马克斯·布登斯基;霍曼·奥瓦迪;马修·德斯布伦 有限元微分形式的算子自适应小波。 （英语） Zbl 1452.65226号 J.计算。物理学。 388, 144-177 (2019). 摘要：本文介绍了有限元微分形式的算子自适应多分辨率分析。从给定的连续、线性、双射和自共轭正定算子（mathcal{L}）出发，以精细到粗的方式和准线性时间构造了离散微分形式的基函数和相关小波的层次。得到的小波在所有尺度上都是正交的，可以用来导出算子的Galerkin离散化，使其刚度矩阵变成块对角的，具有一致条件良好和稀疏的块。由于我们的方法适用于任意微分\（p\）形式，我们可以导出标量值和向量值小波，对给定的算子进行块对角化。我们还讨论了这种构造的一般性，指出它适用于各种类型的计算网格，提供了基函数和小波的任意光滑阶，并且可以适应线性微分约束，如无发散性。最后，我们证明了相应的算子自适应多分辨率分解对于线性和非线性偏微分方程的粗粒度和模型约简的好处。 引用于2文件 MSC公司： 65M60毫米 涉及偏微分方程初值和初边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65T60型 小波的数值方法 65米55 多重网格方法；涉及偏微分方程初值和初边值问题的区域分解 第76天05 不可压缩粘性流体的Navier-Stokes方程 76M10个 有限元方法在流体力学问题中的应用 关键词：非（L^2）多分辨率分析;有限元微分形式;算子自适应小波 软件：LicPy公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Budninskiy}等人，《计算杂志》。物理学。388144-177（2019年；Zbl 1452.65226） 全文： 内政部 链接 参考文献： [1] Meyer，Y.，《小波与算子》，第1卷（1995年），剑桥大学出版社·Zbl 0819.42016号 [2] Beylkin，G。；科伊夫曼，R。；Rokhlin，V.，《快速小波变换和数值算法I》，Commun。纯应用程序。数学。，44, 141-183 (1991) ·Zbl 0722.65022号 [3] 巴克利，E。；Mallat，S。；Papanicolau，G.，偏微分方程的小波时空自适应方案，（小波分析与应用进展（1993），前沿），677-682·Zbl 0880.65078号 [4] Dahlke，S。；Weinreich，I.，Wavelet-Galerkin方法：自适应双正交小波基，Constr。约92237-262（1993年）·Zbl 0777.34015号 [5] Dahlke，S。；Weinreich，I.，适用于伪微分算子的小波基，应用。计算。哈蒙。分析。，1, 267-283 (1994) ·Zbl 0806.65112号 [6] Bertoluzza，S。；Maday，Y。；Ravel，J.-C.，解偏微分方程的动态自适应小波方法，计算。方法应用。机械。工程，116，293-299（1994），ICOSAHOM’92（蒙彼利埃，1992）·Zbl 0823.65092号 [7] Engquist，B。；奥舍，S。；Zhong，S.，线性演化方程的快速小波算法，SIAM J.Sci。计算。，15, 755-775 (1994) ·Zbl 0851.65060号 [8] O.V.瓦西利耶夫。；Paolucci，S.，用于求解有限域偏微分方程的动态自适应多级小波配置方法，J.Compute。物理。，125, 498-512 (1996) ·Zbl 0847.65073号 [9] Chiavassa，G。；Liandrat，J.，抛物型偏微分方程的完全自适应小波算法，应用。数字。数学。，36, 333-358 (2001) ·Zbl 0973.65089号 [10] 科恩，A。；Dahmen，W。；DeVore，R.，椭圆算子方程的自适应小波方法：收敛速度，数学。计算。，70, 27-75 (2001) ·兹伯利0980.65130 [11] Dahmen，W。；Kunoth，A.，线性二次椭圆控制问题的自适应小波方法：收敛速度，SIAM J.控制优化。，43, 1640-1675 (2005) ·Zbl 1081.65063号 [12] Stevenson，R.，求解算子方程的自适应小波方法：综述，（多尺度、非线性和自适应逼近（2009），Springer），543-597·Zbl 1192.65063号 [13] 甘图穆尔，T。；Stevenson，R.，《小波坐标中微分算子的计算》，数学。计算。，75, 697-709 (2006) ·Zbl 1158.65355号 [14] Beylkin，G.，《数值分析中的多分辨率方法》，Doc。数学。额外，3481-490（1998）·Zbl 0899.65056号 [15] Gines，D。；Beylkin，G。；Dunn，J.，非标准形式的LU分解和直接多分辨率解算器，应用。计算。哈蒙。分析。，5, 156-201 (1998) ·Zbl 0914.65017号 [16] Dahmen，W。；哈布雷希特，H。；Schneider，R.，边界积分方程渐近最优复杂度估计的压缩技术，SIAM J.Numer。分析。，43, 2251-2271 (2006) ·Zbl 1113.65114号 [17] 弗罗里奇，J。；Schneider，K.，用于一维和二维火焰计算的自适应小波Galerkin算法，Eur.J.Mech。B、 流体，13，439-471（1994）·Zbl 0814.76068号 [18] Sendov，B.，《自适应多分辨率分析和小波》（函数、级数、算子，2002年），János Bolyai Math。Soc.：János Bolyai数学。布达佩斯），23-38·Zbl 1041.42032号 [19] 科恩，A。；Daubechies，I。；Feauveau，J.-C.，紧支撑小波的双正交基，Commun。纯应用程序。数学。，45, 485-560 (1992) ·Zbl 0776.42020号 [20] Sweldens，W.，《提升方案：第二代小波的构造》，SIAM J.Math。分析。，29, 511-546 (1998) ·Zbl 2016年11月9日 [21] Carnicer，J.M。；Dahmen，W。；Peña，J.M.，可加细空间和小波的局部分解，应用。计算。哈蒙。分析。，3, 127-153 (1996) ·兹比尔0859.42025 [22] 瓦西列夫斯基，P.S。；Wang，J.，用近似小波稳定层次基。I.理论，数字。线性代数应用。，4, 103-126 (1997) ·Zbl 0889.65126号 [23] Lounsberry，M。；DeRose，T.D。；Warren，J.，任意拓扑类型曲面的多分辨率分析，ACM Trans。图表。，16, 34-73 (1997) [24] Sudarshan，R.，《操作自适应有限元小波：后验误差估计和自适应计算建模的理论和应用》（2005），麻省理工学院土木与环境工程系博士论文 [25] Kohn，W.，布洛赫波和Wannier函数的分析性质，物理学。修订版，115809（1959）·Zbl 0086.45101号 [26] Wannier，G.H.，电场和磁场中带电子的动力学，修订版。物理。，34, 645 (1962) [27] Marzari，N。；Vanderbilt，D.，复合能带的最大局部化广义Wannier函数，Phys。B版，56，第12847条，pp.（1997） [28] Owhadi，H.，《分层信息游戏中粗糙系数和多分辨率算子分解的多重网格》，SIAM Rev.，59，99-149（2017）·Zbl 1358.65071号 [29] 奥瓦迪，H。；Zhang，L.，Gamblets，用于打开具有粗糙系数的双曲和抛物线常微分方程/偏微分方程隐式格式的复杂性-瓶颈，J.Compute。物理。，347, 99-128 (2017) ·Zbl 1380.65406号 [30] 奥瓦迪，H。；Scovel，C.，来自计算信息游戏和快速特征空间自适应多分辨率分析的通用可扩展鲁棒解算器（2017） [31] Schäfer，F。；T·J·沙利文。；Owhadi，H.，近线性计算复杂性下稠密核矩阵的压缩、反演和近似主成分分析（2017） [32] 奥瓦迪，H。；Scovel，C.，《算子自适应小波、快速求解器和数值均匀化：从博弈论方法到数值逼近和算法设计》，剑桥应用专著。计算。数学。（2019），剑桥大学出版社·Zbl 1477.65004号 [33] É. Cartan，Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques，1945年。；É. Cartan，Les systèmes différentiels extérieurs et leurs applications géométriques，1945年·Zbl 0063.00734号 [34] Arnold，D.N。；福尔克，R.S。；Winther，R.，《有限元外部演算：从霍奇理论到数值稳定性》，布尔。美国数学。Soc.（N.S.），47，281-354（2010）·Zbl 1207.65134号 [35] 阿马拉通加，K。；威廉姆斯，J.R。；钱，S。；Weiss，J.，一维偏微分方程的Wavelet-Galerkin解，Int.J.Numer。方法工程，37，2703-2716（1994）·Zbl 0813.65106号 [36] 布鲁斯特，M。；Beylkin，G.，数值均匀化的多分辨率策略，应用。计算。哈蒙。分析。，2, 327-349 (1995) ·Zbl 0840.65047号 [37] 多罗班图，M。；Engquist，B.，基于小波的数值均匀化，SIAM J.Numer。分析。，35, 540-559 (1998) ·Zbl 0936.65135号 [38] Beylkin，G。；Coult，N.，用于简化椭圆偏微分方程和特征值问题的多分辨率策略，应用。计算。哈蒙。分析。，5, 129-155 (1998) ·Zbl 0912.35013号 [39] Yoo，G.R。；Owhadi，H.，基于阈值算子自适应小波的去噪（2018），arXiv预印本 [40] 谢浩。；张，L。；Owhadi，H.，使用算子自适应小波和分层子空间校正的快速特征对计算（2018） [41] Bossavit，A.，Whitney forms:一类用于电磁学三维计算的有限元，IEE Proc。A、 135493-500（1988） [42] Arnold，D.N.，有限元微分形式的空间，（Gianazza，U.；Brezzi，F.；Colli-Franzone，P.；Gilardi，G.，《偏微分方程的分析和数值》（2013），Springer），117-140·Zbl 1290.58003号 [43] 德斯布伦，M。；Kanso，E。；Tong，Y.，《计算建模的离散微分形式》（Bobenko，A.等，《离散微分几何》（2008），Birkhäuser:Birkháuser Basel），287-324·Zbl 1152.58001号 [44] 米切利，C.A。；Rivlin，T.J.，《最佳采收率调查》，（近似理论中的最佳估计（1977），Springer），1-54·Zbl 0386.93045号 [45] Vassilevski，P.S.，AMG的一般约束能量最小化插值映射，SIAM J.Sci。计算。，32, 1-13 (2010) ·Zbl 1209.65133号 [46] 休斯·T·J·R。；Feijóo，G.R。；Mazzei，L。；昆西，J.-B.，《变分多尺度方法——计算力学的范例》，计算。方法应用。机械。工程，166，3-24（1998）·兹比尔1017.65525 [47] Málqvist，A。；Peterseim，D.，椭圆多尺度问题的局部化，数学。计算。，83, 2583-2603 (2014) ·Zbl 1301.65123号 [48] Harder，R.L。；Desmarais，R.N.，《使用曲面样条插值》，J.Aircr。，9, 189-191 (1972) [49] Duchon，J.，《斑块屈曲原则下的双重变量功能插值》，RAIRO。分析。编号。，10, 5-12 (1976) [50] 奥瓦迪，H。；张，L。；Berlyand，L.，《多元调和均匀化，粗糙多元调和样条和稀疏超细化》，数学。模型。数字。分析。，48, 517-552 (2014) ·Zbl 1296.41007号 [51] 陈，J。；Bao，H。；Wang，T。；德斯布伦，M。；Huang，J.，使用不连续形状函数的数值粗化，ACM Trans。图表。，37，第117条pp.（2018） [52] 拉维亚特，P.-A。；Thomas，J.M.，二阶椭圆问题的混合有限元方法，（有限元方法的数学方面。有限元方法数学方面，数学讲义，第606卷（1977年）），292-315·Zbl 0362.65089号 [53] Bossavit，A.，混合有限元和Whitney形式的复数，（有限元数学与应用VI（1988）），137-144·Zbl 0692.65053号 [54] Munkres，J.R.，《代数拓扑元素》（1984），Addison-Wesley·Zbl 0673.55001号 [55] Arnold，D.N。；福尔克，R.S。；Winther，R.，《有限元外部微积分、同调技术和应用》，《数值学报》。，15, 1-155 (2006) ·Zbl 1185.65204号 [56] Nédélec，J.-C.，《（R^3）中的混合有限元》，数值。数学。，35, 315-341 (1980) ·Zbl 0419.65069号 [57] 斯特恩，A。；Tong，Y。；德斯布伦，M。；Marsden，J.E.，带源Maxwell方程的变分积分器，PIERS在线，4711-715（2008） [58] Gawlik，E。；马伦，P。；巴甫洛夫，D。；马斯登，J。；Desbrun，M.，《连续统理论的几何、变分离散化》，Physica D，240，1724-1760（2011）·Zbl 1366.37148号 [59] 刘，B。；梅森，G。；霍奇森，J。；Tong，Y。；Desbrun，M.，模型简化变分流体模拟，ACM Trans。图表。，34，第244条pp.（2015） [60] Hirani，A.N。；Nakshatrala，K.B。；Chaudhry，J.H.，《使用离散外部微积分推导的达西流数值方法》，《国际计算杂志》。方法工程科学。机械。，16, 151-169 (2015) [61] 穆罕默德，M.S。；Hirani，A.N。；Samtaney，R.，《不可压缩Navier-Stokes方程在曲面单纯形网格上的离散外部微积分离散化》，J.Compute。物理。，312, 175-191 (2016) ·Zbl 1351.76070号 [62] Tong，Y。；Alliez，P。；科恩·斯坦纳，D。；Desbrun，M.，用离散调和形式设计四角形，（几何处理研讨会（2006）），201-210 [63] 格雷迪，L.J。；Polimeni，J.R.，《离散微积分：计算科学中图形的应用分析》（2010），施普林格-弗拉格出版社·Zbl 1195.68074号 [64] Weil，A.，Sur les theéorèmes de Rham，评论。数学。赫尔夫。，26, 119-145 (1952) ·Zbl 0047.16702号 [65] 惠特尼，H.，《几何积分理论》（1957），普林斯顿大学出版社·Zbl 0083.28204号 [66] Anselone，P.M。；Laurent，P.-J.，插值或平滑样条函数构造的一般方法，数值。数学。，12, 66-82 (1968) ·Zbl 0197.13501号 [67] Schoenberg，I.J.，《样条和直方图》，（样条函数和逼近理论（1973），Springer），277-327·Zbl 0274.41004号 [68] N.Robidoux，多项式组织极化、超收敛自由度和伪谱离散Hodge算子，2008年，未出版，网址：people.math.sfu.ca/nrobidou/public_html/prints/histogram/histogram.pdf；N.Robidoux，多项式组织极化、超收敛自由度和伪谱离散Hodge算子，2008年，未出版，网址：people.math.sfu.ca/nrobidou/public_html/prints/histogram/histogram.pdf [69] 亚伯拉罕·R。；Marsden，J.E。；Ratiu，R.，流形，张量分析和应用（1988），Springer-Verlag·兹比尔0875.58002 [70] Hittmair，R.，高阶Whitney形式，Prog。电动发电机。决议，32，271-299（2001） [71] Hittmair，R.，《计算电磁学中的有限元》，《数值学报》。，11, 237-339 (2002) ·Zbl 1123.78320号 [72] 拉佩蒂，F。；Bossavit，A.，Whitney forms of higher degree，SIAM J.Numer。分析。，47, 2369-2386 (2009) ·Zbl 1195.78063号 [73] 王伟伟，K。；Tong，Y。；德斯布伦，M。；Schröder，P.，Edge细分方案和光滑向量场的构造，ACM Trans。图表。，25, 1041-1048 (2006) [74] Christiansen，S.H。；Rapetti，F.，《关于微分形式的高阶有限元空间》，数学。计算。，85, 517-548 (2016) ·Zbl 1332.65163号 [75] 吉列，A。；A.兰德。；Bajaj，C.，在多边形和多面体网格上构建标量和矢量有限元族，计算。方法应用。数学。，16, 667-683 (2016) ·Zbl 1348.65163号 [76] 布法，A。；Rivas，J。；桑加利，G。；Vázquez，R.，三维等几何离散微分形式，SIAM J.Numer。分析。，49, 818-844 (2011) ·Zbl 1225.65100号 [77] Chen，W。；Wang，Y.，多边形网格上的最小次协调有限元，数学。计算。，86, 2053-2087 (2017) ·Zbl 1364.65244号 [78] 吉列，A。；Kloefkorn，T。；Sanders，V.，计算偶然性和张量积有限元微分形式（2018） [79] Rufat，D。；梅森，G。；马伦，P。；Desbrun，M.，《链式配点法：光谱精确形式演算》，J.Compute。物理。，257, 1352-1372 (2014) ·Zbl 1352.65574号 [80] Gerritsma，M.，谱元方法的边函数，（偏微分方程的谱和高阶方法（2011），Springer），199-207·Zbl 1216.65168号 [81] Grinspun，E.，《基础精化方法》（2003），加州理工应用科学研究所，博士论文 [82] de Goes，F。；德斯布伦，M。；梅耶，M。；DeRose，T.，《几何处理的细分外部微积分》，ACM Trans。图表。，35，第133条pp.（2016） [83] Zorin，D。；Schröder，P.，建模和动画细分，（ACM SIGGRAPH会议（2000）），课程笔记 [84] Hirani，A.，《离散外部微积分》（2003），加利福尼亚理工学院计算机科学博士论文 [85] 冯·L。；Alliez，P。；Busé，L。；Delingette，H。；Desbrun，M.，曲线最优Delaunay三角剖分，ACM Trans。图表。，37，第61条pp.（2018） [86] Wang，K.，《构造光滑微分形式的细分方法》（2008），加州理工学院应用数学博士论文 [87] Stam，J.，任意参数值下Catmull-Clark细分曲面的精确评估，（SIGGRAPH会议论文集（1998）），395-404 [88] Bochev，P.B。；Hyman，J.M.，微分算子的模拟离散化原理，（Arnold，D.N.；等，兼容空间离散化（2006），Springer:Springer New York），89-119·Zbl 1110.65103号 [89] Ciarlet，P.，椭圆问题的有限元方法（2002），SIAM·Zbl 0999.65129号 [90] 哈洛，F.H。；Welch，J.E.，含自由表面流体随时间变化的粘性不可压缩流动的数值计算，物理。流体，82182-2189（1965）·Zbl 1180.76043号 [91] 巴甫洛夫，D。；马伦，P。；Tong，Y。；Kanso，E。；Marsden，J.E。；Desbrun，M.，《不可压缩流体的结构保持离散化》，Physica D，240，443-458（2011）·Zbl 1208.37047号 [92] Ng，Y.T。；最小值C。；Gibou，F.，单相流的高效流固耦合算法，计算机J。物理。，228, 8807-8829 (2009) ·Zbl 1245.76019号 [93] 卡布拉尔，B。；Leedom，L.C.，使用线积分卷积的成像向量场，（SIGGRAPH会议论文集（1993）），263-270 [94] Rufat，D.，Licpy：用Python进行线积分卷积（2018） [95] 马伦，P。；McKenzie，A。；巴甫洛夫，D。；杜兰特，L。；Tong，Y。；Kanso，E。；Marsden，J.E。；Desbrun，M.，微分形式的离散李平流，发现。计算。数学。，11, 131-149 (2011) ·Zbl 1222.35010号 [96] Urban，K.，《无发散小波》，《高级计算》。数学。，4, 51-81 (1995) ·Zbl 0822.42020号 [97] Deriaz，E。；Perrier，V.，《二维和三维中的无发散和无卷曲小波：湍流应用》，J.Turbul。，7，N3（2006）·Zbl 1273.76309号 [98] 巴布什卡，I。；Osborn，J.E.，有限元方法能任意地表现糟糕吗？，数学。计算。，69, 443-462 (2000) ·Zbl 0940.65086号 [99] Bui-Thanh，T。；威尔科克斯，K。；O.加塔斯。；van Bloemen Waanders，B.，面向目标、模型约束的大型系统简化优化，J.Compute。物理。，224, 880-896 (2007) ·Zbl 1123.65081号 [100] 科达科夫斯基，A。；施罗德，P。；Sweldens，W.，渐进几何压缩，（SIGGRAPH会议论文集（2000）），271-278 [101] Kornhuber，R。；Yserentint，H.，通过子空间分解实现椭圆多尺度问题的数值均匀化，多尺度模型。模拟。，14, 1017-1036 (2016) ·Zbl 1352.65521号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。