潘茂东;伯特·Jüttler;Angelos Mantzaflaris公司 用层次B样条进行等几何分析中的高效矩阵装配。 （英文） Zbl 1458.65153号 J.计算。申请。数学。 390，文章ID 113278，20 p.（2021）. 这项工作的主要动机是增强等几何分析（IGA）的适用性，作为经典有限元分析（FEA）现代方法的推广。本文描述了一种有效的方法，称为自适应等几何方法（AIGM），利用允许局部求精的层次B样条，导出椭圆边值问题的等几何Galerkin离散化。提供局部细化功能的层次B样条已经被证明是开发自适应等几何方法的一个很有前途的工具。这与针对有限元开发的自适应方法理论相一致，该理论最近在文献中得到了很好的回顾。基于他们之前的工作和在IGA中所做的开创性工作，作者提出了一种有效的矩阵组装方法，用于二元层次B样条，作为近似物理域和未知解场的几何结构的构建块，主要解决在IGA中组装系统矩阵的高计算成本问题。据作者所知，在编写本主题手稿时，研究成果尚未达到预期目标。在本文的第一部分中，给出了层次B样条（HB-样条）的基本概念、全局指标空间的定义以及可容许HB-样线的一些重要性质。这与提供该方法的理论基础是一致的。在第二部分中，为了描述在偏微分方程（PDEs）的等几何Galerkin离散化中产生的系统矩阵的组合方法，作者考虑了一个一般的二阶线性椭圆边值问题及其弱（变分）公式。在等几何分析框架中，使用HB-样条函数对物理域（Omega）进行参数化。将Galerkin方法应用于变分问题，导出了椭圆边值问题的等几何Galerkon离散化。求解离散化的变分问题，需要形成几个矩阵和向量。矩阵组装是一个关键步骤，尤其是对于高次多项式而言，它包括三个阶段：样条投影、建立查找表和通过求和法组装矩阵。论文的提示部分，更详细地描述了这三个阶段。这是通过整体拟合或准插值方法的概念来实现的。准插值（QI）是另一种通过样条函数构造给定函数近似值的成熟方法。通常，它比全局拟合的计算成本更低。本文以表格的形式总结了二元层次样条的各种拟插值的性质。该方法的下一步是建立查找表。通过利用B样条的对称性和紧支撑，查找表被大大压缩。利用预先计算好的紧凑查找表，采用了求和制造技术来加速矩阵装配过程。为了实现快速高效的装配，提出了一种刚度矩阵装配算法。本文的主要贡献是：●作者将准内插技术、建立查找表技术和和分解技术相结合，从而引入了一种快速矩阵组装算法。●在关于网格容许性的温和假设下，该方法的复杂性为\（O（Np^3）\）阶，其中\（N\）和\（p\）分别表示自由度和样条度。●最后，获得了几个实验结果来验证和验证理论结果，并建立了所提出方法的有效性。详细的复杂性分析表明，在网格容许性假设下，矩阵集合的计算代价具有O（Np^3）阶；基于元素高斯求积，大大改进了\（O（Np^6）\）。以图形形式给出了计算时间的N依赖性和p依赖性方面的几个数值试验，证实了新算法的理论结果。这些测试在四个不同的计算域上进行。每个域都由单块B样条函数参数化，相应的等参数曲线以图解形式显示。此外，将该方法应用于一个具有自适应细化策略的泊松问题的求解，验证了该方法的收敛性和准确性。这可以作为代码正确性的基准示例，并使用已知的分析解决方案进行验证。作者还比较了新方法和高斯求积方法的自适应精化，表明只要样条投影足够精确，该方法的精度就可以保持。最后，作者根据数值试验和基准示例得出了有关新方法的结论，并讨论了未来的研究范围，表明本文的工作可以扩展到无矩阵应用。意见和评论1)IGA已被证明是求解偏微分方程数值解的一种强大而有效的高阶离散化方法。然而，最近的研究表明，它有一些缺点，特别是在计算成本方面。提出的算法是朝着正确方向迈出的一步。2)计算时间的N和p相关性在评估该方法的性能中起着关键作用。所进行的数值试验表明，在不影响自适应策略精度的情况下，计算时间大大增加。3)刚度矩阵和质量矩阵的快速组合是等几何分析中的一个关键问题，特别是当样条次数增加时。提出的方法成功地解决了这个问题。4)介绍了这种新方法的动机以及该方法的理论基础。对四个不同计算域的大小和形状进行的数值试验充分证明了IGA优于FEA。5)自始至终，均引用了等参原理和指导原则，即，因变量的解空间用表示几何图形的相同函数表示。6)在精确几何表示起关键作用的情况下，等几何分析证明是有效的。几何误差估计是该方法的前提。7)在这项工作中，描述了几个挑战和陷阱，并努力绕过那些支持实验结果的理论结果。8)理论背景和实际应用必须齐头并进。进行的数值实验是理论观察的基础。9)此外，为了充分利用该方法的优点，必须开发和测试新系统。幸运的是，作者从文献调查中已经存在的高效IGA算法中受益匪浅。每种方法本身都有一定的局限性。作者认为，目前的实现还没有完全优化。10)自从发展IGA以消除传统FEM的缺陷以来，一些研究人员致力于开发新的to方法，并使用IGA而不是FEM讨论其应用。本文合理地例证了这一趋势。审核人：Chandrasekhar Salimath（班加罗鲁） 引用于5文件 MSC公司： 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65D07年 使用样条曲线进行数值计算 第65天05 数值插值 65天30分 数值积分 35J05型 拉普拉斯算子、亥姆霍兹方程（约化波动方程）、泊松方程 65牛顿50 涉及偏微分方程的边值问题的网格生成、细化和自适应方法 65奈拉 涉及偏微分方程的边值问题的误差界 关键词：基质形成;等几何分析;层次B样条;拟插值;查找和和因子分解;计算成本 软件：ISOGAT公司;G+烟雾 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Pan}等人，《计算杂志》。申请。数学。390，文章ID 113278，20 p.（2021；Zbl 1458.65153） 全文： 内政部 哈尔 参考文献： [1] Cottrell，J.A。；休斯·T·J·R。；Bazilevs，Y.，《等几何分析：走向CAD和FEA的集成》（2009），John Wiley&Sons·Zbl 1378.65009号 [2] 休斯·T·J·R。；Cottrell，J.A。；Bazilevs，Y.，等几何分析：CAD，有限元，NURBS，精确几何和网格细化，计算。应用方法。机械。工程师，194，39-41，4135-4195（2005）·Zbl 1151.74419号 [3] Elguedj，T。；Bazilevs，Y。；Calo，V.M。；Hughes，T.J.R.，使用高阶NURBS元素研究几乎不可压缩线性和非线性弹性和塑性的投影方法，计算。应用方法。机械。工程，197，33-40，2732-2762（2008）·Zbl 1194.74518号 [4] 布法，A。；桑加利，G。；Vázquez，R.，计算电磁学的等几何方法：B样条和T样条离散化，J.Compute。物理。，257, 1291-1320 (2014) ·Zbl 1351.78036号 [5] 钱，X.，基于NURBS的等几何形状优化中的完全分析灵敏度，计算。应用方法。机械。工程，19929-322059-2071（2010）·Zbl 1231.74352号 [6] 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