安东尼奥·安德烈·诺沃特尼;简·索科·奥斯基;安东尼·奥乔夫斯基 形状泛函的拓扑导数。一： 奇异摄动几何域理论。 （英语） Zbl 1409.35018号 J.优化。理论应用。 180，第2号，341-373（2019）. 摘要：形状或几何域未知问题的数学分析和数值求解是现代变分学、偏微分方程、微分几何以及数值分析理论中一个富有挑战性和丰富性的研究领域。在这一系列的三篇综述文章中，我们描述了形状未知问题的数值解的一些方面，这些问题使用关于小缺陷或缺陷的渐近分析工具来获得形状泛函的灵敏度。在经典的数值形状优化中，使用边界变化技术来应用梯度或牛顿型算法。采用速度法进行形状敏感性分析。一般来说，连续形状梯度和Hessian形状的对称部分是离散的。这种方法可以得到局部解，它在一类实际上由初始猜测定义的域中满足必要的最优性条件。A类在解决拓扑优化问题时，需要更通用的形状敏感性分析框架。一种可能的方法是奇异摄动几何域中的渐近分析。在这种框架下，构造了具有小缺陷或不完全区域边值问题（BVP）解的近似解，例如用匹配渐近展开法。利用近似解计算形状泛函，从而得到泛函的拓扑导数。特别地，拓扑导数被定义为给定形状泛函相对于一个小参数的渐近展开的第一项（校正），该小参数测量奇异域扰动的大小，如孔洞、空洞、夹杂物、缺陷、源项和裂纹。这种新的变化概念在许多相关领域都有应用，例如形状和拓扑优化、反问题、图像处理、多尺度材料设计以及涉及损伤和断裂演化现象的力学建模。在本文的第一部分中，在域分解技术的框架内详细介绍了拓扑导数的概念。例如，对于多物理中的耦合模型以及弹性力学中的接触问题，这种方法是有建设性的。在第二和第三部分中，我们描述了椭圆边值问题形状和拓扑优化的一阶和二阶数值方法，以及在上述所有领域的应用组合和数值示例。 引用于1审查引用于6文件 MSC公司： 35A35型 偏微分方程背景下的理论近似 35C20美元 偏微分方程解的渐近展开 35J15型 二阶椭圆方程 35平方米 伪微分算子作为偏微分算子的推广 49J40型 变分不等式 2012年第49季度 流形优化问题的灵敏度分析 35秒25 偏微分方程背景下的奇异摄动 49英里15 牛顿型方法 35B40码 偏微分方程解的渐近行为 关键词：区域分解;未知形状的问题;小缺陷或瑕疵;匹配渐近展开法 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.A.Novotny}等人，J.Optim。理论应用。180，第2号，341--373（2019；Zbl 1409.35018） 全文： DOI程序 参考文献： [1] Delfour，M.C.，Zolésio，J.P.：形状和几何。设计与控制进展。工业和应用数学学会（SIAM），宾夕法尼亚州费城（2001）·Zbl 1002.49029号 [2] Plotnikov，P.，Sokołowski，J.：可压缩Navier-Stokes方程。理论和形状优化。施普林格，巴塞尔（2012）·Zbl 1260.35002号 [3] Sokołowski，J.、Zolésio，J.P.：形状优化简介-形状敏感性分析。柏林施普林格出版社（1992年）·Zbl 0761.73003号 [4] Bucur，D.，Buttazzo，G.：形状优化问题中的变分方法。非线性微分方程及其应用进展，第65卷。Birkhäuser Boston，Inc.，马萨诸塞州波士顿（2005）·Zbl 1117.49001号 [5] Henrot，A.，Pierre，M.：变化与优化形式，数学与应用，第48卷。斯普林格，海德堡（2005）·Zbl 1098.49001号 [6] Allaire，G.：《用均匀化方法进行形状优化》，《应用数学科学》第146卷。斯普林格，纽约（2002）·Zbl 0990.35001号 [7] Bendsøe，M.P.：结构拓扑、形状和材料的优化。柏林施普林格（1995）·Zbl 0822.73001号 [8] Kogut，P.I.，Leugering，G.：网格区域上偏微分方程的最优控制问题：逼近和渐近分析。柏林施普林格出版社（2011）·Zbl 1253.49001号 [9] Bendsöe，M.P.，Sigmund，O.：拓扑优化。理论、方法和应用。柏林施普林格出版社（2003）·Zbl 1059.74001号 [10] Aage，N.、Andreassen，E.、Lazarov，B.S.、Sigmund，O.：结构设计的Giga-voxel计算形态发生。《自然》（2017）。https://doi.org/10.1038/nature23911 [11] 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