这里有一个关于“数学和类比”的演讲，我为当代艺术中心（CoCA）在西雅图。
成绩单：
这是什么？嗯，这是一个数字。可能是几千年前写的。伟大的。我想，如果人们花了足够的时间，他们可能会把它读回来。如果我们愿意，我们也可以通过花时间来解决这个问题（叹气）。
让我们看看。我们有M，那是1000。然后我们有CM，即100小于1000或900。然后我们有XC，它是10小于100，或90。然后是VII，比5或7多2个。所以这个数字是1997年。
好吧，那可不好玩。问题是：为什么这么难？为什么这么难？为什么一种表示方式要容易得多？好吧，有几个答案。
一个是嘿，我们只是不够聪明.
对不起，伙计们，我们的大脑无法处理罗马数字。我的意思是，计算机可以使用它们，为什么我们不能？我们只是不够聪明。我们只是数学不好。
这是一个答案，也许人类无法理解数字。
但我认为更好的答案是，这些数字设计得很糟糕。罗马数字并不能很好地代表数字。我们正试图用五比二和十比一来跟踪数字。我们不能只说9，我们需要说“1比10少”，依此类推。它使事情变得非常复杂，并没有一个好的理由。结果是它很麻烦，很难使用，我们的大脑正在做他们不必做的额外工作。
我学习的目标是找出有助于理解事情的类比。用“二比五”、“一比十”来比喻数字并不是一个好系统。小数要好得多，这就是我们今天使用的。
这个比喻就像你用来过河的木筏。河流是问题，是概念，是你想了解的东西，而筏是你接近它的方式。
如果你根本没有类比，是的，也许你足够强壮，可以用纯粹的蛮力游到另一边，但通常你有一个心理模型可以帮助你解决这个问题。问题是一些心理模型不如其他模型好。罗马数字的概念虽然“有效”，但不如小数好。我们正乘一艘较弱的木筏过河。
让我们来看一下迄今为止我们尝试过的几个心理模型。
石头是第一个计算的心智模型。单词calculates（calculate）来源于“pebble”，数字基本上就是正在计算的石头，这是一个强有力的类比。听起来很简单，但它很强大。
原因是我们已经消除了所有差异。这张照片里有一堆石头。不同的尺寸、颜色、重量等等，但我们把它们当作石头来计算。这是一个大主意：我们以无数不同的方式对待事物，但发现它们背后的统一原则。现在我们正在计算。
所以第一个概念（心理模型）是数字就像石头。数字是将不同的项目统一在一起的物理事物，我们可以将它们计算在一起，这样做效果很好。一、二、三、四、五、六、七、八、九、十。有了足够的时间，我们可以数一数一群羊。我们可以数钱，它很管用。
但这是什么？
好吧，它是零。零石头，零羊，零亿美元就在那里。世界上最美丽的画就在那里。
零是一个非常奇怪的概念。当你把数字的概念与物理项联系起来时，像零这样的概念就变得很难了。
现在，我们可以通过它说，“好吧，让我们允许虚无”。所以我们可以有“虚无”和“某物”。
好的，这个怎么样？什么比什么都不重要？什么是负向岩石？
这是你欠的一块石头吗？好吧，如果你拿着它，它不是负面的，对吗？负钱是我欠你的吗？再说一次，如果我给你，它对我来说可能是负面的，但对你来说肯定是正面的。当我们试图用一个非常物理的类比时，有很多事情都会搞砸。所以类比起来，木筏开始断裂。这无助于我们理解事物。
事实上，即使在1759年，人们也认为负数令人困惑。他们“模糊了方程的整个理论”，对吗？他们就是说不通。这是一个奇怪的概念，问题是我们的类比无法处理它。
当然，任何一个现代的三年级学生都可以告诉你，我们有数字线的概念。把我们的思维模式移到数字线上，让负数和零成为画面的一部分。
它不是零，而是中性点、中心，是其他数字离开的地方。这是一个很酷的概念——正数和负数没有什么不同。它们是从同一起点出发的左右方向。
通过正确的类比，真正困难的事情变得容易了。让我们继续。
这样的怎么样？我的平方等于-1。这太令人困惑了。我们的木筏开始摇晃了。
有没有数字，当你平方时，它变成负数？平方仍然是零。正数平方后仍为正数。负数平方后变为正数。
因此，似乎没有解决方案。但同样，这就像试图找到消极的石头。我们试图以限制我们思维的方式应用类比。这个类比并不是最终的真理，对吧？
也许有一种不同的思维方式可以让它变得有意义，但我们被困在这个旧体系中。
这里有一个想法：如果我们有一条数字线向左和向右走，为什么不另一条数字线路向北和向南走呢？
我们有东/西，为什么不也有北/南？让我们允许这个额外的维度，数字可以上下、向左或向右移动。
虚维让我们分两步得到负值。说“我的平方是负的”实际上是说：我从1开始。我们乘以i，再乘以i，得到-1。所以我代表一个90度的旋转，旋转两次会使你向后。这就是“我的平方等于-1”的意思。
找到正确的类比会让人感到困惑，因为我们使用了正确的隐喻。我们正在以正确的方式思考。所以，我们从岩石到线条再到方向，这看起来很好。
让我们把这个付诸实践。这是一个非常著名的等式。欧拉的身份是数学中最美的身份之一。
如果你问一个数学家或物理学家，这通常被认为是所有数学中最美丽的身份。它涉及许多不同的概念。
问题是它真的很令人困惑，数学家们又一次认为它出来的时候很疯狂。e到i乘以π等于负。我们取了这些疯狂的常数：π是无理的。我是这个奇怪的维度，e是另一个无理数。所有这些以一种简洁的方式加起来等于-1。它是野生的。
所以人们认为，好吧，有证据，但无法理解。同样，这来自于现有的类比。如果我们对数字的类比很差，那么是的，像这样的概念很难理解，但如果类比正确，它们就有意义。
所以，让我们试试看。我喜欢在脑海中给方程着色。我想了解方程的每一个部分都想表达什么。
通常我们把方程看作是符号的混合，但如果我们能识别出每个部分在做什么，它就变成了一个句子。它变成了一个真实发生的故事。让我们开始吧。
e代表增长。它可以是一个完整的单独视频，但e是持续增长的概念，而i是横向（不是正常方向）的概念。
因此，我们的概念是，我们有增长，但不是像我们希望的那样增长，而是横向增长。我们这样做多久？
圆周率在一个圆的中间。一个单位圆的整圆周有两个圆周率。所以一个圆周率正好是圆圈的一半。
我们有横向增长的概念，持续半个周期。如果我们把它画出来，它看起来像这样：
我们有增长，但正在向横向发展，我们的增长引擎中有足够的燃料使我们倒退。因此，等式是说，这个增长系统向侧面推进，有足够的燃料维持半个循环，将使你向后指向负增长。
1是隐含的起点。用足够的燃料开始向侧面生长，以完成半个圆圈，你最终会倒退。所以关键是我们理解了一个使用非常简单的图表和类比难以理解的概念。
现在，为了真正测试它，让我们尝试几个场景。
如果我们不加燃料怎么办？
如果我们想横向发展，但我们决定不发展。我们已经准备好发动机，但我们没有给它加油。如果我们把零放在这里，那么我们将停留在1的起点。
数学上，我们可以说零次幂是1，这是真的，但更有用的是想想“我有这个发动机设置，但没有加任何燃料，我从来没有用过它。”然后你将停留在你的起点。
如果我加两倍的油（2*pi），我应该绕着它转一圈。再一次，我们可以从数学上说，如果我们把两边都平方，结果应该是1，但我喜欢把它看作是用两倍的燃料，一路走来。
这是如何进行类比并将其付诸实践，帮助您理解。
我的主要收获是，好的类比使数学成为一种乐趣。如果我们正确看待，一个令人困惑的想法可能会变得简单，甚至令人愉快。这是我哲学的核心。如果我被什么搞糊涂了，我认为我的CPU不够好。我只是觉得我的类比错了。
快乐数学。
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