这个小星状十二面体由12个五角星或五角星，每个顶点有5个五角星。它是四个非凸多面体之一，面为正多边形或星形，称为开普勒–Poinsot多面体.
开普勒研究了小星状十二面体。它出现在他的和谐蒙迪1619年出版。然而，它也可以在威尼斯圣马克大教堂的地面马赛克中找到，似乎是由保罗·乌切洛早在1430年。
威尼斯圣马克大教堂地面马赛克——保罗·乌切洛
后来埃舍尔在他的两幅版画中使用了它：Constrast：秩序与混乱和引力.
小型星状十二面体和其他开普勒-蓬索特固体对早期地形学家提出了挑战。如果我们将小的星状十二面体视为有12个五面体，每条边上有两个面，那么它应该有（12乘以5/2=30）个边。由于它也有12个顶点，其Euler特征应该是
$$\chi\，=\，V–E+F，=\、12–30+12，=\；–6 $$
由于表面的属（g）与其欧拉特征有关，因此小星状十二面体应该有属（4）！Poinsot首先注意到了这一点，它引起了人们对欧拉公式（V–E+F=2\）有效性的一些困惑，我们现在意识到它只适用于凸多面体。
然而，事实上，我们可以将小的星状十二面体视为从亏格4的表面\（\西格玛\）到三维空间的连续映射的图像。这张地图在每个五角星的中心都有2级的分支点，在图片中隐藏起来了！
事实上，如果我们认为星状十二面体定义了球体的分支覆盖层，那么这个分支覆盖层就变成了黎曼曲面。二十面体的方向保持对称性显然充当了这个黎曼曲面的保角变换。因此，它至少具有交替群{A} _5个\)对称性。
这是克莱因在1877年观察到的：
•Felix Klein、Weitere Untersuchungenüber das Ikosaeder、，数学。安纳伦 12(1877), 321–384.
黎曼曲面（Sigma）可以由12个五边形平铺，每个角5个相交。这些对应于小星形十二面体的12个五角形。由于这种平铺，\（\Sigma \）也可以被认为是双曲线平面\（\mathbb{H}^2）由作为等距线的离散群\（\Gamma\）执行。该组通过规则双曲五边形保留双曲线平面的平铺，每个角5个相交：
{5,5}瓷砖–Jeff Weeks
这种双曲线平面的平铺称为{5,5}瓷砖.
小星状十二面体是从黎曼曲面（Sigma）到（mathbb{R}^3）的某个映射的图像。但这个曲面也可以以不同的方式映射到\（\mathbb{R}^3），从而得到另一个开普勒-蓬索特多面体，即大十二面体:
伟大的十二面体–Robert Webb的Stella软件
这并不奇怪，因为大十二面体有12个五边形面，每个顶点有5个面。然而，最终的解释是，大十二面体是二重的在小的星形十二面体中，一个面的顶点位于另一个面的中心，而{5,5}瓷砖是它自己的对偶！
有关大十二面体的更多信息，请参阅此帖子，其中解释了它与异常对称代码的联系：
•Golay代码.
黎曼曲面（Sigma）与五次方程也有着有趣的联系。黎曼曲面也称为“复曲线”，因为其上的点可以用单个复数局部描述。Klein表明，（Sigma）与这些齐次方程所描述的复杂曲线同构：
$$\sum_{i=1}^5 z_i=0，\qquad\sum_{i=1}^5 z_i^2=0，\ qquad_sum_}i=1}^5 z_ i^3=0$$
这三个方程在五个复变量中选取了一组复维2，但当我们“投影化”，识别出相差一个复倍数的解时，我们得到了嵌入在投影空间（mathbb{C}\mathrm{P}^4）中的复曲线。
这称为Bring曲线，并且它是著名的，因为它具有亏格4的任何复曲线（或黎曼曲面）中最大可能的对称群。事实上，这个群体不仅仅是{A} _5个\)但对称群{S} _5个\).
我们可以看到\（\mathrm{S} _5个\)通过将Bring曲面与五次方程关联，起到对称的作用。考虑形式的五次方
$$Q（z）=（z-z_1）\cdots（z–z_5）$$
如果这三个方程
$$\sum_{i=1}^5 z_i=0，\qquad\sum_{i=1}^5 z_i^2=0，\ qquad_sum_}i=1}^5 z_ i^3=0$$
hold，然后\（Q \）采用特殊形式
$$Q（z）=z^5+pz+Q$$
相反，如果（Q）采用这种特殊形式，则其根（z_1，dots，z_5）服从所列的三个方程。因此，布林曲线是一组有序的5元组（（z_1，dots，z_5））、模标量因子，它们是形式为（z^5+pz+q）的某些五次曲线的根。
有关这些主题的更多信息，请参阅：
•马蒂亚斯·韦伯，开普勒小星状十二面体作为黎曼曲面,太平洋数学杂志。 220(2005), 167–182.
摘要。我们提供了与小型星状十二面体相关联的亏格4黎曼曲面的雅可比矩阵的一个新的几何计算。从Threlfall的描述开始，我们在这个曲面上引入了其他与全纯1-形式相关的平面共形几何。它们使我们能够证明，雅可比矩阵与一条椭圆曲线的四重乘积是同根的，该椭圆曲线的晶格常数可以用两种不同的方法确定，从而在超几何积分之间产生了一种意想不到的关系。我们还获得了一个新的柏拉图式曲面镶嵌。
小型星形十二面体–Cyp
这张小型星形十二面体的特色图片是用罗伯特·韦伯的Stella软件并放置在Wikicommons上. The same is true of the picture of the大十二面体Robert Webb允许任何人出于任何目的使用这些图片，前提是版权持有人的身份得到了适当的确认。圣马克大教堂（Basilica of St Mark）地面马赛克的图片来自本页：
•乔治·哈特，保罗·乌切洛的多面体.
但可用在Wikicommons上，其中它被列为公共领域。{5,5}瓷砖的图片由绘制汤姆·阮使用Jeff Week的KaleidoTile软件并置于公共领域在Wikicommons上小星形十二面体的旋转图像由塞浦路斯并放置在Wikicommons上在a下Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0未导出许可证。
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