米卡·谢克伦。;刘洪湖;詹姆斯·威廉姆斯（James C.McWilliams）。 非线性动力系统闭包的变分方法：自治情况。 （英语） Zbl 1447.37070号 J.Stat.物理。 179，编号5-6，1073-1160（2020）. 摘要：针对受自主强迫的非线性系统，提出了一种推导忽略尺度非线性参数化的一般方法。在这方面，根据每个要参数化的模式确定的自由标量参数，导出了基于动态的公式。对于每个高阶模态，通过最小化成本函数（参数化缺陷）获得该自由参数，这取决于直接数值模拟（DNS）的解决方案，但训练时间较短，与动力学的特征重现或解相关时间相当。作为流形近似于不变流形的参数变化，我们得到了一类重要的基于动态的公式，用于我们的参数化优化。为了更好地理解由此获得的修改流形的起源，本文第一部分重新讨论了不变流形的标准近似理论。特别强调与原始系统自然相关的前向（BF）系统，其渐近积分提供了不变流形的前导阶近似。然后，第二部分介绍了（i）基于相同BF系统的积分对这些近似流形进行的修改，但这次是在有限时间内（τ），以及（II）旨在有效选择每个模式进行参数化的变分方法。用这种方法得到的高模主导相互作用近似（LIA）的参数类由另一个由准静态近似（QSA）建立的参数类完成；接近第一临界点时，QSA是LIA的近似值，但随着远离临界点，QSA会有所不同。严格的结果表明，在给定截止维数的情况下，通过变分方法可以获得的最佳流形是通常不再不变的流形。极小值是与原始系统的条件期望密切相关的对象，称为最优参数化流形（PM），即简化状态空间的最佳向量场，它是未解决变量相对于以已解决变量为条件的概率测度的平均值。然后讨论了大气原始方程和Rayleigh-Bénard对流低阶模型的封闭应用。在Kuramoto-Sivashinsky湍流的背景下，该方法最终被说明为提供了有效的闭包，而无需调整惯性范围内的截止尺度（k_\mathfrak{c}），简化的状态空间仅由不稳定模式跨越，不包含任何稳定模式。通过我们的变分方法获得的潜在最优PMs远未进行修正，当在该截止波长下使用时，允许纠正LIA或QSA参数化以其标准形式遇到的能量向低模的过度后向散射转移。 引用于10文件 MSC公司： 37米21 动力系统不变流形的计算方法 70克75 力学问题的变分方法 关键词：近似不变性公式;前后向系统;动态闭合;优化;参数化流形 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.D.Chekroun}等人，《统计物理学杂志》。179，编号5--6，1073--1160（2020；Zbl 1447.37070） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 阿尔维斯，JF；博纳蒂，C。；Viana，M.，中心方向主要是扩张的部分双曲型系统的SRB测度，混沌吸引子理论，443-490（2000），纽约：施普林格，纽约 [2] Armbruster，D。；古根海默，J。；Holmes，P.，Kuramoto-Sivashinsky中心不稳定流形动力学，SIAM J.Appl。数学。，第49、3、676-691页（1989年）·Zbl 0687.34036号 [3] 阿诺登，A。；德卡斯特罗，阿拉巴马州；霍尔姆，DD，共伴轨道上的噪声和耗散，非线性科学杂志。，28, 1, 91-145 (2018) ·Zbl 1384.37063号 [4] Arneodo，A。；库仑，PH；明镜，EA；Tresser，C.，《渐进混沌》，《物理学D》，14，3，327-347（1985）·Zbl 0595.58030号 [5] Arnold，VI，《常微分方程理论中的几何方法》（1988），纽约：Springer出版社，纽约·Zbl 0648.34002号 [6] Baer，F。；Tribbia，JJ，《通过非线性初始化对重力模式进行完全滤波》，Mon。《天气评论》，105、12、1536-1539（1977） [7] Berloff，PS，关于动态一致的涡流通量，Dyn。大气。《海洋》，38，3-4，123-146（2005） [8] Berloff，PS，中尺度海洋涡旋的随机推进模型，J.流体力学。，529, 71-95 (2005) ·Zbl 1068.76070号 [9] Berloff，P.，中尺度涡旋的动力一致参数化。第一部分：简单模型，海洋模型。，87，1-19（2015） [10] 贝恩，W-J；Kleß，W.，大型动力系统中不变流形的数值泰勒展开，数值。数学。，80，1，1-38（1998年）·Zbl 0909.65044号 [11] Bibikov，YN，非线性解析常微分方程的局部理论，数学讲义（1979），纽约：Springer，纽约·Zbl 0404.34005号 [12] Bonatti，C.，Pumariño，A.，Viana，M.：具有任意扩展维数的Lorenz吸引子。收录：Equadiff 99:（分2卷）。《世界科学》，第39-44页（2000年）·Zbl 0976.37014号 [13] 鲍恩，R。；Ruelle，D.，公理A流的遍历理论，混沌吸引子理论，55-76（1975），纽约：Springer，纽约 [14] Brézis，H.，泛函分析，Sobolev空间和偏微分方程（2010），纽约：Springer，纽约·兹比尔1218.46002 [15] 棕色，HS；Kevrekidis，IG；Jolly，理学硕士；Aris，R。；Aronson，DG；Swinney，HL，薄膜流动时空模式的最小模型，反应介质中的模式和动力学，11-31（1991），纽约：Springer，纽约·Zbl 0744.58054号 [16] 卡布雷，X。；Fontich，E。；de la Llave，R.，不变流形的参数化方法I：与非共振子空间相关的流形，印第安纳大学数学系。J.，52，283-328（2003）·Zbl 1034.37016号 [17] 卡布雷，X。；Fontich，E。；de la Llave，R.，不变流形的参数化方法II：关于参数的正则性，印第安纳大学数学系。J.，52，329-360（2003）·Zbl 1034.37017号 [18] 卡布雷，X。；Fontich，E。；De La Llave，R.，不变流形的参数化方法III：概述和应用，J.Differ。Equ.、。，218, 2, 444-515 (2005) ·Zbl 1101.37019号 [19] Carr，J.，中心流形理论的应用，应用数学科学（1981），纽约：Springer，纽约·Zbl 0464.58001号 [20] Chae，D.，关于近似惯性流形研究中的系综平均，II，J.Math。分析。申请。，164, 2, 337-349 (1992) ·Zbl 0799.35176号 [21] Chekroun，M.D.，Lamb，J.S.W.，Pangerl，C.J.，Rasmussen，M.：在存在噪声的情况下缓慢参数化流形的Girsanov方法（2019）。arXiv:1903.08598 [22] Chekroun，M.D.，Liu，H.：非线性抛物线偏微分方程最优控制的后处理有限时域参数化流形。2016年IEEE第55届决策与控制会议（CDC），IEEE，第1411-1416页（2016） [23] Chekroun，M.D.，Tantet，A.，Neelin，J.D.，Dijkstra，H.A.：简化状态空间中随机系统的Ruelle-Pollicott共振。第一部分：理论，提交（2019年） [24] 医学博士Chekroun；Glatt-Holtz，NE，耗散动力系统的不变测度：抽象结果和应用，Commun。数学。物理。，316，3723-761（2012年）·Zbl 1336.37060号 [25] 医学博士Chekroun；Kondrashov，D.，数据自适应谐波谱和多层Stuart Landau模型，混沌，27，9093110（2017）·Zbl 06876914号 [26] 医学博士Chekroun；Liu，H.，Finite-horizon参数化流形，及其在非线性抛物线偏微分方程次优控制中的应用，学报应用。数学。，135, 1, 81-144 (2015) ·Zbl 1311.49010号 [27] 医学博士Chekroun；吉尔，M。；Roux，J。；Varadi，F.，《没有小参数的时间周期系统的平均化》，离散。Contin公司。动态。系统。，14, 753-782 (2006) ·Zbl 1103.34030号 [28] 医学博士Chekroun；Simonnet，E。；Ghil，M.，《随机气候动力学：随机吸引子和时间相关不变测度》，Physica D，240，21，1685-1700（2011）·Zbl 1244.37046号 [29] 医学博士Chekroun；Neelin，法学博士；Kondrashov，D。；McWilliams，JC；Ghil，M.，《气候模型中的粗糙参数依赖性：Ruelle-Pollicott共振的作用》，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，111，5，1684-1690（2014） [30] 医学博士Chekroun；刘，H。；Wang，S.，随机不变流形的逼近：非线性SPDE的随机流形I，Springer Briefs in Mathematics（2015），纽约：Springer，New York·Zbl 1319.60002号 [31] 医学博士Chekroun；刘，H。；Wang，S.，《随机参数化流形和非马尔可夫约化方程：非线性SPDE II的随机流形》，Springer Brief in Mathematics（2015），纽约：Springer，New York·兹比尔1331.37009 [32] 医学博士Chekroun；刘，H。；McWilliams，JC，简化原始方程模型中快速振荡的出现及其对闭合理论的影响，计算。流体，151，3-22（2017）·Zbl 1390.34184号 [33] 医学博士Chekroun；吉尔，M。；Neelin，法学博士；Tsonis，A.，延迟微分ENSO模型中的拉回吸引子危机，非线性地球科学进展，1-33（2018），纽约：施普林格，纽约 [34] Chorin，AJ；霍尔德，俄亥俄州，《数学和科学中的随机工具，应用数学科学中的调查和教程》（2006），纽约：施普林格，纽约·兹比尔1086.60001 [35] Chorin，AJ；Lu，F.，非线性动力学中随机参数化和降维的离散方法，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，112、32、9804-9809（2015） [36] Chorin，AJ；Hald，俄亥俄州；Kupferman，R.，《记忆的最佳预测》，Physica D，166，3，239-257（2002）·兹伯利1017.60046 [37] 科莱，P。；埃克曼，J-P，《混沌动力学的概念和结果：短期课程》（2007），纽约：施普林格出版社，纽约 [38] 康斯坦丁，P。；Foias，C。；尼古兰科，B。；Temam，R.，耗散偏微分方程的积分流形和惯性流形，应用数学科学（1989），纽约：Springer，纽约·Zbl 0683.58002号 [39] 科特，C。；Crisan，D。；霍尔姆，DD；潘·W。；Shevchenko，I.，流体动力学中随机李迁移的数值模拟，多尺度模型。模拟。，17, 1, 192-232 (2019) ·Zbl 1454.76064号 [40] 库仑，PH；Spiegel，E.，具有竞争不稳定性系统的振幅方程，SIAM J.Appl。数学。，43, 4, 776-821 (1983) ·Zbl 0534.35004号 [41] 考克斯，SM；Matthews，PC，刚性系统的指数时间差分，J.Compute。物理。，1762430-455（2002年）·兹比尔1005.65069 [42] Crawford，JD，分岔理论导论，修订版。物理。，63, 4, 991 (1991) [43] 克罗姆林，DT；Majda，AJ，《模型简化策略：比较不同的最优基础》，J.Atmos。科学。，61, 17, 2206-2217 (2004) [44] 克罗梅林，D。；Vanden-Eijnden，E.，带条件马尔可夫链的次网格尺度参数化，J.Atmos。科学。，652661-2675（2008年） [45] Daley，R.，变分非线性正常模式初始化，Tellus，30，3，201-218（1978） [46] Daley，R.，《使用模型正态模式开发高效时间积分方案》，Mon。Weather Rev.，108，100-110（1980年） [47] Daley，R.，大气数据分析（1993），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥 [48] 德彪西，A。；Marion，M.，关于近似惯性流形族的构造，J.Differ。Equ.、。，100, 1, 173-201 (1992) ·Zbl 0760.34050号 [49] 德彪西，A。；Temam，R.，《气象学中的惯性流形和慢流形》，Differ。集成。Equ.、。，4, 5, 897-931 (1991) ·Zbl 0753.35043号 [50] 德彪西，A。；Dubois，T。；Temam，R.，《非线性Galerkin方法：应用于均匀湍流模拟的多尺度方法》，Theor。计算。流体动力学。，7, 4, 279-315 (1995) ·Zbl 0838.76060号 [51] Dellacherie，C。；Meyer，P-A，《概率与潜力》，《北荷兰德数学研究》（1978），阿姆斯特丹：北荷兰特出版公司，阿姆斯特朗·Zbl 0494.60001号 [52] Devulder，C。；马里恩，M。；Titi，ES，关于非线性Galerkin方法的收敛速度，数学。计算。，60, 202, 495-514 (1993) ·Zbl 0783.65053号 [53] 迪杰斯特拉，HA；Ghil，M.，《大尺度海洋环流的低频变化：动力系统方法》，《地球物理学评论》。，43、3、RG3002（2005） [54] Dubois，T。；Jauberteau，F.，用于模拟均质各向同性湍流中小型结构的动态多级模型，科学杂志。计算。，13, 3, 323-367 (1998) ·Zbl 0933.76042号 [55] Dubois，T。；Jauberteau，F。；马里恩，M。；Temam，R.，湍流中小波长的子网格建模和相互作用，计算。物理学。社区。，65, 1-3, 100-106 (1991) ·兹比尔0900.76082 [56] Dubois，T。；Jauberteau，F。；Team，R.，增量未知数，多级方法和湍流的数值模拟，计算。方法应用。机械。工程，159，1-2，123-189（1998）·Zbl 0948.76070号 [57] 埃克曼，J-P；Ruelle，D.，混沌和奇怪吸引子的遍历理论，Rev.Mod。物理。，57, 617-656 (1985) ·兹比尔0989.37516 [58] 埃罗拉，T。；von Pfaler，J.，不变流形的数值泰勒展开，数值。数学。，99, 1, 25-46 (2004) ·Zbl 1063.65139号 [59] Elphick，E。；蒂拉佩古伊，C。；Brachet，脑脊髓炎；库莱特，P。；Iooss，G.，奇异向量场正规形式的简单全局特征，Physica D，29，1-2，95-127（1987）·兹伯利0633.58020 [60] Faria，T.：时滞微分方程的正规形式和分岔。在：延迟微分方程和应用，北约科学。序列号。II数学。物理学。化学。，第205卷。施普林格，多德雷赫特，第227-282页（2006年）·Zbl 1130.34046号 [61] Feppon，F。；Lermusiaux，PFJ，动力学模型降阶的几何方法，SIAM J.矩阵分析。申请。，39, 1, 510-538 (2018) ·Zbl 1395.65111号 [62] Foias，C。；销售，GR；Temam，R.，Variétés inertielles deséquations differentiieles dispensives，C.R.Acad，《不同类型的耗散变量》，C.R.Acad。科学。巴黎Série I，301，5，139-142（1985）·Zbl 0591.35062号 [63] Foias，C。；Jolly，理学硕士；Kevrekidis，IG；销售，GR；Titi，ES，《关于惯性流形的计算》，Phys。莱特。A、 131、7-8、433-436（1988） [64] Foias，C。；O.曼利。；Temam，R.，《二维湍流中小涡旋相互作用的建模》，RAIRO Modél。数学。分析。编号。，第22页，第1页，第93-118页（1988年）·Zbl 0663.76054号 [65] Foias，C。；尼古兰科，B。；销售，GR；Temam，R.，Kuramoto-Sivashinsky方程的惯性流形及其最低维的估计，J.Math。纯粹。申请。，67, 197-226 (1988) ·Zbl 0694.35028号 [66] Foias，C。；销售，GR；Temam，R.，非线性演化方程的惯性流形，J.Differ。Equ.、。，73, 2, 309-353 (1988) ·Zbl 0643.58004号 [67] Foias，C。；销售，GR；Titi，ES，耗散非线性方程惯性流形的指数跟踪和近似，J.Dyn。差异Equ。，1, 2, 199-244 (1989) ·Zbl 0692.35053号 [68] Foias，C。；曼利，OP；Temam，R.，湍流中的近似惯性流形和有效粘度，物理。流体A，3，5，898-911（1991）·Zbl 0732.76001号 [69] Foias，C。；O.曼利。；罗莎，R。；Temam，R.，Navier-Stokes方程和湍流。《数学及其应用百科全书》（2001），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0994.35002号 [70] 弗雷德里克森，JS；Kepert，SM，直接数值模拟的动态次脊尺度参数化，J.Atmos。科学。，63, 11, 3006-3019 (2006) [71] 加拉沃蒂，G。；Cohen，EGD，静止状态下的动力学系综，J.Stat.Phys。，80, 5-6, 931-970 (1995) ·Zbl 1081.82580号 [72] 加西亚-阿奇拉，B。；de Frutos，J.，非线性Galerkin方法的时间积分，IMA J.Numer。分析。，15222-224（1995年）·Zbl 0823.65091号 [73] Gent，公关；McWilliams，JC，《洛伦兹方程的中间模型解：奇异吸引子和其他现象》，J.Atmos。科学。，39, 1, 3-13 (1982) [74] 吉尔，M。；Malanote-Rizzoli，P.，《气象学和海洋学中的数据同化》，《地球物理学进展》，141-266（1991），阿姆斯特丹：爱思唯尔，阿姆斯特朗 [75] 吉尔，M。；医学博士Chekroun；Simonnet，E.，《气候动力学和流体力学：自然变异性和相关不确定性》，Physica D，237，14-17，2111-2126（2008）·Zbl 1143.76440号 [76] Givon，D。；Kupferman，R。；Stuart，A.，《提取宏观动力学：模型问题和算法》，非线性，17，6，R55-R127（2004）·Zbl 1073.82038号 [77] Golubitsky，M。；Schaeffer，DG，分岔理论中的奇点和群（1985），纽约：Springer，纽约·Zbl 0607.35004号 [78] 佐治亚州戈特瓦尔德；彼得斯，K。；Davies，L.，亚脊尺度热带对流面积分数随机参数化的数据驱动方法，Q.J.R.Meteo。Soc.，142、694、349-359（2016年） [79] 佐治亚州戈特瓦尔德；克罗姆林，DT；CLE Franzke；CLE Franzke；O'Kane，TJ，随机气候理论，非线性和随机气候动力学，209-240（2017），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 1416.62003年 [80] 医学博士Graham；Steen，PH；Titi，ES，Bénard对流系统的计算效率和近似惯性流形，J.非线性科学。，3, 1, 153-167 (1993) ·Zbl 0803.65122号 [81] 古根海默，J。；Holmes，P.，《非线性振动、动力系统和向量场分岔》，应用数学科学（1990），纽约：Springer，纽约 [82] Hald，俄亥俄州；Stinis，P.，二维和三维欧拉方程解的最佳预测和衰减率，Proc。国家。阿卡德。科学。美国，104，16，6527-6532（2007）·兹比尔1155.76036 [83] 哈拉格斯，M。；Iooss，G.，无限维动力系统中的局部分岔、中心流形和正规形式，Universitext（2011），伦敦：Springer，伦敦·Zbl 1230.34002号 [84] 哈罗，阿里：计算动力系统中的自动微分方法：定点向量场的不变流形和正规形式，IMA Note（2008） [85] 哈罗，阿拉巴马州。；卡纳代尔，M。；图J-L；卢克，A。；Mondelo，J-M，《不变量流形的参数化方法：从严格结果到有效计算》（2016），柏林：斯普林格出版社，柏林·Zbl 1372.37002号 [86] Hasselmann，K.，《PIPs和POPs：使用主相互作用和振荡模式简化复杂动力系统》，J.Geophys。决议，93，D9，11015-11021（1988） [87] JE豪根；Machenhauer，B.，应用于浅水方程的具有时间相关边界条件的光谱有限区域模型公式，Mon。《天气评论》，121,92618-2630（1993） [88] Henry，D.，半线性抛物方程几何理论，数学课堂讲稿（1981），柏林：施普林格出版社，柏林·Zbl 0456.35001号 [89] Herring，J.R.，Kraichnan，R.H.：各向同性湍流的一些近似比较。收录于：Ehlers，J.、Hepp，K.、Weidenmuller，H.A.（编辑）《统计模型与湍流》，物理学讲稿。施普林格，第148-194页（1972年）·Zbl 0233.76104号 [90] 海伍德，JG；Rannacher，R.，关于用近似惯性流形和非线性Galerkin方法进行湍流建模的问题，SIAM J.Numer。分析。，30, 6, 1603-1621 (1993) ·Zbl 0791.76042号 [91] Holm，DD，随机流体动力学的变分原理，Proc。R.Soc.A，471，2176，20140963（2015）·Zbl 1371.35219号 [92] 霍姆斯，P。；Lumley，JL；Berkooz，G。；罗利，CW，《湍流、相干结构、动力系统和对称性》（2012），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 1251.76001号 [93] Hopf，E.，一个显示湍流特征的数学示例，Commun。纯应用程序。数学。，303-322年1月4日（1948年）·兹比尔0031.32901 [94] 詹森，MF；Held，IM，使用能量一致的后向散射参数化亚脊尺度涡流效应，海洋模型。，80，36-48（2014） [95] Jolly，MS，2D Navier-Stokes方程在近似惯性流形上的分岔计算，Physica D，63，1-2，8-20（1993）·Zbl 0767.35059号 [96] Jolly，理学硕士；Kevrekidis，IG；Titi，ES，Kuramoto-Sivashinsky方程的近似惯性流形：分析和计算，Physica D，44，1，38-60（1990）·Zbl 0704.58030号 [97] Jolly，理学硕士；Kevrekidis，IG；Titi，ES，《Kuramoto-Sivashinsky方程以近似惯性形式保持耗散》，J.Dyn。不同。Equ.、。，3, 2, 179-197 (1991) ·Zbl 0738.35024号 [98] DA琼斯；Titi，ES，关于Navier-Stokes方程的准静态近似惯性流形的评论，SIAM J.Math。分析。，25, 3, 894-914 (1994) ·Zbl 0808.35102号 [99] 卡萨姆，A。；Trefethen，LN，刚性PDE的四阶时间步进，SIAM J.Sci。计算。，26, 4, 1214-1233 (2005) ·Zbl 1077.65105号 [100] 基弗，Y。；Imkeller，P。；冯·斯托奇，J-S，《平均值和气候模型》，随机气候模型，171-188（2001），纽约：施普林格出版社，纽约·Zbl 1001.34040号 [101] Kifer，Y.，具有双曲线快速运动的全耦合动力系统平均原理的另一个证明，Discret。Contin公司。动态。系统。，13, 5, 1187-1201 (2005) ·Zbl 1103.37018号 [102] Kondrashov，D。；医学博士Chekroun；Ghil，M.，数据驱动的非马尔科夫闭合模型，Physica D，297，33-55（2015）·Zbl 1392.86034号 [103] Kondrashov，D。；医学博士Chekroun；Ghil，M.，《北极海冰范围的数据自适应谐波分解和预测》，Dyn。统计爬升。系统。，3，1，1-23（2018） [104] Kondrashov，D。；医学博士Chekroun；袁，X。；吉尔，M。；Tsonis，A.，北极海冰的数据自适应谐波分解和随机建模，非线性地球科学进展，179-205（2018），纽约：施普林格，纽约 [105] Kondrashov，D。；医学博士Chekroun；Berloff，P.，多尺度Stuart Landau模拟器：应用于风力驱动的海洋环流，流体，3，21（2018） [106] Kraichnan，RH，《极高雷诺数下各向同性湍流的结构》，《流体力学杂志》。，5, 4, 497-543 (1959) ·Zbl 0093.41202号 [107] Kraichnan，RH，稳态各向同性湍流近似，物理学。流体，7，8，1163-1168（1964）·Zbl 0133.21302号 [108] Kraichnan，RH，二维和三维涡流粘度，J.Atmos。科学。，33, 8, 1521-1536 (1976) [109] Kuehn，C.，《多时间尺度动力学》（2015），纽约：Springer，纽约·Zbl 1335.34001号 [110] Kuehn，C。；斯科尔，E。；克拉普，SHL；Hovel，P.，Moment closure-a brief review，《自组织非线性系统的控制》，253-271（2016），纽约：Springer，New York [111] Kuramoto，Y。；Tsuzuki，T.，远离热平衡的耗散介质中浓度波的持续传播，Prog。西奥。物理。，55, 2, 356-369 (1976) [112] Kwasniok，F.，《使用主要交互模式简化复杂动力系统》，《物理学D》，92，1-2，28-60（1996）·Zbl 0900.76481号 [113] Kwasniok，F.，使用主相互作用模式的偏微分方程的最佳Galerkin近似，Phys。E版，55、5、5365（1997年） [114] Kwasniok，F.，正压流的经验低阶模型，J.Atmos。科学。，61, 2, 235-245 (2004) [115] Kwasniok，F.，使用动态激励基函数的简化大气模型，J.Atmos。科学。，64, 10, 3452-3474 (2007) [116] Kwasniok，F.，《基于数据的随机次脊尺度参数化：使用聚类加权建模的方法》，Philos。事务处理。R.Soc.A，370，1962，1061-1086（2012） [117] 兰道，LD；Lifshits，EM，《流体力学》（1959），牛津：佩加蒙出版社，牛津 [118] Langford，WF，周期和稳态模式相互作用导致tori，SIAM J.Appl。数学。，37, 1, 22-48 (1979) ·兹伯利0417.34030 [119] Lebiedz，D。；Siehr，J。；Unger，J.，耗散动力系统中计算慢不变流形的变分原理，SIAM J.Sci。计算。，33, 2, 703-720 (2011) ·Zbl 1225.37121号 [120] Leith，CE，非线性正常模式初始化和准营养理论，J.Atmos。科学。，37, 5, 958-968 (1980) [121] Leith，CE，亚网格尺度模型中的随机后向散射：平面剪切混合层，Phys。流体A，2，3，297-299（1990） [122] Lorenz，EN，《确定性非周期流》，J.Atmos。科学。，2013年2月20日至141日（1963年）·Zbl 1417.37129号 [123] Lorenz，EN，《吸引子集与准营养平衡》，J.Atmos。科学。，37, 8, 1685-1699 (1980) [124] 卢·F。；林，KK；Chorin，AJ，Kuramoto-Sivashinsky方程基于数据的随机模型简化，Physica D，340，46-57（2017）·Zbl 1376.35100号 [125] Ma，T.，Wang，S.：分岔理论与应用，非线性科学世界科学丛书。系列A：专著和论文，第53卷。世界科学出版有限公司，新泽西州哈肯萨克（2005）·Zbl 1085.35001号 [126] 马，T。；Wang，S.，相变动力学（2014），纽约：Springer，纽约·Zbl 1285.82004号 [127] Machenhauer，B.，《浅水模型重力振荡动力学及其在正常模式初始化中的应用》，Beitr。物理学。Atmos，50，253-271（1977）·Zbl 0362.76040号 [128] AJ Majda；蒂莫菲耶夫，I。；Vanden-Eijnden，E.，随机气候模型的数学框架，Commun。纯应用程序。数学。，54, 8, 891-974 (2001) ·Zbl 1017.86001号 [129] AJ Majda；蒂莫菲耶夫，I。；Vanden-Eijnden，E.，气候随机模式减少的系统策略，J.Atmos。科学。，60, 14, 1705-1722 (2003) [130] Mallet-Paret，J。；Sell，GR，高空间维度反应扩散方程的惯性流形，美国数学杂志。Soc.，1，4，805-866（1988）·Zbl 0674.35049号 [131] 马里恩，M。；Temam，R.，非线性Galerkin方法，SIAM J.Numer。分析。，26, 5, 1139-1157 (1989) ·Zbl 0683.65083号 [132] WD麦科姆；亨特，A。；Johnston，C.，条件模式消除和各向同性湍流的次脊模型问题，Phys。流体，13，7，2030-2044（2001）·兹比尔1184.76356 [133] McWilliams，JC，《元素剪切发电机》，J.流体力学。，699, 414-452 (2012) ·Zbl 1248.76155号 [134] Mori，H.，《运输、集体运动和布朗运动》，Prog。西奥。物理。，33, 3, 423-455 (1965) ·Zbl 0127.45002号 [135] Parish，E.，Duraisamy，K.：使用统计粗粒度对湍流进行降阶建模。摘自：第46届AIAA流体动力学会议，第3640页（2016）·Zbl 1349.76006号 [136] 教区，EJ；Duraisamy，K.，基于Mori-Zwanzig形式主义的大涡模拟动态子网格模型，J.Compute。物理。，349154-175（2017）·Zbl 1380.76024号 [137] 帕斯卡，F。；Basdevant，C.，二维湍流的非线性伽辽金方法和亚网格尺度模型，理论。计算。流体动力学。，3, 5, 267-284 (1992) ·Zbl 0775.76084号 [138] Pavliotis，G。；Stuart，A.，《多尺度方法：平均和均匀化》（2008），纽约：Springer，纽约·Zbl 1160.35006号 [139] 宾夕法尼亚州。；Magorian，T.，使用线性反演模型预测尼诺3海表面温度，J.Clim。，6, 1067-1076 (1993) [140] Piomelli，美国。；卡博特，WH；梅因，P。；Lee，S.，湍流和过渡流中的亚网格尺度后向散射，物理。流体A，3，7，1766-1771（1991）·兹比尔0825.76335 [141] Pomeau，Y。；Pumir，A。；Pelce，P.，《具有多自由度的内在随机性》，J.Stat.Phys。，37, 1-2, 39-49 (1984) [142] 马纳港，P。；Zanna，L.，海洋中尺度涡旋随机参数化，海洋模型。，79, 1-20 (2014) [143] Pötzsche，C。；拉斯穆森，M.，积分流形的泰勒近似，J.Dyn。差异Equ。，18, 2, 427-460 (2006) ·兹比尔1106.34029 [144] Pötzsche，C。；Rasmussen，M.，非自治不变和惯性流形的计算，数值。数学。，112, 3, 449-483 (2009) ·Zbl 1169.65116号 [145] Reiterer，P。；Lainscsek，C。；Schürrer，F。；Letellier，C。；Maquet，J.，《研究高维混沌的九维Lorenz系统》，J.Phys。A、 317121-7139（1998）·Zbl 0949.76080号 [146] Resseguier，V。；梅敏，E。；Chapron，B.，《位置不确定性下的地球物理流》，第一部分：随机输运和一般模型，地球物理。天体物理学。流体动力学。，111, 3, 149-176 (2017) ·Zbl 1506.76025号 [147] Resseguier，V。；梅敏，E。；Chapron，B.，《位置不确定性下的地球物理流》，第二部分：准地球营养和有效集合扩散，地球物理学。天体物理学。流体动力学。，111, 3, 177-208 (2017) ·Zbl 1506.76026号 [148] Resseguier，V。；梅敏，E。；Chapron，B.，《位置不确定性下的地球物理流》，第三部分：强湍流条件下的SQG和锋面动力学，地球物理学。天体物理学。流体动力学。，111, 3, 209-227 (2017) ·Zbl 1506.76027号 [149] Robinson，JC，Kuramoto Sivashinsky方程的惯性流形，Phys。莱特。A、 184、2、190-193（1994）·Zbl 0941.35511号 [150] 罗利，CW；Mezić，I。；Bagheri，S。；施拉特，P。；Henningson，DS，非线性流动的谱分析，J.流体力学。，641115-127（2009年）·兹比尔1183.76833 [151] Ruelle，D。；Takes，F.，关于湍流的性质，Commun。数学。物理。，167-192年3月20日（1971年）·Zbl 0223.76041号 [152] 皂甙，TP；Dijkstra，HA，双旋回风驱动海洋环流中加性噪声和非线性动力学的相互作用，J.Phys。大洋洲。，43, 2, 366-381 (2013) [153] 皂甙，TP；Lermusiaux，PFJ，连续随机动力系统的动力正交场方程，Physica D，2382347-2360（2009）·Zbl 1180.37119号 [154] 皂甙，TP；Lermusiaux，PFJ，《不确定性流中随机维数演化的动力学标准》，Physica D，241，60-76（2012）·Zbl 1244.37037号 [155] 施密德，PJ，数值和实验数据的动态模式分解，J.流体力学。，656，5-28（2010年）·Zbl 1197.76091号 [156] 施穆克，M。；普拉达斯，M。；佐治亚州帕夫廖提斯；Kalliadasis，S.，广义Kuramoto-Sivashinsky方程的新模式简化策略，IMA J.Appl。数学。，80, 2, 273-301 (2015) ·Zbl 1328.35238号 [157] Sivashinsky，GI，层流火焰中流体动力不稳定性的非线性分析-I.基本方程的推导，《宇航员学报》，4，11-12，1177-1206（1977）·Zbl 0427.76047号 [158] Stinis，P.，Kuramoto-Sivashinsky方程的随机最优预测，多尺度模型。模拟。，2, 4, 580-612 (2004) ·Zbl 1064.65006号 [159] Stinis，P.，欧拉方程的高阶Mori-Zwanzig模型，多尺度模型。模拟。，6, 3, 741-760 (2007) ·Zbl 1151.65344号 [160] Subramani，D.N.：概率区域海洋预测：随机场和最优规划，麻省理工学院博士论文（2018） [161] Taira，K。；布伦顿，SL；道森，STM；罗利，CW；科隆尼乌斯，T。；麦基恩，BJ；施密特，OT；戈尔德耶夫，S。；提奥菲利斯，V。；Ukeiley，LS，《流体流动的模态分析：概述》，AIAA J.，55，4013-4041（2017） [162] Team，R.，Variétés inertielles近似Navier-Stokes二维方程，C.R.Acad。科学。巴黎塞里二世，306349-402（1988）·Zbl 0638.76035号 [163] Temam，R.，Navier-Stokes方程的吸引子，局部化和近似，J.Fac。科学。东京大学。Soc.IA数学。，36, 629-647 (1989) ·Zbl 0698.58040号 [164] Temam，R.，《力学和物理学中的无限维动力系统》，应用数学科学（1997），纽约：施普林格出版社，纽约·Zbl 0871.35001号 [165] 特曼，R。；Wang，X.，一般情况下Kuramoto-Sivashinsky方程惯性流形最低维的估计，Differ。集成。Equ.、。，7, 3-4, 1095-1108 (1994) ·Zbl 0858.35017号 [166] Titi，ES，《关于Navier-Stokes方程的近似惯性流形》，J.Math。分析。申请。，149, 2, 540-557 (1990) ·Zbl 0723.35063号 [167] Tribbia，JJ，赤道β平面上的非线性初始化，周一。《天气评论》，107，6，704-713（1979） [168] Tribbia，JJ，关于变分简正模初始化，Mon。《天气评论》，110，6，455-470（1982） [169] 涂，JH；罗利，CW；Luchtenburg，DM；布伦顿，SL；JN Kutz，《关于动态模式分解：理论和应用》，J.Compute。Dyn公司。，1, 391-421 (2014) ·兹比尔1346.37064 [170] 议员尤克曼（Ueckermann）；Lermusiaux，PFJ；Sapsis，TP，随机流体和海洋流动动态正交方程的数值格式，J.Compute。物理。，233, 272-294 (2013) [171] Vanden-Eijnden，E.，具有随机效应的多尺度动力系统的数值技术，Commun。数学。科学。，1, 2, 385-391 (2003) ·Zbl 1088.60060号 [172] Vanderbauwhede，A.，中心流形，正态和初等分支，动力学报告，89-169（1989），纽约：施普林格，纽约·Zbl 0677.58001号 [173] 密苏里州威廉姆斯；Kevrekidis，IG；罗利，CW，库普曼算子的数据驱动近似：扩展动态模式分解，非线性科学杂志。，25, 6, 1307-1346 (2015) ·Zbl 1329.65310号 [174] 维滕贝格，RW；Holmes，P.，《Kuramoto-Sivashinsky方程中的尺度和空间局部化》，Chaos，9，2，452-465（1999） [175] 沃特斯，J。；Lucarini，V.，《分离多级系统：平均、相关性和记忆》，J.Stat.Mech。，2012年，P03003（2012年） [176] 沃特斯，J。；Lucarini，V.，《多级动力系统：将Ruelle响应理论与Mori-Zwanzig方法联系起来》，J.Stat.Phys。，151, 5, 850-860 (2013) ·Zbl 1273.82028号 [177] Young，L-S，什么是SRB度量，哪些动力学系统具有它们？，《统计物理学杂志》。，108, 5, 733-754 (2002) ·兹比尔1124.37307 [178] Young，L-S，SRB测度对非自治、随机和无限维系统的推广，J.Stat.Phys。，166, 494-515 (2016) ·Zbl 1365.37061号 [179] Zanna，L。；马纳港，P。；Anstey，J。；大卫·T。；Bolton，T.，涡均流相互作用的尺度感知确定性和随机参数化，海洋模型。，111, 66-80 (2017) [180] Zelik，S.，《耗散偏微分方程的惯性流形和有限维约化》，Proc。R.Soc.爱丁堡教派。A、 14461245-1327（2014）·Zbl 1343.35039号 [181] Zwanzig，R.，《非平衡统计力学》（2001），牛津：牛津大学出版社，牛津·Zbl 1267.82001年 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。