洛朗·克洛泽尔 关于极大抛物子群上同调的Eisenstein函数。 （英语） Zbl 1511.11055号 选择。数学。，新序列号。 28，第4期，第80号论文，第26页（2022年）。 算术群的上同调可以表示为相关局部对称空间的de-Rham上同调，也可以表示为自守形式空间相对于算术群的相对李代数上同调。这些事实的标准参考文献是A.博雷尔和N.瓦拉赫【连续上同调、离散子群和约化群的表示。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2000；Zbl 0980.22015号)]. 对同一上同调空间的两种描述产生了两种不同的计算方法：拓扑方法和自守形式理论方法，它又可以用来在局部对称空间的几何与自守形式的算术和分析性质之间交换思想和结果。在同余算术组的情况下，最好在日常设置中理解这一点。设（mathbb{A}）是有理数域（mathbb{Q}）的代数环{A} _（f）\)是有限代数的子环。设（G）是在（mathbb{Q}）上定义的一个约化群。那么与（G）的同余子群（Gamma）相关联的局部对称空间的特殊变量是商\[S_K=G（\mathbb{Q}）\反斜杠G（\mathbb{A}）/A_GK_\infty K，\]其中，\（A_G\）是位于\（G\）中心的最大分裂环面的实点群的单位元，\（K_\infty）是\（G（\mathbb{R}）\）的最大紧子群，\（K）是\{A} _（f）)\). adèlic空间\（S_K\）的上同调\（H^\bullet（S_K，\mathbb｛C｝）\）封装了相关同余算术子群的上同调。从分析的角度来看，根据A.博雷尔[《杜克数学杂志》第50卷，第605-623页（1983年；Zbl 0528.22010)]和J.弗兰克【《科学与技术年鉴规范补编》（4）31，第2期，181-279（1998年；Zbl 0938.11026号)]，（S_K\）的上同调（H^\ bullet（S_K，\mathbb{C}）\）可以表示为\[G_K=G（\mathbb{Q}）\backslash G（\mathbb{A}）/A_G K上的自同构形式的空间（\mathcal{A}（G_K）\）的相对李代数上同调，也就是说，水平\（K\）上的（G（\mathbb{A}）\）上自同构格式的空间。自守形式的空间沿尖顶支撑呈现出直接和分解，这是首次由R.P.兰兰兹【关于Eisenstein级数所满足的函数方程。柏林-海德堡-纽约：Springer-Verlag（1976；兹伯利0332.1018)]，这导致了上同调中的相应分解。由抛物线（mathbb{Q}）-子群的关联类中支持的自守形式组成的（mathcal{A}（G_K）的和用（mathcal）表示{A} _（P）（G_K）\），相对李代数上同调中相应的和为\[H^\项目符号（\mathfrak{g}，K_\infty；\mathcal{A} _（P）（G_K）），\]其中，\（\mathfrak{g}\）是\（g（\mathbb{R}）\）的李代数。与抛物子群（P=G）相关联的和称为尖点上同调，因为{A} G（_G）（G_K）是水平（K）的（G（mathbb{A}）上尖点自守形式的空间。根据G.更难[in：李群的离散子群应用模，Pap.Bombay Colloq.1973，129-160（1975；Zbl 0317.57022号); 发明。数学。89, 37–118 (1987;Zbl 0629.10023号); 莱克特。数学笔记。1447, 85–153 (1990;Zbl 0719.11034号); in：周期、动机和Shimura品种。国际学术讨论会会议记录，印度孟买，2008年1月3日至12日。新德里：Narosa出版社/为塔塔基础研究所出版。数学研究。塔塔基础研究所21，131-190（2010；Zbl 1294.11078号)]和J.Schwermer（施瓦默）[Kohomologie算术定义者Gruppen und Eisensteinreihen.柏林-海德堡-纽约-东京：施普林格出版社（1983；Zbl 0506.22015年); 发明。数学。116，第1-3号，481-511（1994年；Zbl 0807.11031号)]剩余的和，即与（P）相关的和，原则上可以使用来自Levi因子上同调中的尖点上同调类（适当水平）的Eisenstein级数理论来构造。因此，这些和的总和被称为艾森斯坦上同调。虽然有一种构造Eisenstein类的通用方法，但非平凡Eisensstein类的实际构造取决于几何条件和算术条件的微妙组合，在许多情况下，这些条件很难明确检查。这是在一系列的论文中指出的J.Schwermer（施瓦默）和评审员[C.R.，数学，巴黎科学院348，No.11-12，597-600（2010；Zbl 1203.11043号); 国际数学。Res.不。2011年，第7号，1654–1705（2011年；兹比尔1298.11050); 论坛数学。26，第6期，1635–1662（2014年；Zbl 1317.11055号); 论坛数学。31，第5期，1225–1263（2019年；Zbl 1439.11133号); 高级数学。376，文章ID 107438，49 p.（2021；Zbl 1459.11128号)]，在调查文件中进行了总结[N.Grbac公司，Springer程序。数学。Stat.245，35-50（2018年；Zbl 1483.11102号)].从拓扑的观点来看，（S_K）的上同调（H^bullet（S_K，mathbb{C}）可以通过Borel-Serre紧化来逼近。在极大抛物子群中的尖点支持的情况下，P.Scholze先生[数学年鉴（2）182，第3期，945–1066（2015；Zbl 1345.14031号)]提出了一种构造Eisenstein类的拓扑方法。本文的主要目的是将Scholze方法应用于[loc.cit.]中所考虑的辛群的Siegel极大抛物子群和与CM二次扩张相关联的偶拟分裂幺正群的特殊情况之外，从而表明该方法一般有效。然而，在本文的最后一节中，解释了该方法在非尖点极大真抛物子群情况下失败的原因。讨论了在这种情况下找到拓扑方法的可能性，并给出了关于Borel-Serre紧化的某些性质的相关猜想。本文的主要结果是在以下两种情况下的Scholze构造。第一种情况是局部系数Artin环的情况，由于技术原因，假设它是Gorenstein，特别是关于由平凡表示产生的局部系统的特征（ell）。第二种情况是复杂上同调的情况，但不限于由平凡表示产生的局部系统。在这两种情况下，在假设最大真抛物子群（mathbb{Q}）-子群的Levi因子的所谓内上同调是非平凡的情况下，主要结果影响了全群（G）的某些上同调空间的非零性。对P.Scholze的拓扑方法和G.Harder和J.Schwermer的Eisenstein级数方法进行了比较。特别地，处理了一般线性群\（G=\mathrm｛GL｝（n）\）的例子，其中\（n=2m\）是偶数，并且其具有同构于\（\mathrm｛GL｝（m）\times\mathrm｛GL｝（m）\）的Levi因子的抛物子群。审核人：Neven Grbac（普拉） MSC公司： 11楼75 算术群的上同调 11楼67 自守（L）-级数的特殊值，自守形式的周期，上同调，模符号 11楼70 表示论方法；局部域和全局域上的自守表示 22E41型 李群的连续上同调 关键词：算术群的上同调;艾森斯坦上同调;极大抛物子群的尖点支持;拓扑方法 引文：兹伯利0980.22015;兹伯利0528.22010;Zbl 0938.11026号;Zbl 0332.10018号;Zbl 0317.57022号;Zbl 0629.10023号;Zbl 0719.11034号;Zbl 1294.11078号;Zbl 0506.22015年;Zbl 0807.11031号;Zbl 1203.11043号;Zbl 1298.11050号;Zbl 1317.11055号;Zbl 1439.11133号;Zbl 1459.11128号;Zbl 1483.11102号;Zbl 1345.14031号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.Clozel}，Sel（选择）。数学。，新序列号。28，第4号，第80号论文，第26页（2022年；Zbl 1511.11055） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 亚瑟·J·：艾森斯坦级数和迹公式。自形形式、表示和L函数，Proc。交响乐。纯数学。，三十三、 第1部分，Amer。数学。Soc.，第253-274页。罗德岛普罗维登斯（1979）·Zbl 0431.22016号 [2] Borel，A。；Serre、J-P、Corners和算术组、Comment。数学。帮助。，48, 436-491 (1973) ·Zbl 0274.22011年 ·doi:10.1007/BF02566134 [3] Borel，A.，Wallach，N.R.：连续上同调，离散子群和约化群的表示。数学研究年鉴，94。普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿（1980）·兹比尔0443.22010 [4] Clozel，L.：汽车的结构和形式：功能原理的应用。自形形式、Shimura变种和L函数，第一卷（密歇根州安娜堡，1988年），透视。数学。，10，第77-159页。马萨诸塞州波士顿学术出版社（1990）·Zbl 0705.11029号 [5] Franke，J.：加权（L^2）空间中的调和分析。科学年鉴。Ecole标准。补充（4）31（2），181-279（1998）·Zbl 0938.11026号 [6] Grbac，N.：艾森斯坦上同调和自守L函数。算术群的上同调，Springer Proc。数学。Stat.，245，第35-50页。查姆施普林格（2018）·Zbl 1483.11102号 [7] Harder，G.：关于离散算术定义群的上同调。李群的离散子群和模的应用（Internat.Colloq.，Bombay，1973），第129-160页。牛津大学出版社，孟买（1975）·Zbl 0317.57022号 [8] Harder，G.，算术群的Eisenstein上同调，案例GL（2）。发明。数学。，89, 1, 37-118 (1987) ·Zbl 0629.10023号 ·doi:10.1007/BF01404673 [9] 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