亚历克斯·武田 Fukaya类表面的相对稳定性条件。 （英语） 兹比尔1502.14044 数学。Z.公司。 301，第3号，3019-3070（2022）. 自从Mumford在Riemann曲面上引入全纯丛的斜率稳定性概念以来，当他建立几何不变量理论来构造模空间时，已经有了许多扩展和推广。Bridgeland受到弦理论中考虑Kähler类变化下的斜坡稳定性条件的启发，定义了三角范畴上的稳定性条件，即Douglas’（Pi）-稳定性条件在Calabi-Yau流形上的BPS D膜[T.布里奇兰，安。数学。（2） 166，第2期，317–345页（2007年；Zbl 1137.18008号)]. 三角范畴（mathcal{D}）上的Bridgeland稳定性条件是从该范畴的Grothendieck群到复数群的一对群同态和一个（mathbb{R}）-分次集合（\phi）\)由（mathcal{D}）的完全可加子范畴组成的\（mathcal{D}\）的对象，满足4个公理，参见的定义1.1[T.布里奇兰，安。数学。（2） 166，第2期，317–345页（2007年；Zbl 1137.18008号)]. 三角范畴上Bridgeland稳定条件空间的一个有趣性质是它具有自然拓扑，实际上它是一个复杂流形。所以我们可以得到一个三角范畴或基本几何的不变量，例如乔伊斯的霍尔代数[D.乔伊斯高级数学。215，第1期，第153-219页（2007年；Zbl 1134.14007号)]，Kontsevich-Soibelmans的动机霍尔代数[康采维奇（M.Kontsevich）和Y.Soibelman先生，“稳定性结构，动力Donaldson-Thomas不变量和簇变换”，预印本，arXiv:0811.2435]，随着理论的扩展。梯度标记黎曼曲面的部分包裹Fukaya范畴上的稳定性条件空间已知与二次微分的模空间有关[T.布里奇兰和I.史密斯，出版物。数学。，上议院。科学。121, 155–278 (2015;Zbl 1328.14025号)]（考虑箭矢结构），或给定黎曼曲面上平面结构的模量空间[F.海登等，出版物。数学。，上议院。科学。126, 247–318 (2017;Zbl 1390.32010年)]在同胚状态下。平面（Sigma，Omega）是一对黎曼曲面（Sigma\）和其上的全纯1-形（Omega \）。表示全纯1-型（Omega\）的零点集。然后全纯1-形（Omega）在Riemann曲面的零集的补集（Sigma\setminus\widehat{x}）上产生一个平坦的黎曼度量，锥奇点在（widehat{x}\）上，直线流在（eta）上，反之亦然。直线流（eta）或水平叶理在（Sigma）上提供分级，而锥体奇点在诱导黎曼曲面的边界上提供标记。分级标记黎曼曲面的部分包裹Fukaya范畴由拉格朗日子流形组成，标记边界上的圆锥端达到同位素，作为对象，拉格朗日弗洛尔复合体作为态射。黎曼曲面上的每个（有向）弧，即末端在标记边界上的嵌入（浸入）区间或嵌入（浸入）圆，都是黎曼曲面的（分级）拉格朗日子流形，将体积形式视为辛结构。使用Dehn扭转和Polterovich手术，在部分包裹的情况下，我们可以将物体放入一个复杂的形状良好的不可分解物体中，参见第3.2节和推论24。积分\（H_{1}（\Sigma，\partial\Sigma-；\mathbb{Z}（Z）_{\eta}）\otimes_{\mathbb{Z}}H^｛1｝_{dR}（\西格玛，\部分\西格马；\mathbb{C}（C）_{\eta}）\to\mathbb{C}）引起平面周期，其中\（\mathbb{Z}（Z）_{\eta}\）是\（\mathbb{Z}\）张量，其局部常层来自\（\Sigma，\eta）\，\（\mathbb{C}（C）_{\eta}:=\mathbb{Z}（Z）_{\eta}\otimes\mathbb{C}\）。周期映射\（Z:K_{0}（\mathcal{F}（\ Sigma））\到H_{1}（\siga，\partial\Sigma；\mathbb{Z}（Z）_{\eta}）\to\mathbb{C}）满足Bridgeland稳定性条件的公理[F.海登等，出版物。数学。，上议院。科学。126, 247–318 (2017;Zbl 1390.32010年)].在本文中，作者以函数的方式构造了部分包裹的Fukaya类梯度标记Riemann曲面的稳定性条件，也就是说，通过切割和粘合具有平面结构的Riemann-曲面的方式。作者定义了一组相对稳定性条件，其中稳定性条件定义在扩展曲面上：设（S）是一个具有嵌入区间（gamma）的黎曼曲面，该嵌入区间连接两个相邻的标记边界区间（M）和（M’），并平行于它们之间的无标记边界区间。对（（S，\gamma））的相对稳定性条件包括：●整数（n \geq 2），以及●稳定条件（widetilde{\sigma}\in\text{Stab}（mathcal{F}（S\cup{\gamma}\Delta{n}）），其中（S\cup{\gamma}\Delta{n{）是通过将圆盘（Delta{n}）与标记的边界间隔粘合到沿其未标记边界之一的（gamma）处的（S\）而获得的扩展表面。然后，作者仔细选择了简化的弧系，以在相对稳定条件集上得到一个等价关系。在第4.4节中，有一个有趣的其他等价的例子，来自非归约弧系统，其中商空间不是Hausdorff。本文的主要结果是商空间是Hausdorff，并且可以粘在全局稳定条件的空间上：当我们分解标记表面\（\ Sigma \）沿着弧线粘合成两个表面。有一个子集\（\Gamma\subset\text{RelStab}（\Sigma_{L}，\Gamma）\times\text{RelTab}｛剪切｝_{\gamma}}\gamma\xrightarrow{\text{胶水}_{\gamma}}\text{Stab}（\mathcal{F}（\ Sigma））\]是逆同胚，当限制在稳定条件的轨迹上时，其稳定对象都支持区间。在文章的最后，作者提出了一个问题，即如何将相对稳定性条件的定义推广到高维辛流形的Fukaya包裹范畴：可以粘到全局稳定性条件上的稳定条件的基本构造块是什么？一方面，Weinstein流形是一类与Stein流形密切相关的非紧辛流形，它允许通过Weinstein-handle附件进行Morse-thetic分解。我们还知道，Weinstein流形的包裹Fukaya范畴可以通过Ganatra-Pardon-Shende对Weinstein-handles的骨架范畴进行粘合来计算，Nadler也有相应的可构造滑轮的组合模型。另一方面，考虑到黎曼曲面Fukaya范畴的稳定性条件是基于对Teichmüller动力学的理解和对可容许拉格朗日函数的完全分类，因此需要对其进行更高维的类比。审核人：Dahye Cho（石溪） MSC公司： 14层08 滑轮的派生类别、dg类别和代数几何中的相关结构 53天37分 镜像对称、同调镜像对称和Fukaya范畴的辛方面 14A30型 代数几何中涉及高等和派生范畴的基本构造（同伦代数几何、派生代数几何等） 30层60 黎曼曲面的Teichmüller理论 14D20日 代数模问题，向量丛的模 关键词：相对布里奇兰德稳定条件;Fukaya范畴;边界带标记的黎曼曲面 引文：Zbl 1137.18008号;Zbl 1134.14007号;兹比尔1328.14025;Zbl 1390.32010年 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.武田}，数学。中301、3号、3019--3070（2022；Zbl 1502.14044） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Abouzaid，M.，《关于包装的Fukaya类别和基于循环》，J.Symp。地理。，10, 1, 27-79 (2012) ·Zbl 1298.53092号 ·doi:10.4310/JSG.2012.v10.n1.a3 [2] Abouzaid，M。；Seidel，P.，维特博函数的开弦模拟，Geom。白杨。，14, 2, 627-718 (2010) ·Zbl 1195.53106号 ·doi:10.2140/gt.2010.14.627 [3] 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