koopman算子及其伴随Perron-Frobenius算子。由于在本文中，我们讨论了输入为离散时间数据的Koopman算子的近似，因此我们重点讨论了它们在离散设置中的定义。连续时间定义类似。9关于Koopman算子本征值的简并性及其相应本征函数的性质，我们的结果在第。三保持离散和连续时间设置。

假设我们被定义为连续时间自治动力系统

(1)

在这里，x个∈R（右）n个⁠,克c（c）:R（右）n个→R（右）n个⁠.让Φ(x个(t吨),Δt吨)是映射初始条件的流程图x个(t吨)及时解决方案t吨+Δt吨⁠。定义如下：

(2)

该系统可以用有限时间步长离散Δt吨步⁠，所以x个我+1=Φ(x个我,Δt吨步)⁠我们通过以下方式来表示该离散化系统的动力学演化的函数克⁠,

(3)

Koopman算子是一个“线性无限维”算子，它演化了状态空间变量的函数（称为可观测值）（f）:R（右）n个→C类⁠科普曼操作员的行动K（K）关于一个可观测函数（f）对于离散时间系统，定义为

(4)

由于我们在本文中考虑了数据驱动的Koopman算子近似方法，因此该定义的离散时间版本最适用。

特征值对λ和本征函数ϕKoopman操作员的K（K）定义为

(5)

特别有趣的是可用于模型简化和相干估计的Koopman模式。36,43科普曼模式v（v）我（f）可观测到的（f）(x个)由定义

(6)

和是观测值在Koopman算子本征函数跨度上的投影K（K）⁠.一组特别有用的模式是全状态可观测模式（f）(x个)=x个⁠，定义为

(7)

一般来说，部分Koopman算子谱可以是连续的。9,24例如，这可能是混沌系统的情况。然而，由于我们在Secs中提到的方法，我们将重点放在离散谱的情况下。II B类,四、、和附录E（EDMD和内核DMD）仅适用于这种情况。我们关于库普曼算子谱的离散部分的对称性的结果类似于与谱的连续部分有关的结果。例如，参考文献。28.

使用基于算子的方法研究动力系统的另一个候选者是Perron-Frobenius算子P（P）确定性动力系统定义如下：

(8)

在这里，ρ(x个)是状态空间上的密度，一⊆R（右）n个是状态空间的子集，并且克⁠，定义见等式。(3)，演化系统状态。Perron-Frobenius算子是Koopman算子的伴随，25因此，它们之一的近似值提供了另一个的近似值。20 

参考文献中引入的扩展动态模式分解（EDMD）。48是一种数据驱动的方法，用于近似离散系统的Koopman算子，需要显式选择称为“可观测”的函数字典。如何优化选择这些函数对于许多系统来说仍然是一个公开的问题，特别是当描述控制动力系统的微分方程的形式事先未知，并且只有关于系统行为的有限数据可用时。该方法可以非常准确地捕捉系统的动力学，但其准确性在很大程度上取决于选择合适的观测字典。参考文献研究了该方法的收敛性。23，其与Perron-Frobenius算子近似方法的关系在参考文献中讨论。20在这里，我们总结了EDMD及其与Koopman算子的关系。

该方法的第一个要求是一组连续快照对x个=[x个1,x个2,…,x个M（M）]和年=[年1,年2,…,年M（M）]⁠，其中测量值x个我和年我以较小的恒定时间间隔执行Δt吨⁠:年我=Φ(x个我,Δt吨)⁠，其中Φ是等式中定义的流程图。(2)通常，快照集包含状态空间中不同轨迹的测量值。我们定义了一个线性无关观测值字典D类={ψ1,…,ψN个}和形成观测向量Ψx个和Ψ年⁠.给，Ψx个∈R（右）M（M）×N个⁠，其中N个是近似中使用的字典函数数M（M）是数据快照的数量。的元素Ψx个来自(Ψx个)我j个=ψj个(x个我)⁠。我们也使用符号Ψ(x个米)=(ψ1(x个米),…,ψN个(x个米))对于在轨迹上特定点处计算的字典函数。

Koopman算子的有限维逼近K（K）我们称之为K（K）可以通过以下方式获得

(9)

在这里，Ψx个+表示的伪逆Ψx个⁠在本文的其余部分，我们将重点讨论Moore-Penrose伪逆的情况。35 

如果快照的数量远高于函数字典的维数(⁠M（M）≫N个⁠)，而不是定义平方矩阵更实用G公司和一如下所示，并通过以下方式获得近似值：

(10)

在这里，∗表示复数共轭转置。如果唯一可观测的是系统的状态x个1,x个2,…,x个n个⁠，EDMD降至DMD。20,48

特征分解K（K）提供了Koopman特征值、特征函数和模式，允许基本系统动力学的近似线性表示。让λj个和u个j个成为j个的特征值和特征向量K（K）⁠然后，相应的Koopman特征函数可以近似为

(11)

让b条我是由定义的向量克(x个)我=Ψb条我⁠，其中克(x个)我=e（电子）我∗x个表示参考文献。48、和B类=(b条1⋯b条n个)⁠Koopman本征模可通过下式获得

(12)

在这里，w个我表示我的第个左特征向量K（K）⁠.

对EDMD的一种改进，称为内核DMD49更适合测量次数少、观测次数多的系统（例如，流体动力系统的全状态观测值是非常高维的，因此定义全状态观测的多项式字典在计算上非常昂贵），即：。，M（M）≪N个⁠。该方法依赖于对内核函数的求值：

(13)

这允许高效计算M（M）×M（M）矩阵G公司^⁠,一^⁠、和K（K）^⁠，其中M（M）是轨迹时间步数。特征分解K（K）^然后可用于获得Koopman特征值、特征函数和模式的近似值。

在本文中，我们关注的是测量次数对于每个自由度都相对较高的情况(⁠M（M）≫N个⁠)并获得了一种降低Sec中对称系统Koopman算子EDMD逼近维数的方法。四、中讨论了内核DMD的类似修改附录E.

在本节中，我们定义了有助于研究Koopman运算符结构的概念K（K）及其近似值K（K）对于具有对称性的系统。在本节和本文的其余部分中，我们使用一个小型Duffing振荡器网络的示例来说明定义和算法。

在本文中，我们考虑了动力学系统[如等式。(1)和(3)]尊重离散对称性。这些系统被称为关于对称群的等变系统Γ⁠。我们通过组在表单中的“演示”来定义组⟨S公司|R（右）⟩⁠，其中S公司是组的一组生成器R（右）是定义该组的这些生成器之间的一组关系。群中的每一个元素都可以写成某些生成器的幂的乘积。

例如，循环群Zn个由呈现⟨第页|第页n个=1⟩⁠该群的一个实现示例是正则的一组旋转对称n个-多边形。

为了研究具有对称性的动力系统，除了群的抽象表示外，我们还需要定义群在向量空间上的具体作用Γ⁠.让X（X）⊂R（右）n个是包含元素的向量空间x个∈X（X）⁠.我们表示动作γρ关于向量空间X（X）通过γρx个如果这些操作集Γρ与同构Γ⁠.速记γρx个=γx个在文献中，当下标对应的动作ρ从上下文来看是清楚的（例如，它由与系统状态空间相同程度的置换矩阵定义）；然而，我们使用γρ避免歧义的符号，因为在特定情况下群体行动的精确定义在本文中很重要，如示例II.1和II.2所示。

最后，我们定义了动力系统对称的含义。让x个˙=克c（c）(x个)是一个连续时间的微分方程组。在这里，x个∈R（右）n个⁠、和克c（c）:R（右）n个→R（右）n个⁠。系统是Γ-对…的行为持模棱两可的态度Γρ如果是所有人x个∈X（X）和γρ∈Γρ⁠,

(14)

如第。二，数据以离散形式出现，因此该定义的离散形式很有用。对于由定义的离散时间系统x个我+1=克(x个我)⁠，以类似的方式定义等方差，

(15)

我们注意到，如果连续时间系统Γ-等变，其离散化也是如此。此外γ-状态空间中的等变系统也尊重系统的对称性。对于离散系统，这意味着如果{x个0,x个1,…x个n个}在状态空间中形成一条轨迹，然后{γρx个0,γρx个1,…γρx个n个}形成一条轨迹。

等变动力系统的一个重要例子，最近的许多工作都集中于此（如参考文献。18, 30, 33、和41)是一个耦合的相同振荡器系统。在这种情况下，系统等变的作用集（或子集）由置换矩阵集定义P（P）与该振荡器网络的邻接矩阵（描述网络节点之间连通性的矩阵）进行交换。在这种情况下，组的作用是线性的，但并不总是如此。

我们还需要在函数空间中定义组的操作，其中（f）∈F类是函数（f）:X（X）→C类⁠，作为

(16)

请注意，组操作被反转以满足组操作公理（以便函数上的操作与状态上的操作形成相同的组结构）。由于Koopman算子作用于函数（即可观测值），因此该定义将非常有用。

对我们的工作有用的另一个概念是线性组“表示”T型⁠，它是组元素的映射γ∈Γ一般线性群的元素[一组度矩阵n个⁠，矩阵乘法运算表示为德国劳埃德船级社(n个,V（V）)]关于向量空间V（V）（在这种情况下，我们感兴趣的是V（V）=C类n个⁠). 角色χ我(γ)群表示的T型我(γ)定义为χ我(γ)=Tr公司(T型我(γ))⁠.

如果一个表示没有非平凡不变子空间，则称其为不可约表示（这意味着与群元素对应的表示矩阵不能同时非平凡块对角化为相同的块形式）。对于每个Γ⁠，我们可以得到它的所有不可约矩阵表示。我们表示它们的元素映射γ∈Γ到第页×第页-维度矩阵作为R（右）我(γ)⁠，其中索引我对应于我不可约表示。不可约表示被定义为同构。为了本文的目的，利用幺正不可约表示或其特征是有用的。

向量空间，例如平方可积函数的空间F类⁠，可以唯一地分解为像我的第th个不可约表示Γ在…的作用下Γρ⁠这些组分被称为“同型组分”15我们将这些组件表示为F类我⁠.平方可积函数空间关于Γρ则定义为F类=⨁我F类我⁠，其中⨁符号表示此处和之后的直接和。我们用一个例子说明了同型分解的构造Z2-等变系统。

示例II.1

单个Duffing振子动力学的对称性和与其对称群作用相对应的函数空间中的同型分量。

非受迫Duffing振子方程具有以下形式
(17)
我们可以将上述方程改写为微分方程组，以获得
(18)
让x个=x个年,并将动力学表示为x个˙=克c（c）(x个)⁠.让第页秒=−100−1=−我2×2是状态空间上翻转两个变量符号的动作。行动第页秒和e（电子）秒=我2×2组成一个小组Γ秒同构于Γ=Z2=⟨第页|第页2=e（电子）⟩⁠.让γ秒∈Γ秒,然后
(19)
因此,Duffing振荡器系统是Z2-关于作用的等变γ秒⁠.

我们现在说明的是Z2在功能空间中。Z2有两个一维不可约表示:这个琐碎的表示由定义R（右）信托收据(第页)=1以及签名表示由定义R（右）签名(第页)=−1⁠然后，平方可积函数的空间F类可以分解为F类=F类信托收据⊕F类签名,哪里F类信托收据={（f）:第页秒°（f）=（f）(−x个,−年)=（f）(x个,年)}和F类签名={（f）:第页秒°（f）=（f）(−x个,−年)=−（f）(x个,年)}⁠在这种情况下,函数集F类信托收据和F类秒我克n个分别由奇偶函数组成，像平凡表示和符号不可约表示一样，将符号翻转变换为群生成器动作。

现在，我们将示例扩展到Duffing振子网络，并探索额外的置换对称性。

示例II.2
我们现在考虑Duffing振子网络的动力学,如所示图1假设耦合为线性x个每个边都有一个耦合系数η我j个⁠然后，对于每个节点我在网络中,我们有以下动力:
(20)
图1。
图1。三个相同Duffing振荡器网络的可能对称性取决于振荡器之间的耦合强度。不同的耦合强度用蓝色和红色表示。绿色箭头对应于物理耦合产生的排列对称性，黑色箭头对应于节点动力学的对称性。示例II.1和IV.1–IV.3考虑了场景（a）–（c）。（a） 具有Z2×D3对称性的Duffing振子网络。（b） 具有Z2×Z3对称性的Duffing振子网络。（c） 具有Z2×Z2对称性的Duffing振子网络。
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三个相同Duffing振荡器网络的可能对称性取决于振荡器之间的耦合强度。不同的耦合强度用蓝色和红色表示。绿色箭头对应于物理耦合产生的排列对称性，黑色箭头对应于节点动力学的对称性。示例II.1和IV.1–IV.3考虑了场景（a）–（c）。（a） Duffing振荡器网络Z2×D类三对称性。（b） Duffing振荡器网络Z2×Z三对称性。（c） Duffing振荡器网络Z2×Z2对称性。

图1。
图1。三个相同Duffing振荡器网络的可能对称性取决于振荡器之间的耦合强度。不同的耦合强度用蓝色和红色表示。绿色箭头对应于物理耦合产生的排列对称性，黑色箭头对应于节点动力学的对称性。示例II.1和IV.1–IV.3考虑了场景（a）–（c）。（a） 具有Z2×D3对称性的Duffing振子网络。（b） 具有Z2×Z3对称性的Duffing振子网络。（c） 具有Z2×Z2对称性的Duffing振子网络。
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三个相同Duffing振荡器网络的可能对称性取决于振荡器之间的耦合强度。蓝色和红色显示了不同的耦合强度。绿色箭头对应于物理耦合引起的排列对称性，黑色箭头对应于节点动力学的对称性。示例II.1和IV.1–IV.3考虑了场景（a）–（c）。（a） Duffing振荡器网络Z2×D类三对称性。（b） Duffing振荡器网络Z2×Z三对称性。（c） Duffing振荡器网络Z2×Z2对称性。

关闭模态

该通用耦合方案用于对文献中的许多系统进行建模。33,41

我们现在考虑三节点网络的情况。取决于耦合项是什么,系统可能是Γ-通过排列节点索引作用的不同对称群的等变。以下是一些示例

  • 如果所有耦合强度η我j个是相等的,网络已经D类三对称性。此案例如所示图1（a）。让系统的状态由定义x个=x个1年1x个2年2x个三年三T型⁠.然后,对称组表示为D类三=⟨第页,κ|第页三=κ2=e（电子）,κ第页κ=第页−1⟩并由操作生成第页第页=010001100⊗我2×2和κ第页=100001010⊗我2×2⁠.

  • 耦合强度是否符合条件η我j个≠ηj个我和η我j个=ηj个k个对于我≠k个,网络已经Z三对称性。此案例如所示图1（b）对称组表示为Z三=⟨第页|第页三=e（电子）⟩并由操作生成第页第页如上所述。

  • 耦合强度是否符合条件η12=η21=η13=η31⁠，以及η23=η32,没有其他等式成立,网络已经Z2对称性。此案例如所示图1（c）对称组表示为Z2=⟨κ|κ2=e（电子）⟩并由操作生成κ第页如上所述。

即使万一(c（c）)置换对称与示例II.1中的符号翻转对称同构于同一组，即函数空间中的同构分量F类群体行为诱发的结果是不同的。Z2有两个一维不可约表示: 琐碎的代表R（右）1(κ)=R（右）t吨第页(κ)=1和签名代表R（右）2(κ)=R（右）秒我克n个(κ)=−1⁠.让x个我=x个我年我⁠同型组分由排列关系定义F类t吨第页={（f）:κ第页°（f）=（f）(x个1,x个三,x个2)=（f）(x个1,x个2,x个三)}和F类秒我克n个={（f）:κ第页°（f）=（f）(x个1,x个三,x个2)=−（f）(x个1,x个2,x个三)}⁠.

此外，每个节点仍然具有Z2相对于动作的对称性第页秒⁠，由于耦合函数是奇数，因此没有中断。这种对称性也在图1整个对称群的同型分量是Z2 (标志翻转动作)和网络几何的对称群[通过排列作用,例如, D类三对于本例的情况（a），也在图3（a） ]⁠.

任何函数都可以重写为不同同型分量的投影之和。第。三.

在本节中，我们考虑Γ-等变系统。我们展示了如何获得与函数空间中的等型分解相对应的系统的特定特征基，并证明了等型分解在矩阵表示上诱导了块对角结构K（K）⁠.

定理III.1
对于Γ-等变动力系统x个我+1=克(x个我)和任意函数（f）,Koopman操作符使用元素的动作进行通勤Γ,
(21)
证明。
交换性遵循Koopman算子的定义以及状态空间和函数空间中群作用的定义
(22)
这个结果类似于定理3.1参考文献中。 31,其中，证明了Perron-Frobenius算子的作用与对称群的作用相互交换 Γ 对于 Γ-等变的系统.
推论III.1.1

Koopman算子的本征函数空间K（K）具有特征值λ对于Γ-等变系统是Γ-不变量。

证明。
让 S公司λ 是的特征函数集 K（K） 具有特征值 λ⁠.让 ϕ∈S公司λ⁠.然后,使用的交换性 K（K） 和 Γρ⁠,我们可以证明 ∀γρ∈Γρ⁠,
(23)
因此,ϕγ,ρ∈S公司λ⁠,哪里 ϕγ,ρ 也是具有特征值的特征函数 λ 定义为 ϕγ,ρ(x个)=γρ°ϕ(x个)⁠.

我们现在考虑Koopman算子特征基的一种特殊形式，它诱导了Koopman算符作用矩阵表示的块对角结构K（K）⁠下面引用的结果对此很有用。

定理III.2
(定理3.5参考文献第十二章。 17)

让Γ是作用于向量空间的紧李群V（V）分解成同型组分V（V）=W公司1⨁⋯⨁W公司t吨⁠.让一:V（V）→V（V）是与交换的线性映射Γ⁠.然后，一(W公司k个)⊂W公司k个⁠.

这个结果适用于有限对称群。同型组分F类关于Γ推导了Koopman算子矩阵表示的块对角结构。自K（K）和Γ通勤，K（K）(F类k个)⊂F类k个⁠此块结构可用于查找Koopman算子近似值，如第。四、因此，我们需要能够从任意函数字典中获得一个同型组件基。这是一个定义明确的程序，11概述如下。通过等型分解获得的函数有助于在许多物理领域进行计算，例如，它们可以简化薛定谔方程的近似解的查找，或在研究晶体学点群时。11,42该结构还广泛应用于动力系统，例如，利用等变分岔理论研究状态及其稳定性。

假设我们从任意基函数字典开始D类ψ={ψ我}⁠这些函数中的每一个都可以在具有至少一个非零系数的同型成分基础上展开α米n个第页⁠,

(24)

在这里，ξ米n个第页是中的基函数第页的th等型组分F类关于对称群的作用Γ⁠、和d日第页是同型成分的尺寸。或者，它可以被认为是所有不等价（非同构）不可约表示的和Γ⁠，其中ξ米n个第页转换为(米,n个)的第个元素第页的第个不可约表示Γ⁠.11我们定义了一个投影算子，并形成了一个由函数组成的新函数基{ξ米n个第页}如下所述。

投影操作符定义为

(25)

在这里，[R（右）第页(γ)]米n个表示中的元素n个第行和米的第列我的第h酉不可约表示γ∈Γ⁠、和γρ是组操作。我们可以形成正交基D类ξ={ξ我}使用投影操作符，如下所示：

(26)

在这里，c（c）n个第页=⟨P（P）n个n个第页ψ,P（P）n个n个第页ψ⟩1/2⁠，其中⟨,⟩表示内积，出于我们的目的，可以省略内积，因为基函数的缩放不会影响EDMD结果（即近似矩阵K（K）⁠及其特征值和特征向量）。同样，总体因素d日第页|Γ|等式中投影算子的。(27)只影响基函数的缩放，因此可以消除。

等价地，由于不可约表示的特征的正交关系，可以使用以下表达式获得投影算子：

(27)

在这里，χ第页(γ)是的字符第页的第个不可约表示Γ⁠如果使用这个公式，则度的每个不可约表示d日第页提供基本功能，以及d日第页2−1其他基函数可以使用Gram-Schmidt正交化过程形成。11,33,42

一旦获得了一个等型分量基，Koopman算子在函数空间上的作用就可以以块对角矩阵的形式表示d日第页在这种情况下，对应于一个数字d日第页属于d日第页×d日第页该矩阵中的大小块K（K）⁠类似分析适用于Koopman算子近似K（K）⁠。此附加分解有效的原因可以在中找到附录A.

在本节中，我们展示了K（K）使用EDMD获得的可简化为块对角结构，类似于K（K）在数据的某些假设下。我们提供了一些从给定的函数字典构造同型组件基的示例。我们强调，基础取决于Γ及其行动的定义Γρ⁠.

首先，我们建立了Koopman算子近似K（K）与行动相抵γρ属于Γ如果计算中使用的数据尊重对称性，即数据点对集满足条件，

(28)

换句话说，在底层动力系统对称群的作用下，轨迹集是闭合的。通过对对称组进行平均，可以实现轨迹的这一条件，这在与其他数据驱动方法相关的文献中已被使用，例如，适当的正交分解。2我们注意到，此要求有时可以放宽，如中所述附录C.

为了进行进一步的简化，我们选择了一个特定顺序的群元素{γ1,…,γ|Γ|}并创建向量Ψx个（类似地Ψ年⁠)根据那个命令，

(29)

给定群元素的顺序，我们还可以构造群的置换表示，以便

(30)

根据凯利定理，这样的置换形成了一个同构于Γ⁠.确定行动P（P）γk个群生成器的作用足以找出所有群元素的作用。让P（P）γk个=P（P）γk个⊗我n个×n个⁠。我们注意到(P（P）γk个)∗=(P（P）γk个)−1⁠可以看出

(31)

根据定义，一=Ψx个∗Ψ年⁠我们注意到，对于满足等式。(28),

(32)

因此，

(33)

因此，一和G公司（出于类似的原因）通过对称群的作用进行交换。

如果G公司是可逆的，并且G公司与…通勤γρ⁠,G公司−1与…通勤γρ也。然后，

(34)

如果G公司是不可逆的，交换性结果仍然成立G公司+⁠.G公司是正规矩阵，因为它满足G公司G公司∗=G公司∗G公司⁠.英寸附录B，我们证明如果G公司是正常的，G公司G公司+=G公司+G公司⁠，所以G公司与它的Moore-Penrose伪逆进行交换，因此K（K）和Γ通勤。

自K（K）以…的行动通勤Γ⁠,K（K）F类我⊂F类我⁠。这表明K（K）可以采用与K（K）⁠.

假设我们从一本可观察的字典开始。因为该字典不一定是对应于Γ及其作用，以便获得块对角矩阵K（K）⁠，需要使用第。三。在下面的示例中，我们明确显示了如何将此转换为同型组分基。

为了使基础忠实地表示系统的对称性，我们要求

  • 字典在系统对称性的作用下关闭，
    (35)
  • 在原始功能基础的同型成分分解后，会出现每个同型成分，
    (36)

例如，对D类三等变系统不满足第二个要求。

如果满足这些要求，基准的改变不会影响通过应用EDMD算法获得的结果，如附录D此外，我们注意到K（K）通常不具有与的特征值相同的简并性质K（K）⁠，但在轨迹重建中保持了底层动力系统的对称性。

示例IV.1

为单个Duffing振子构造一个同型分量基。

我们从一个系统开始Z2示例II.1中描述的对称性。假设选择多项式基来形成基函数。例如, D类第页o个我年={1,x个1,x个2,x个12,x个22,x个1x个2,…}⁠。每个字典项都可以写为第页米n个(x个1,x个2)≡x个1米x个2n个⁠.对于偶数米+n个, 第页米n个∈F类t吨第页,对于奇数米+n个, 第页米n个∈F类秒t吨,哪里F类t吨第页和F类秒t吨是对应于的平凡和标准不可约表示的同型组分Z2,如示例II.1所述。因此,使用D类第页o个我年生成稀疏矩阵K（K）,和K（K）是对基函数重新排序后的块对角线。

字典函数集的另一种可能选择是径向基函数集。这类函数用于在参考文献中找到库普曼算子的EDMD近似。48 . 我们使用初始字典D类ψ属于n个无网格径向基函数。径向基函数中心可以通过数据的k均值聚类或从预定分布中采样来获得。作为一个例子,我们选择了一种特定的形式ψ(c（c）,x个)=第页c（c）日志⁡(第页c（c）),哪里c（c）是一个2-维径向基函数中心,和第页c（c）,x个≡||x个−c（c）||1/2⁠.

在这种情况下，单个基函数通常不属于单个同型组分。我们使用等式。(25)通过获取字典对对应于不可约表示的等型成分的投影来构造等型成分基Z2,它们是示例II.1中定义的琐碎和标准表示。投射到平凡的同型组分上会导致
(37)
类似地,投影到标准同种型组分上会导致
(38)
我们通过表示简化了符号ψ我+≡ψ(c（c）我,x个)⁠为了满足等式。(35)，每个ψ我+,基础还应包括ψ我−≡ψ(−c（c）我,x个)⁠.忽略不相关的乘法因子,
(39)
对于中的函数D类ξ顺序如等式。(39)，近似矩阵K（K）是块对角线。
示例IV.2

从给定基出发，构造Duffing振子网络的等型分量基。

我们还考虑了一个更复杂的情况，即具有相同耦合的Duffing振荡器系统，如图1（a）.在这种情况下,系统具有Z2×D类三对称性。假设我们想从给定的函数字典构造一个同构组件基D类⁠例如，我们使用初始字典D类ψ属于n个无网格径向基函数。与示例IV.1类似，每个函数都可以以一种形式表示ψ(c（c）,x个)=第页c（c）日志⁡(第页c（c）),哪里c（c）是一个6-尺寸径向基函数中心,和第页c（c）,x个=||x个−c（c）||1/2⁠为了保持系统的对称性,我们需要有对应于每个基函数的字典元素γρ∈Γρ⁠.由于这些功能的形式, γρ°ψ(c（c）,x个)=ψ(γρ−1c（c）,x个)⁠.

自Γ=Z2×D类三是两组的直接产物,我们可以用以下形式编写投影运算符:
(40)
在这里, R（右）第页(γ我)表示第页的第个不可约表示γ我∈Z2⁠类似地, R（右）q个(γj个)表示q个的第个不可约表示γj个∈D类三⁠.组元素的特定动作γ我（f）我我第页和γj个第页e（电子）第页米由上标标记。

对称组Z2有2度1不可约表示，在示例II.1中讨论：

  • 琐碎的表现

  • 标志表示法

对称组D类三有2度1和1度2它的不可约表示,由定义

  • 琐碎的表现R（右）t吨第页⁠:R（右）t吨第页(第页)=1, R（右）t吨第页(κ)=1;

  • 标志表示法R（右）秒我克n个⁠:R（右）秒我克n个(第页)=1, R（右）秒我克n个(κ)=−1;

  • 标准表示法R（右）秒t吨⁠:R（右）秒t吨(第页)=ω00ω2, R（右）秒t吨(κ)=0110⁠.在这里, ω=e（电子）2π我/三⁠.

注意尺寸d日我的不可约表示Γ满足∑d日我2=|Γ| (如果Γ=D类三, |Γ|=6⁠). 因此,从任意集合中获得的同型分量基函数的个数{γ°ψ我}γ∈D类三等于组元素的数量,所以尺寸是一致的。

假设我们在D类ψ,
(41)
其中第一个索引对应于作用于ψ1,我由j个第个的元素Γρ⁠.使用公式。(40)，我们得到了转换矩阵，我们可以用它来获得同构成分基,
(42)
然后，可以通过修改D类ψ,
(43)
矩阵T型Z2⊗T型D类三是一个12×12矩阵,其维数等于潜在对称群的大小Z2×D类三⁠.矩阵我n个×n个确保原始字典的每个元素都映射到新的isotype组件字典的元素。

如果我们使用Ξ作为基础,我们获得K（K）分解成8阻碍,每个对应于的不可约表示Z2×D类三⁠.

我们实现了EDMD算法，以获得K（K）⁠.在这里,数据来自500初始长度轨迹10然后对其进行反射和旋转，以使数据符合对称性。的参数值α=1, β=−1, δ=0.5,和η=1使用了。我们绘制近似矩阵K（K）在里面图2在这种情况下,一本关于120采用径向基函数。图2（a）说明了Koopman算子近似矩阵K（K）使用初始字典计算D类ψ并要求对完整的120×120矩阵。图2（b）显示K（K）从对称性自适应基函数中获得。由于只需要对块执行矩阵运算，因此计算顺序可以大大降低。K（K）在对称适应基中计算有四个10×10和两个20×20独特的块。
图2。
图2。不同字典函数选择的K的结构：（a）可观察性的标准字典的K。（b） K表示适用于对称的观测值字典。
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的结构K（K）对于不同的字典功能选择：（a）K（K）用于标准的观测值字典。（b）K（K）用于对称调整的可观测性词典。

图2。
图2。不同字典功能选择的K结构：（a）K表示标准的可观测字典。（b） K表示适用于对称的观测值字典。
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的结构K（K）对于不同的字典功能选择：（a）K（K）用于标准的观测值字典。（b）K（K）用于对称调整的可观测性词典。

关闭模态

如上面的例子所示，我们可以构造一个对库普曼算子矩阵近似进行块对角化的基K（K）从任意基础的元素。因为矩阵的块外对角元素是先验的已知为零，我们不需要显式计算这些元素。这表明，对于具有对称性的系统，对同型分解块执行EDMD算法更有效。我们表示共轭类或不可约表示的数目Γ通过第页Γ⁠在这种情况下，而不是执行哦((米第页Γ)α)矩阵求逆、乘法和特征分解的操作，对每个第页Γ块，操作为哦(米α)⁠.给，2<α<三⁠如参考文献。21。尽管算法复杂度仅因一个因素不同而不同，该因素随给定系统固定的组大小而变化，但实际上，当EDMD特定于Γ-使用等变系统。我们还注意到，每个d日第页维不可约表示贡献d日第页“相等”块，每个尺寸d日第页×d日第页⁠，至K（K）符号⁠，这进一步简化了计算。此外，在高维网络的情况下，它允许对同型组件块进行并行特征分解计算。表一总结了改进的EDMD算法Γ-等变系统，并强调计算顺序可以降低。

表I。

Γ-等变系统的EDMD与修正EDMD|Γ|是Γ的阶。Γ的不可约表示由第页和是d日第页-维度。

标准EDMDΓ-等变系统的EDMD

  • 选择字典N个可观测的

  • 评估数据点的观察结果x个我和年我

  • 评估的条目G公司,一:N个2元素

  • 获取G公司+:N个 × N个矩阵

  • 查找K（K） = G公司+ 一:N个 × N个矩阵

  • 求的特征分解K（K）:N个 × N个矩阵

 

  • 选择字典N个可观测的

  • 识别系统的对称Γ，找到Γ的不可约表示

  • 使用等式将基更改为Γ-对称基。(27)和(26)：最多乘法N个/|向量Γ×1的Γ×Γ矩阵；让N个第页是应用投影算子得到的函数数P（P）第页对应于第页Γ（例如。，N个第页 = N个/|Γ|对于循环群）

  • 评估数据点的可观测性x个我和年我

  • 获取块K（K）pq值属于K（K）（每个同型组分对应于d日第页块），每个第页:

    • –

      评估的条目G公司第页1,一第页1: (N个第页/d日第页)2元素

    • –

      获取G公司第页1+⁠: (N个第页/d日第页) × (N个第页/d日第页)矩阵

    • –

      查找K（K）第页1=G公司第页1+一第页1⁠: (N个第页/d日第页) × (N个第页/d日第页)矩阵

    • –

      求的特征分解K（K）第页1: (N个第页/d日第页) × (N个第页/d日第页)矩阵

    • –

      其他的K（K）pq值块等于K（K）第页1

  • K（K）=⨁第页⨁q个=1d日第页K（K）第页q个⁠; 其特征值是K（K）第页，其特征向量只有N个第页非零元素；数学上，特征向量v（v）肯尼亚属于K（K）都是这样的(v（v）k个我)我=⨁第页δ第页k个v（v）第页我

 
标准EDMDΓ-等变系统的EDMD

  • 选择字典N个可观测的

  • 评估数据点的观察结果x个我和年我

  • 评估的条目G公司,一:N个2元素

  • 获取G公司+:N个 × N个矩阵

  • 查找K（K） = G公司+ 一:N个 × N个矩阵

  • 求的特征分解K（K）:N个 × N个矩阵

 

  • 选择字典N个可观测的

  • 识别系统的对称Γ，找到Γ的不可约表示

  • 使用等式将基改变为Γ-对称基。(27)和(26)：最多乘法N个/|向量Γ×1的Γ×Γ矩阵；让N个第页是应用投影算子得到的函数数P（P）第页对应于第页Γ（例如。，N个第页 = N个/|Γ|对于循环群）

  • 评估数据点的观察结果x个我和年我

  • 获取块K（K）pq值属于K（K）（每个同型组分对应于d日第页块），每个第页:

    • –

      评估的条目G公司第页1,一第页1: (N个第页/d日第页)2元素

    • –

      获取G公司第页1+⁠: (N个第页/d日第页) × (N个第页/d日第页)矩阵

    • –

      查找K（K）第页1=G公司第页1+一第页1⁠: (N个第页/d日第页) × (N个第页/d日第页)矩阵

    • –

      求的特征分解K（K）第页1: (N个第页/d日第页) × (N个第页/d日第页)矩阵

    • –

      其他的K（K）pq值块等于K（K）第页1

  • K（K）=⨁第页⨁q个=1d日第页K（K）第页q个⁠; 其特征值是K（K）第页，其特征向量只有N个第页非零元素；数学上，特征向量v（v）肯尼亚属于K（K）都是这样的(v（v）k个我)我=⨁第页δ第页k个v（v）第页我

 
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Koopman本征函数和本征模在降维、寻找吸引域、表征振荡系统之间的相干等方面有许多应用。块对角化K（K）允许高效计算Koopman特征值、特征函数和模式。

内核DMD与EDMD算法密切相关。它依赖于计算与K（K）从对偶矩阵K（K）^使用机器学习中常用的内核技巧进行评估。49当基函数的数量超过系统状态的可用测量数量时，这种方法在计算上是有利的。我们发现核DMD也可以修改为包括对称性考虑，以便优化计算。该方法在中提供附录E.

假设数据是对称的，如等式。(28)关于对称群Γ⁠“完美”的基础是关于Γ⁠假设基函数属于Σ≠Γ⁠。该选择将影响K（K）⁠。我们通过评估一自从K（K）和G公司+具有与相同的结构一⁠.

如果系统是Γ-等变，Σ⊂Γ⁠，以及的操作集Σ是的操作子集Γ⁠，系统也是Σ-等变的。因此，选择一个关于Σ将具有对应于Σ⁠这意味着基础的选择导致块对角线K（K）⁠，但其结构并未提供有关系统对称性的任何附加信息。

如果系统是Γ-等变和Γ⊂Σ⁠，属于特定同型组分的函数Σ不通过K（K）⁠在对称轨迹的情况下，这可以提供系统真实对称性的信息。

一个简单的例子对应于Σ=Σ0×Γ⁠在这种情况下Σ0通勤的每一个行动Γ⁠.每种同型成分F类关于Σ可以表示为F类第页q个=F类Σ0第页∩(F类Γ)q个⁠，其中F类Σ0第页表示第页第th个同种型成分Σ0⁠在这种情况下，对应于同型组分之间相互作用的非对角块F类第页1q个1和F类第页2q个2为零，如果q个1=q个2⁠，否则通常为非零。例如，如果一个由三个Duffing振荡器组成的网络类似于示例IV.2中讨论的那些振荡器，但没有置换对称性，并且Σ=Z2×D类三⁠，通过的动作Z2作为节点动力学中的符号翻转，与之对应的同型分量Z2对称性不会相互作用，导致K（K）⁠.

接下来，我们考虑一个更一般的情况。我们表示第页的th等型组分F类关于对称群Σ通过F类Σ第页⁠。我们注意到，如果以下条件成立：

(44)
(45)

哪里q个1和q个2索引Γ⁠，然后是非对角块K（K）与这些组件之间的交互作用相对应的通常是非零的。

的条件F类Σ第页∩F类Γq个≠∅等于

(46)

哪里（f）是一个任意函数，并且P（P）Σ第页表示投影运算符到第页关于对称群的第th个同型分量Σ⁠,

(47)

让H（H）是的“左陪集”集Γ在里面Σ（定义为H（H）=Σ/Γ={σΓ:σ∈Σ}⁠，其中σΓ={σγ:γ∈Γ}15). 因此，方程式。(46)如果全部保留小时∈H（H）⁠,

(48)

使用公式。(48)，结构Γ可以根据以下结构确定K（K）和Σ用于计算。小阶对称群具有不可约表示的特征，使用计算群论软件可以放大到更大阶。下面是二面体群的子群示例D类三⁠.

示例IV.3

耦合Duffing振荡器: (Z2×Z2)-或(Z2×Z三)-等变系统Z2×D类三基本函数。

我们考虑不同的网络耦合方案三Duffing振荡器如所示图1（b）和1（c）。我们首先注意到Z2在这两种情况下，由符号翻转产生的对称性仍然存在于系统中，因此，与该群关于该作用的不可约表示相对应的两个非交互块仍然存在。现在，我们关注的是K（K）在每个非交互块中。

弗斯特,让函数字典对称Σ=D类三=⟨第页,κ|第页三=κ2=e（电子）,κ第页κ=第页−1⟩系统的真正对称性是Γ=Z三=⟨第页|第页三=e（电子）⟩,哪里第页D类三和第页Z三采取同样的行动。同型组分分解D类三定义见示例IV.2，可以写成F类=F类t吨第页,D类三⊕F类秒我克n个,D类三⊕F类秒t吨,D类三⁠.同型组分分解Z三定义为F类=F类t吨第页,Z三⊕F类ω,Z三⊕F类ω2,Z三(⁠Z三有三1-维不可约表示χt吨第页(第页)=1, χω(第页)=ω, χω2(第页)=ω2⁠). 我们注意到

  • F类t吨第页,Z三∩F类t吨第页,D类三≠∅

  • 属于的功能F类t吨第页,Z三满足以下条件:

  • F类t吨第页,Z三={（f）:（f）(x个三,x个1,x个2)=（f）(x个1,x个2,x个三)}⁠.

  • 属于的功能F类t吨第页,D类三满足以下条件:
    F类t吨第页,D类三={（f）:（f）(x个三,x个1,x个2)=（f）(x个1,x个2,x个三),（f）(x个1,x个三,x个2)=（f）(x个1,x个2,x个三)}.

  • 因此, F类t吨第页,Z三∩F类t吨第页,D类三=F类t吨第页,D类三⁠.

  • F类t吨第页,Z三∩F类秒我克n个,D类三≠∅

  • 这可以以类似的方式显示。

  • (F类ω,Z三∪F类ω2,Z三)∩F类秒t吨,D类三=F类秒t吨,D类三

  • 属于的功能F类ω/ω2,Z三满足以下条件:

  • F类ω,Z三={（f）:（f）(x个三,x个1,x个2)=ω（f）(x个1,x个2,x个三)}⁠,

  • F类ω2,Z三={（f）:（f）(x个三,x个1,x个2)=ω2（f）(x个1,x个2,x个三)}.

  • 属于的功能F类秒t吨,D类三满足以下条件:
    F类秒t吨,D类三={（f）1,（f）2:（f）1(x个三,x个1,x个2)=ω（f）1(x个1,x个2,x个三),（f）2(x个三,x个1,x个2)=ω2（f）2(x个1,x个2,x个三),（f）1(x个1,x个三,x个2)=（f）2(x个1,x个2,x个三),（f）2(x个1,x个三,x个2)=（f）1(x个1,x个2,x个三)}.

  • 因此, (F类ω,Z三∪F类ω2,Z三)∩F类秒t吨,D类三=F类秒t吨,D类三⁠.

因此,非块对角结构K（K）由定义

  • K（K）F类t吨第页,D类三∩F类秒我克n个,D类三≠∅

  • 看看是这样,我们需要参考方程式中的条件。(44)和(45)由于两者的交叉F类t吨第页,D类三和F类秒我克n个,D类三具有F类t吨第页,Z三非零,分量的交集产生非零元素K（K）⁠.

  • K（K）F类秒我克n个,D类三∩F类t吨第页,D类三≠∅

  • 这可以以类似的方式显示。

  • 其他非对角块为零

  • 例如,因为两者的交叉点F类t吨第页,D类三和F类秒t吨,D类三没有特定的同型成分Z三同时非零, K（K）F类t吨第页,D类三∩F类秒t吨,D类三=∅和K（K）F类秒t吨,D类三∩F类t吨第页,D类三=∅,因此对应于中的零块K（K）⁠.

该结构如所示图3（b）与之不同的是图3（a）.
图3。
图3。对于系统的不同潜在对称性，具有基函数的K的结构属于∑=D3的同型分量。上面和左边的标签对应于每个区块中相互作用的同型组分。需要两个标签来索引D3（粗体）和Z2（标准字体）。（a） 如果∑=Γ=D3，则为K。（b） K，如果∑=D3，Γ=Z3。（c） K，如果∑=D3，Γ=Z2。
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的结构K（K）基函数属于Σ=D类三对于系统的不同潜在对称性。上面和左边的标签对应于每个区块中相互作用的同型组分。需要两个标签进行索引D类三（粗体）和Z2（标准字体）。（a）K（K）如果Σ=Γ=D类三⁠.（b）K（K）如果Σ=D类三⁠,Γ=Z三⁠.（c）K（K）如果Σ=D类三⁠,Γ=Z2⁠.

图3。
图3。对于系统的不同潜在对称性，具有基函数的K的结构属于∑=D3的同型分量。上面和左边的标签对应于每个区块中相互作用的同型组分。需要两个标签来索引D3（粗体）和Z2（标准字体）。（a） 如果∑=Γ=D3，则为K。（b） K，如果∑=D3，Γ=Z3。（c） K，如果∑=D3，Γ=Z2。
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的结构K（K）基函数属于Σ=D类三对于系统的不同潜在对称性。上面和左边的标签对应于每个区块中相互作用的同型组分。需要两个标签进行索引D类三（粗体）和Z2（标准字体）。（a）K（K）如果Σ=Γ=D类三⁠.（b）K（K）如果Σ=D类三⁠,Γ=Z三⁠.（c）K（K）如果Σ=D类三⁠,Γ=Z2⁠.

关闭模态

现在,让Σ=D类三和Γ=Z2⁠.在这里, Z2=⟨e（电子）,κ|κ2=e（电子）⟩,和κD类三和κZ2采取同样的行动。同型组分分解Z2定义为F类=F类t吨第页,Z2⊕F类秒我克n个,Z2⁠.

我们注意到

  • F类t吨第页,Z2∩F类t吨第页,D类三≠∅⁠,

  • F类t吨第页,Z2∩F类秒t吨,D类三≠∅⁠,

  • F类秒我克n个,Z2∩F类秒我克n个,D类三≠∅⁠,

  • F类秒我克n个,Z2∩F类秒t吨,D类三≠∅⁠.

此外,

  • F类t吨第页,Z2∩F类秒我克n个,D类三=∅⁠,

  • F类秒我克n个,Z2∩F类t吨第页,D类三=∅⁠.

因此,非块对角结构K（K）由定义:

  • K（K）F类t吨第页,D类三∩F类秒我克n个,D类三=∅⁠.

  • 与节点置换等型分量之间的相互作用相对应的其他非对角块通常为非零。

该结构如所示图3（c）与之不同的是图3（a）和3（b）.

此示例显示近似的结构K（K）假设最大对称性提供了关于系统实际潜在对称性的信息。

在这个具体的例子中，我们可以看到，任何非对角块都可以用来指示对称子群Z2或Z三存在，如中所示图3（b）和3（c）.

总之，可以从Koopman算子近似矩阵的结构中检测系统的对称性。这允许使用相同的方法从数据中检测动力学系统的对称，并获得它们的Koopman运算符近似。然而，我们也注意到有多种其他方法可以检测动力系统的对称性；例如，这项工作可能与对称侦探有关。5此外，在许多情况下，我们不期望数据中出现完美对称，如第2节所述。静脉注射因此，为了能够在更实际的环境中应用对称性考虑，了解这些缺陷如何影响结果将是很有用的。

在本文中，我们通过利用系统动力学和系统结构中存在的潜在对称性，在计算Koopman算子近似时提供了一种通用的降维方法。通过约简获得的精确标度取决于动力系统对称群的结构，特别是对称群的不可约表示的数量和这些不可约表达的维数。

本文概述的结果与大多数其他有关对称动力系统的文献类似，在非线性动力学中存在精确对称的情况下立即适用。这就是当系统是完全确定的，并且初始条件尊重系统的对称性时的情况。如果系统的对称性已知且可用的轨迹具有确定性，则始终可以通过系统的对称组重建相关的轨迹。然后，可以使用一组关于系统对称性的完整轨迹来近似Koopman算子及其特征分解。

然而，在许多系统中，由于系统中存在噪声，信息不一定提前可用，而且即使初始条件是对称的，数据中也不存在对称性。非完全对称数据的一些示例包括以下情况及其组合：

  • 具有测量噪声的确定性系统。参考文献中介绍了测量噪声系统的DMD和可能的校正方法。12。如所示附录F在这种情况下，非对角元素的期望值K（K）使用EDMD计算的结果为零，因此块分解可能仍然适用。

  • 具有对称初始条件和过程噪声的随机系统。例如，参考文献。4.

  • 由于采样和未知的潜在对称性而导致对称性不完美的系统。

  • 动力学中对称性不完美的系统（例如，轻微的参数失配）。

所有这些情况都需要单独处理，同型分量分解在计算Koopman算子近似值时是否仍然有用取决于系统中可用数据的特定特征，例如噪声强度或轨迹采样特征。

在本文中，我们应用群论和表示论的工具来研究等变动力系统的Koopman算子的结构。这种方法可以应用于具有置换对称性的系统（例如，节点置换下对称的网络，其中有关对称性的信息包含在邻接矩阵中）、具有内在动态对称性的体系以及同时存在这两种对称性的系统。我们发现，算子本身及其近似值可以使用对称基进行块对角化，该对称基尊重与基本对称群及其元素的作用相关的同型分量结构。为了使近似矩阵精确为块对角线，数据必须尊重系统的对称性。如果提前知道了潜在的对称性（例如，网络的拓扑结构是已知的），那么这很容易实现。对称性考虑既适用于EDMD，也适用于内核DMD，这意味着当观测值的数量远大于测量值的数量时，它们在这两种情况下都很有用，反之亦然。

向前看，有可能扩大这些结果。例如，下一步自然是更详细地研究噪声和不完美对称对等变或近等变动力系统的Koopman算子近似的影响。在EDMD的适用范围之外应用对称性考虑也很有用。在这种情况下，对称性考虑可以用于研究，例如，具有连续Koopman谱的系统。其他未来的方向包括将我们的结果与关于等变分歧理论、稳定性分析和连续对称性的现有文献联系起来。

这项工作得到了美国陆军研究实验室和美国陆军研究办公室的支持，MURI奖编号为W911NF-13-1-0340。作者感谢乔丹·斯奈德、梅赫兰·梅斯巴希、阿夫申·梅斯巴希和整个MURI团队的有益讨论。

我们展示了这一点d日-的维数不可约表示Γ产生相同的块K（K）在使用的幺正不可约表示获得的等型分量基中Γ⁠.

让函数空间根据对称群的作用分解为等型分量Γ订单的|Γ|⁠,γρ∈Γρ⁠:F类=F类1⊕⋯⊕F类N个⁠，其中N个是的不可约表示数Γ⁠.让F类第页是这些具有相应的元素酉不可约表示的同型分量之一R（右）第页(γ)对应于γ∈Γ⁠，并让d日第页就是那个表示的维度。

投影操作符定义为

（A1）

它作用于（f）∈F类根据

（A2）

我们已经知道了K（K）ξ米n个第页=小时第页⁠，其中小时第页∈F类第页⁠.子空间F类第页可以分解为d日第页组件F类第页=F类第页,1⊕⋯⊕F类第页,d日第页⁠，其中F类第页,米={克|克=P（P）米n个第页°（f）,（f）∈F类,n个=1,…,d日第页}⁠这是一个定义明确的分解，因为⟨P（P）米n个第页（f）,P（P）k个我第页小时⟩=⟨（f）,P（P）n个米第页P（P）k个我第页小时⟩=⟨（f）,δ米k个P（P）n个我第页小时⟩11仅当米=k个⁠.

我们想证明这一点K（K）ξ米n个第页∈F类第页,米（对于任何与对称群的作用进行交换的线性算子也是如此）。由于操作员与团队的行动一起通勤，

（A3）

在这里，K（K）°（f）≡小时⁠.

让（f）Γ={γ°（f）|γ∈Γ}⁠.任何一组跨越（f）Γ可以转换为一个对称的基础，通过计算所有的投影P（P）米n个第页°（f）γ⁠，其中（f）γ∈（f）Γ⁠这对应于Koopman算子的块对角形式。

我们已经证明了这一点K（K）⁠，的近似值K（K）⁠，也可以通过Γ对于Γ-等变动力系统Γ-等变数据。因此，我们可以获得块对角化的可观察字典K（K）进入之内|Γ|块，其中每个d日第页-维不可约表示导致d日第页 d日第页×d日第页-尺寸块。

此外，假设K（K）P（P）米n个第页°（f）=小时⁠，然后K（K）P（P）k个n个第页°（f）=P（P）k个米第页K（K）P（P）米n个第页°（f）=P（P）k个米第页°小时⁠。这给出了中块之间的关系K（K）对应于同一不可约表示第页⁠.在近似情况下K（K）⁠，这意味着我们明白了K（K）第页,我（对应于ψ∈F类第页,我⁠)人人平等我（用于有关系统对称性和基函数正确排序的数据）。

我们展示了这一点G公司和G公司+(⁠+表示Moore-Penrose伪逆）通勤。我们注意到G公司是埃尔米特矩阵，因为

（B1）

因此，G公司也是正常的，即。，G公司G公司∗=G公司∗G公司⁠。我们证明如果G公司是正常的，G公司G公司+=G公司+G公司⁠.

定义Moore-Penrose伪逆的两个标准35声明G公司+=G公司+G公司G公司+和(G公司G公司+)∗=G公司G公司+⁠因此，以下关系成立：G公司+=G公司+(G公司G公司+)∗=G公司+(G公司+)∗G公司∗⁠.使用该关系6和的交换性+和∗操作，我们获得

（B2）

自从γ与…通勤一和G公司⁠，自G公司与…通勤G公司+⁠，的动作γ与…通勤K（K）=G公司+一⁠，这是Koopman运算符近似值。

我们注意到近似矩阵的非对角块K（K）如果数据中存在对称性，则仅为零。可以显式地将非对角元素设置为零，从而提高计算效率。

此外，如果对称性已知先验的，完全对称的数据集不一定要获得对角线块元素的近似值K（K）⁠假设我们有一个关于全对称群作用的属于特定同型分量的基函数字典Γ⁠。我们将该组件标记为第页⁠，以及相应的酉不可约表示R（右）第页(γ)⁠。然后我们定义R（右）第页′(γ)≡R（右）第页(γ)⊗我n个×n个⁠，其中n个是中的函数数第页th同型组分。根据同型组分的定义，即使对于非对称数据，情况也是如此

（C1）

如果R（右）(γ)是对角矩阵，

（C2）

在一维不可约表示的情况下，不需要使用反射数据来生成K（K）⁠例如，如示例IV.2所示，其中D类三⁠,κ⁠，对应于非对角矩阵R（右）(κ)⁠在这种情况下，

（C3）

这表明该方法具有数据效率，并对数据的对称性提出了要求。

我们证明旋转可观测字典可以保持重建轨迹的对称性。

假设我们有一个由字典函数组成的基D类ψ和一本字典D类ξ通过以下方式获得Ξ=T型Ψ⁠.让Ψ(t吨)≡(ψ1(x个(t吨))ψN个(x个(t吨)))T型和Ξ(t吨)≡(ξ1(x个(t吨))ξN个(x个(t吨)))T型⁠我们证明了通过投影矩阵旋转字典函数向量T型不影响轨迹重建，

（D1）

接下来，我们证明了状态重构保持了系统的对称性。让P（P）是对称群对基函数的作用Ψ⁠。我们旨在证明，如果Ψt吨+1=K（K）Ψt吨⁠，然后P（P）Ψt吨+1=K（K）P（P）Ψt吨⁠。这直接源于以下事实K（K）和P（P）通勤，

（D2）

因此，使用EDMD近似重构的基函数的轨迹为Γ-等变，就像原始系统一样。特别是，在可观测的全状态演化的情况下，这是正确的。

参考文献中引入的内核DMD。49是当测量点数量远小于基函数数量时，最有效的近似Koopman算子矩阵的变体。内核DMD依赖于评估G公司^和一^使用内核方法。通过间接评估基函数空间中的内积可以找到它们的元素：k个(x个米,年n个)=Ψ(x个米)Ψ(年n个)∗[例如，如果k个是多项式核，k个(x个,年)=(1+x个年T型)α]. 我们注意到k个(γx个,γ年)=k个(x个,年)由于内部产品的特性。

在内核DMD中，G公司^我j个=k个(x个我,x个j个)和一^我j个=k个(x个我,年j个)⁠.特征分解G公司^=问Σ2问T型然后用于查找矩阵K（K）^并将其用于计算Koopman算子近似矩阵的特征分解K（K）⁠,

（E1）

再次，我们选择了与等式类似的特定顺序的组元素。(29),

（E2）

我们还构造了群的置换表示，其元素表示为P（P）γ我如等式中所定义。(30).

根据凯利定理，这样的置换形成了一个同构于Γ⁠.确定行动P（P）γ我群生成器的作用足以找出所有群元素的作用。让P（P）γk个=P（P）γk个⊗我n个×n个⁠。我们注意到(P（P）γk个)∗=(P（P）γk个)−1⁠可以看出

（E3）

我们这样做是为了一^⁠，以及的证据G公司^是等效的。我们发现了

（E4）

最后，k个(x个第页,年我)=k个(γ我x个k个,γ我年q个)=k个(x个k个,年q个)⁠.

自关系(31)保持不变，同样的推理可以应用于矩阵的块对角化K（K）^⁠。应用投影运算符就足够了42 

（E5）

这个投影算子类似于等式。(25)，除了对称群在这种情况下通过排列群元素来起作用。

我们可以应用奇异值分解P（P）获得不可约表示（等型分量）的投影子空间的基础。我们形成转换矩阵T型通过找到奇异值分解（SVD）并将其特征向量堆叠为T型这样的话T型=T型⊗我n个×n个⁠.

与EDMD类似，等式成分基础简化了近似值的计算K（K）^⁠,

（E6）

修改总结如下表二.

表二。

Γ-等变系统的核DMD与修正核DMD|Γ|是Γ的阶。Γ的不可约表示由第页和是d日第页-维度。在这里，M（M）是算法使用的数据点数量{(x个米,年米)}尊重系统的对称性。

标准内核DMDΓ-等变系统的核DMD

  • 选择字典N个可观测的

  • 在数据点评估内核函数x个我和年我

  • 评估的条目G公司^,一^⁠:M（M）2元素

  • 获取G公司^+⁠:M（M） × M（M）矩阵

  • 查找K（K）^=(Σ+问T型)一^(问Σ+)⁠:M（M） × M（M）矩阵

  • 求的特征分解K（K）^⁠:M（M） × M（M）矩阵

 

  • 选择字典N个可观测的

  • 识别系统的对称Γ并找到Γ的不可约表示

  • 使用等式将基更改为Γ-对称基。(30)和（E5）

  • 评估数据点的观察结果x个我和年我，如有必要，添加轨迹以反映对称性

  • 获取块K（K）^第页q个属于K（K）^（每个同型组分对应于d日第页块），每个第页:

    • –

      评估的条目G公司^第页1,一^第页1⁠: (M（M）第页/d日第页)2元素

    • –

      获取G公司^第页1+⁠: (M（M）第页/d日第页) × (M（M）第页/d日第页)矩阵

    • –

      查找K（K）^第页1=G公司^第页1+一^第页1⁠: (M（M）第页/d日第页) × (M（M）第页/d日第页)矩阵

    • –

      求的特征分解K（K）^第页1⁠: (M（M）第页/d日第页) ×(M（M）第页/d日第页)矩阵

    • –

      其他的K（K）^第页q个块等于K（K）^第页1

  • K（K）^=⨁第页⨁q个=1d日第页K（K）^第页q个⁠; 其特征值是K（K）^第页⁠，其特征向量只有M（M）第页非零元素；数学上，特征向量v（v）肯尼亚属于K（K）都是这样的(v（v）k个我)我=⨁第页δ第页k个v（v）第页我

 
标准内核DMDΓ-等变系统的核DMD

  • 选择字典N个可观测的

  • 在数据点评估内核函数x个我和年我

  • 评估的条目G公司^,一^⁠:M（M）2元素

  • 获取G公司^+⁠:M（M） × M（M）矩阵

  • 查找K（K）^=(Σ+问T型)一^(问Σ+)⁠:M（M） × M（M）矩阵

  • 求的特征分解K（K）^⁠:M（M） × M（M）矩阵

 

  • 选择的词典N个可观测的

  • 识别系统的对称Γ并找到Γ的不可约表示

  • 使用等式将基更改为Γ-对称基。(30)和（E5）

  • 评估数据点的观察结果x个我和年我，如有必要，添加轨迹以反映对称性

  • 获取块K（K）^第页q个属于K（K）^（每个同型组分对应于d日第页块），每个第页:

    • –

      评估的条目G公司^第页1,一^第页1⁠: (M（M）第页/d日第页)2元素

    • –

      获取G公司^第页1+⁠: (M（M）第页/d日第页) × (M（M）第页/d日第页)矩阵

    • –

      查找K（K）^第页1=G公司^第页1+一^第页1⁠: (M（M）第页/d日第页) × (M（M）第页/d日第页)矩阵

    • –

      求的本征分解K（K）^第页1⁠: (M（M）第页/d日第页) ×(M（M）第页/d日第页)矩阵

    • –

      其他的K（K）^第页q个块等于K（K）^第页1

  • K（K）^=⨁第页⨁q个=1d日第页K（K）^第页q个⁠; 其特征值是K（K）^第页⁠，其特征向量只有M（M）第页非零元素；数学上，特征向量v（v）肯尼亚属于K（K）是形式(v（v）k个我)我=⨁第页δ第页k个v（v）第页我

 
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最后，Koopman本征值、本征函数和本征模式的近似值可以使用K（K）D类⁠，如参考。49.

参考文献。40参考文献中讨论了DMD中传感器噪声影响的表征和校正。12。我们需要将结果扩展到EDMD，以量化传感器噪声对矩阵结构的影响K（K）⁠需要进行的主要修改是考虑测量中噪声的影响X（X）和Y（Y）在Ψx个和Ψ年⁠.

让X（X）和Y（Y）是类似于的矩阵Ψx个和Ψ年对应于在离散时间步长评估的全状态观测值。我们将传感器噪声矩阵表示为N个x个和N个年⁠，以便测量X（X）n个和Y（Y）n个可以从中找到X（X）n个=X（X）+N个x个和Y（Y）n个=Y（Y）+N个年⁠。我们假设噪声分布尊重系统的对称性，例如对称网络可能就是这种情况。此外，我们假设噪声是状态相关的。

我们可以形成矢量Ψx个n个和Ψ年n个可以用来找到近似值K（K）使用EDMD，

（一层）

在这里，(Ψx个n个)我j个=ψj个((X（X）n个)我)⁠,(Ψ年n个)我j个=ψj个((Y（Y）n个)我)⁠、和N个Ψ,x个和N个Ψ,年对应于获得的噪声矩阵

（二层）

我们的目标是证明这一点E类(P（P）K（K）n个)=E类(K（K）n个P（P）)⁠，表示Koopman运算符的预期值K（K）n个与对应于对称群元素的置换矩阵进行交换。如果是这样，则块外对角元素的预期值K（K）n个在公式。(27)为零。为此，我们可以表示K（K）n个作为

（F3）

如果第一项的逆项存在，则可以将其展开为在弱噪声极限下具有以下形式的项的泰勒级数。我们需要证明这一点

（四层）
（F5）

这里是矩阵M（M）我从中选择N个Ψ,x个/年和Ψx个/年⁠。它直接来自

（六楼）

因此K（K）n个在同型成分基础上为零。

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©2019作者。除非另有说明，否则所有文章内容均根据知识共享署名（CC BY）许可证进行许可(http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/).
2019
作者