简·弗拉姆;奥斯拉夫松，盖斯特;Örsted，弯曲 对称\（R\）-空间上的Berezin形式与反射正性。 （英语） Zbl 1395.22005年 Fialowski，Alice（编辑）等人，第50届“Sophus Lie”研讨会，波兰德莱沃，2016年9月26日至10月1日。在卡尔·海因里希·霍夫曼教授85岁生日之际献给他。华沙：波兰科学院数学研究所（ISBN 978-83-86806-37-9/pbk）。巴纳赫中心出版物113135-168（2017）。 论文认为Berezin形式关于一些对称空间（定义、正定性、与对偶群表示的关系）。设（G）是一个连通的非紧半单李群，（mathfrak G）是它的李代数。假设（G）包含在具有李代数（mathfrak G{mathbb C}=mathfrac G\otimes{mathbbR}\mathbb C）的连通复李群（G{mathbb-C}）中。那么，（G）的中心是有限的。设（θ）是对（G）的Cartan对合，（τ）是与（θ。关于\（theta）和\（tau），分别有特征空间分解\（mathfrak g=mathfrak k+mathfrack p）和\\[\mathfrak g=\mathfrack k\cap\mathfrak h+\mathflak k\cap\ mathfrack q+\matchfrak p\cap\Mathfrakh h+\mathfrak p\cap\ Mathfrac q。\]子群（K=G^theta）是连通的，它是（G\）的一个极大紧子群。设（H）是（G^tau）中的一个开子群。所以，（mathfrak k）和（mathfrak h）是（k）和（h）的李代数。表示\（L=K\cap H\）。通过定义（{mathfrak g}^c=mathfrakh+i\mathfrakq\subset\mathfrak g_{mathbb c}），我们定义了一个新的李代数（{math frak g}^c）（（c）-对偶）。设（G^c）是具有李代数（{mathfrak G}^c）及其泛覆盖群的（G_{mathbb c}）中的解析子群。让我们假设\（G/H\）是不可约非紧因果对称空间这意味着空间（mathfrak q）包含一个不含仿射线的开放双曲（H）不变凸锥（C）。它等价于元素\（X_0\ in（\mathfrak p\cap\mathfrak q）^L）的存在，使得\（\text{ad}\，X\）具有特征值\（-1\），\（0\），\\（+1）。相应的分解是（mathfrak g=overline{mathfrak-n}+mathfrack g_{0}+math frak n）。这里，（mathfrak g_{0}）是（mathfrak g^{theta\tau}=mathfrakk\cap\mathfrakh+mathfrak-p\cap\mathfrak q\），并且（mathflak p_{max}=math frak g_0}+mathbrak n）是一个极大抛物子代数。相应的最大抛物子群（P_{max}）是（mathfrak P_{max{）的正规化子，Langlands分解是（P_}max}=MAN），其中有（A=\exp（mathbb R X_0）、（MA=G_0）和（N=\exp（mathfrak N））。设（{上划线N}=\exp（{下划线{\mathfrak N}}）。集合\（{上划线N}MAN\）在\（G\）中是开放的和稠密的，因此\（G=\上划线{上中线N}MAN}）（高斯分解，条形表示闭包），所以几乎任何\（G\在G\中）都可以用\（G={上拉线nu}\mu\alpha\nu\），\。用（α（g）表示（g）的高斯分解中的元素（α），它是唯一定义的。同质空间\[{mathcal B}=G/P_{max}\simeq K/L\]是紧对称空间（对称R空间）。让\（r）作为它的等级。在空间\（{\mathcal B}\）上，群\（G）以自然方式作用：\（B\mapsto G\cdot B\），\（G\ in G\）。让\（b_0=eP_{max}\in\mathcal b\）表示基点。子群（H）的作用不是传递的，它有（r+1）开放轨道：（{\mathcal O}_0），（{\mathcal O{_1，\ldots，{\mathcal O}_r）。它们是对称空间。轨道（{mathcal O}_0）和在某些情况下轨道（{mathcal O}_r）是黎曼空间，其他是非黎曼空间。（G）的退化主级数表示由抛物线诱导表示组成{独立}_{P_{max}}^G（1\otimes e^\lambda\otimes 1），\（lambda\ in \alpha_{mathbb C}^*\）。它们通过在具有某种齐性条件的\（G\）上的函数的Hilbert空间\（｛\mathcal H｝_\lambda \）上的平移来作用。它们也可以在\（\mathcal B\）上的函数上实现。现在，作者根据（lambda\in\alpha_{mathbb C}^*）在（C^\infty（\mathcal B））上定义了一种赫密特形式（\langle\cdot，\cdot\rangle_\lambda\），并将其称为Berezin形式设\（\rho\in\alpha^*\）由\（\ρ（X_0）=\dim{\mathfrak n}/2\）给定。那么Berezin形式定义为\[\langle f，\varphi\rangle_\lambda=\int_{\mathcal B}\int_}\mathcalB}\，\beta_\lampda（x，y）\，f（x）\，{上划线{\varphi（y）}}\，dx\，dy，\]哪里\[\β_\lambda（x，y）=\alpha\left（τ（l）^{-1}k\右）^{\lambda-\rho}，\；x=l\cdot b_0，\；y=k\cdot b_0，\；l、 以k表示。\]对于\（\lambda\ in \alpha^*\），Berezin形式相对于\（\pi_\lambda（H）\）是不变的。Berezin形式（langle\cdot，cdot\rangle_\lambda）对黎曼开放轨道（{mathcal O}_0）的限制是正半定的当且仅当（（lambda-\rho）（X_0）包含在Berezin-Wallach集中。这个集合是区间\（（-\infty，（1-r）c）\与\（r\）点\（1-r，c，\，（2-r）c，\ldots，0\）的并集，这里\（c>0\）是一些常量。对于这样的\（\lambda\），群\（H\）对\（｛\mathcal E｝/｛\mathcal N｝\）的完成进行酉作用，其中\（｛\mathcal E｝=C^\infty_C（｛\mathcal O｝_0）\）和\（｛\mathcal N｝\）是Berezin形式的空空间。然后\（｛\mathfrak g｝^C\）通过无穷小酉运算符对\（｛\mathcal E｝/｛\mathcal N｝\）进行酉作用。此表示集成到\（widetilde G^c）的不可约幺正表示（标量类型的幺正最高表示）。对于非黎曼开（H）-轨道（{mathcal O}_i），Berezin形式对（C^ infty_C（{mathcal O{i））的限制是正半定的当且仅当（lambda-\rho=0）。在这种情况下，前面的构造产生了（G^c）的平凡表示。有关整个系列，请参见[Zbl 1385.00001号].审核人：弗拉基米尔·莫尔恰诺夫（坦波夫） 引用于1文件 MSC公司： 22E46型 半单李群及其表示 43甲85 齐次空间上的调和分析 57平方米 作用于特定歧管的组 关键词：对称\（R\）-空间;Berezin形式;反射积极性;互补级数;最高权重表示 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Frahm}等人，巴纳赫中心。出版物。113、135——168（2017；Zbl 1395.22005） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] F.A.Berezin，复对称空间中的量子化，Izv。阿卡德。Nauk SSSR序列。材料39（1975），363-402；英语翻译：数学。苏联伊兹夫。9 (1975), 341-379. ·Zbl 0324.53049号 [2] T.Branson，G.Ölafsson，B.Örsted，极大抛物子群诱导表示的谱生成算子和交织算子，J.Funct。分析。135 (1996), 163-205. ·Zbl 0841.22011号 [3] G.van Dijk，S.C.Hille，极大退化表示，Berezin核和规范表示，收录于：李群和李代数，它们的表示，推广和应用，数学。申请。433，Kluwer，Dordrecht，1997，285-298·Zbl 0895.2208号 [4] G.van Dijk，S.C.Hille，与双曲空间相关的规范表示，J.Funct。分析。147 (1997), 109-139. ·Zbl 0882.22017号 [5] G.van Dijk，V.F.Molchanov，秩1准赫米特对称空间的Berezin形式，J.Math。Pures应用程序。(9) 77 (1998), 747-799. ·Zbl 0919.43007号 [6] G.van 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