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Abdellaoui，B。;Bentifour，R。

分数阶Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式及其应用。 （英语） Zbl 1373.49007号

J.功能。分析。 272，第10号，3998-4029（2017）.
小结：设\（0<s<1）和\（p>1）为\（p s<N）。假设\（\Omega\）是包含原点的有界域。从基态不等式开始R.L.弗兰克和R.地震仪[同上，255，第12号，3407–3430（2008年；Zbl 1189.26031号)]，我们得到：
(1)
（p\geqsland 2）的以下改进Hardy不等式：对于所有（q<p\），存在一个正常数（C\equiv C（Omega，q，N，s）），这样\[\开始{对齐}\mathop{\int}\limits_{\mathbb{R}^N}\matshop{\int}\limits_{\mathbb{R}^N}\frac{|u（x）-u（y）|^p}{|x-y |^{N+p s}}d x d y-\Lambda_{N，p，s}\mathop{int}\limits_{\mathbb{R}^N}\ frac{|u（x）|^p}{|x |^p}d x \\geqsland C\mathop{\int}\limits_{\Omega}\mathop{\int{\limits{\Omega}\frac{|u（x）-u（y）|^p{|x-y |^{N+qs}}d x d y，\结束{对齐}\]对于所有\（u \ in \ mathcal{C} _0（0）^\infty（\mathbb｛R｝^N）\）。这里（Lambda_{N，p，s}）是本文中Hardy不等式（1.2）中的最佳常数。
(2)
定义\（p_s^\ast=\frac{pN}{N-ps}\）并让\（beta<\frac}N-ps}{2}\），然后\[\开始{对齐}\mathop{\int}\limits_{\mathbb{R}^N}\matshop{\int}\limits_{\mathbb{R}^N}\frac{|u（x）-u（y）|^p}{|x-y|^{N+ps}|x|^\beta|y|^\beta}d y d d x \\geqsland s（N，p，s，\beta）\压裂{|u（x）|^{p_s^\ast}}{|x|^{2\beta\frac{p_s_\ast}{p}}dx）^{\压裂{p}{p_s^\ast{}}，\end{aligned}\]对于所有\（u \ in \ mathcal{C} 0^\infty（{\Omega}），其中\（S\equiv S（N，p，S，\beta）>0\）。
(3)
如果作为改进的Hardy不等式的一个结果，（beta\equiv\frac{N-ps}{2}），我们得到对于所有（q<p\），存在一个正常数（C（{Omega}）），这样\[\开始{对齐}\mathop{\int}\limits_{\mathbb{R}^N}\matshop{\int}\limits_{\mathbb{R}^N{u（x）-u（y）|^p}{|x-y|^{N+ps}|x|^\beta|y|^\beta}d y d x \\geqsland C（{\Omega}）{|u（x）|^{p_{s，q}^\ast}}{|x|^{2\beta\frac{p_}s，q{^\ast{p}}dx）\]对于所有\（u \ in \ mathcal{C} _0（0）^\infty（{\Omega}）\）其中\（p_{s，q}^\ast=\frac{pN}{N-qs}\）。
注意，前面的不等式可以理解为Callarelli-Kohn-Nirenberg不等式在[L.卡法雷利等，《作曲》。数学。53, 259–275 (1984;Zbl 0563.46024号)].

引用于39文件

MSC公司：

49J40型 变分不等式
49J20型 偏微分方程最优控制问题的存在性理论
第26天10 涉及导数、微分和积分算子的不等式
35甲15 偏微分方程的变分方法
46E35型 Sobolev空间和其他“光滑”函数空间、嵌入定理、迹定理

关键词：

分数Sobolev空间;加权Hardy不等式;非局部问题

引文：

Zbl 1189.26031号;Zbl 0563.46024号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{B.Abdellaoui}和\textit{R.Bentifour}，J.Funct。分析。272，第10号，3998--4029（2017；Zbl 1373.49007）
全文： 内政部 arXiv公司

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