数学使用虚构的规则来创建模型和关系。学习时，我会问：
- 什么关系这个模型代表什么？
- 什么是真实世界的项目分享这种关系?
- 这种关系对我来说有意义?
这些都是简单的问题，但它们可以帮助我理解新的主题。如果你喜欢我的数学帖子，本文介绍了我对这个经常调整的主题的处理方法。许多人对自己在数学和资源方面的努力留下了深刻的评论。
数学教育
教科书很少地注重理解；它主要是解决“塞和塞”公式的问题。美丽的想法被如此死记硬背的对待，这让我很难过：
- 这个勾股定理不仅仅是三角形它是关于相似形状之间的关系、任何一组数字之间的距离等等。
- e是不仅仅是一个数字它是关于所有增长率之间的基本关系。
- 这个天然原木不仅仅是一个反函数这是关于事物增长所需的时间。
优雅的“啊哈！”洞察力应该是我们的重点，但我们让学生们随意地发现自己。在大学里一次地狱般的补习后，我突然“哈哈”了一声；从那以后，我一直想找到并分享这些顿悟，让别人免受同样的痛苦。
但这是双向的——我希望你们也能与我分享自己的见解。有了更多的理解，更少的痛苦，每个人都会赢。
数学随时间发展
我认为数学是一种思维方式，看到这一点很重要怎样这种想法是发展起来的，而不仅仅是结果。让我们试试一个例子。
假设你是一个穴居人在做数学。第一个问题是如何数东西。随着时间的推移，已经开发了几个系统：
没有一个系统是正确的，每个系统都有优点：
- 一元制：在沙子上画线——尽可能简单。非常适合在比赛中得分；你可以在不删除和重写的情况下对数字进行加法。
- 罗马数字：更高级的一元，带有大数字的快捷方式。
- 小数：人们意识到数字可以使用带有位置和零的“位置”系统。
- 二元的：最简单的位置系统（两位数，开和关），所以它非常适合机械设备。
- 科学符号：非常紧凑，可以轻松测量数字的大小和精度（1E3 vs 1.000E3）。
觉得我们完了吗？不可能。1000年后，我们将有一个系统，使十进制数字看起来像罗马数字一样古雅(“乔治，他们怎么用这么笨拙的工具？”)。
负数不是真的
让我们再想想数字。上面的示例显示我们的数字系统是解决“计数”问题的多种方法之一。
罗马人会认为零和分数很奇怪，但这并不意味着“虚无”和“部分到整体”都不是有用的概念。但看看每个系统是如何融合新思想的。
分数（1/3）、小数（.234）和复数（3+4i）是表达新关系的方法。它们现在可能没有意义，就像零对罗马人来说没有意义一样。我们需要新的现实世界关系（如债务）让他们点击。
即便如此，正如你在这里说服我的那样，负数可能也不存在于我们的思维方式中：
你：负数是个好主意，但它并不存在。这是我们应用于一个概念的标签。
我：当然。
你：好的，给我看看——三头牛。
我：嗯，嗯……假设你是一个农民，你损失了3头牛。
你：好吧，你没有奶牛。
我：不，我是说，你给了一个朋友三头牛。
你：好的，他有3头牛，而你没有。
我：不，我是说，他总有一天会把它们还给我的。他欠你人情。
你：啊。所以我的实际数字（-3或0）取决于我认为他是否会还给我。我没有意识到我的观点改变了计数的工作方式。在我的世界里，我一直是零。
我：唉。不是这样的。当他把奶牛还给你时，你从-3变成了3。
你：好吧，那么他把3头牛还给我们，我们从-3跳到3，跳6？还有其他我应该知道的新算法吗？什么是平方米（-17）奶牛看起来像什么？
我：出去。
负数可以表达关系：
- 正数表示奶牛过剩
- 零表示没有奶牛
- 负数表示假定要偿还的奶牛数量不足
但负数“并不存在”——只有它们所代表的关系（奶牛的盈余/赤字）。我们创建了一个“负数”模型来帮助记账，即使你手里拿不到-3头牛。（我故意对“负数”的含义使用了不同的解释：它是一种不同的计数系统，就像罗马数字和小数是不同的计数体系一样。）
顺便说一下，负数未被接受直到18世纪，包括西方数学家在内的许多人都认为。否定的想法被认为是“荒谬的”。负数做看起来很奇怪，除非你能看到它们如何代表复杂的现实世界关系，比如债务。
为什么所有的哲学？
我意识到我的**心态是学习的关键**它帮助我获得了深刻的见解，特别是：
- 事实知识不是理解。知道“锤子能钉钉子”与任何坚硬物体（岩石、扳手）都能钉钉子的见解不同。
- 保持开放的心态。通过让自己再次成为初学者来培养你的直觉。
一位大学教授去拜访一位著名的禅师。当师父静静地端茶时，教授谈到了禅宗。主人把客人的杯子倒到了杯口，然后继续倒。教授看着满溢的杯子，直到他再也忍不住了。“太满了！再也进不来了！”教授脱口而出。“你就像这个杯子，”大师回答道，“除非你先把杯子倒空，否则我怎么能教你禅呢？”
- 要有创意。寻找奇怪的关系。使用图表。使用幽默。使用类比。使用助记符。使用任何能使想法更生动的东西。类比并不完美，但在与一般想法作斗争时会有所帮助。
- 意识到你可以学习。我们希望孩子们学习代数、三角和微积分，这会让古希腊人大吃一惊。我们应该：如果解释正确的话，我们有能力学习这么多。在它有意义之前不要停下来，否则数学上的差距会困扰你。精神上的坚韧是至关重要的——我们常常太容易放弃。
那么重点是什么？
我想分享我的发现，希望它能帮助你学习数学：
- 数学创造模型那是肯定的关系
- 我们试图找到真实世界现象具有相同关系的
- 我们的模型是总是在进步一种新的模型可能会出现，更好地解释这种关系（罗马数字到十进制）。
当然，有些型号出现没有用：“虚数有什么用？”许多学生问。这是一个有效的问题直观的答案。
虚数的使用受到我们的想象力和理解的限制——就像负数是“无用的”，除非你有债务的想法，虚数可能会令人困惑，因为我们没有真正理解它们所代表的关系。
数学提供模型；了解它们的关系并将它们应用于现实世界中的对象。
培养直觉使学习变得有趣——甚至会计当你了解它解决的问题时，这并不坏。我想采访复数、微积分和其他难以捉摸的话题，重点是关系，而不是证明和力学。
但这是我的经验——你如何学得最好？一些朋友写下了他们的经历：
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