丹尼尔·威尔扎克;塞尔吉奥·塞拉诺;罗伯特·巴里奥 4D Rössler系统中超混沌和混沌之间的共存和动力学联系：计算机辅助证明。 （英语） Zbl 1359.37144号 SIAM J.应用。动态。系统。 15，第1期，356-390（2016）。 摘要：最近有报道[P.C.Rech公司，“Hopfield神经网络中的混沌和超混沌”，Neurocomput。74，第17号，3361–3364（2011年；doi:10.1016/j.neucom.2011.05.016)]在经常“有噪声”的数值模拟中，很难区分混沌和超混沌。对于经典的四维（4D）Rössler模型[O.E.罗斯勒，物理。莱特。，A 71，编号2–3，155–157（1979年；Zbl 0996.37502号)]我们证明了两个性质不同的不变集（全局超混沌不变集和混沌吸引子）的共存以及它们之间的异宿连接导致了长超混沌瞬态行为，从而为噪声模拟提供了一种机制。在其他4D和高维系统中也会出现同样的现象。该证明将拓扑方法和光滑方法与严格的数值计算相结合。用覆盖关系方法证明了（超）混沌集的存在性[P.兹格利钦斯基和M.吉迪亚、J.Differ。方程式202，No.1，32-58（2004；Zbl 1061.37013号)]。我们将这种方法扩展到不稳定方向数量不增加的情况，这对于研究超混沌到混沌的传输是必要的。圆锥体条件[H.科库布等，《非线性20》，第9期，2147–2174（2007；Zbl 1126.37035号)]证明了超混沌不变集和混沌不变集的一些周期轨道之间存在同宿轨道和异宿轨道。特别是，连接超混沌和混沌的异宿轨道的可数无穷大的存在证明了长瞬态行为的存在。 引用于13文件 MSC公司： 37米25 遍历理论的计算方法（不变测度的近似、Lyapunov指数的计算、熵等） 37元29角 动力系统的同宿和异宿轨道 37摄氏度70 光滑动力系统的吸引子和排斥子及其拓扑结构 37B10号机组 符号动力学 65页20 数值混沌 关键词：混乱;超混沌;计算机辅助证明;覆盖关系;超混沌鞍 引文：Zbl 0996.37502号;Zbl 1061.37013号;Zbl 1126.37035号 软件：潮汐;洛伦兹数据库;RODES公司;CAPD（机顶盒） PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Wilczak}等人，SIAM J.Appl。动态。系统。15，第1号，356--390（2016；Zbl 1359.37144） 全文： 内政部 参考文献： [1] A.Abad、R.Barrio、F.Blesa和M.Rodriguez，https://sourceforge.net/projects/tidesodes网站和http://cody.unizar.es/tides.html。 [2] A.Abad、R.Barrio、F.Blesa和M.Rodriíguez，{\it Algorithm 924:TIDES，微分方程的泰勒级数积分器，ACM Trans。数学。软件，39（2012），5，http://dx.doi.org/10.1145/2382585.2382590 ·Zbl 1295.65138号 [3] V.S.Afraimovic、V.V.Bykov和L.P.Shilnikov，《洛伦兹吸引子的起源和结构》，苏联物理学。道克。，22（1977），第253-255页·Zbl 0451.76052号 [4] K.T.Alligood、T.Sauer和J.A.Yorke，《混沌：动力系统导论》，《数学教科书》。科学。，施普林格，纽约，1996年，http://dx.doi.org/10.1007/b97589 ·Zbl 0867.58043号 [5] T.Bakri和F.Verhulst，{准周期动力学的分歧：圆环破裂}，Z.Angew。数学。物理。，65（2014），第1053-1076页，http://dx.doi.org/10.1007/s00033-013-0363-8 ·Zbl 1315.34046号 [6] R.Barrio、F.Blesa和S.Serrano，《开放哈密顿体系中的分歧和安全区域》，新物理学杂志。，11（2009），053004，http://dx.doi.org/10.1088/1367-2630/11/5/053004 ·Zbl 1173.37049号 [7] R.Barrio，F.Blesa，and S.Serrano，《Ro¨ssler方程的定性分析：极限环和混沌吸引子的分歧》，Phys。D、 238（2009），第1087-1100页，http://dx.doi.org/10.1016/j.physd.2009.03.010 ·Zbl 1173.37049号 [8] R.Barrio、F.Blesa和S.Serrano，《耗散系统周期中心的拓扑变化》，《物理学》。修订稿。，108 (2012), 214102, http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.108.214102（网址：http://dx.doi.org/10.1103/PhysRevLett.108.214102） ·Zbl 1270.34095号 [9] R.Barrio、F.Blesa、S.Serrano和A.Shilnikov，{耗散系统双参数空间中螺旋结构的全局组织，Shilnikov-sadle-foci}，Phys。版本E（3），84（2011），035201，http://dx.doi.org/10.103/PhysRevE.84.035201 [10] R.Barrio、A.Dena和W.Tucker，《洛伦兹模型的严格和高精度周期轨道数据库》，计算。物理学。社区。，194（2015），第76-83页，http://dx.doi.org/10.1016/j.cpc.2015.04.007 ·Zbl 1344.37002号 [11] R.Barrio、M.A.Martinez、S.Serrano和A.Shilnikov，{爆发神经元的Hindmarsh-Rose模型中的宏观和微观变化结构}，《混沌》，24（2014），023128，http://dx.doi.org/10.1063/1.4882171 ·Zbl 1345.34082号 [12] R.Barrio、M.A.Martiínez、S.Serrano和D.Wilczak，《当混沌遇到超混沌时：4D Ro¨ssler模型}》，Phys。莱特。A、 379（2015），第2300-2305页，http://dx.doi.org/10.1016/j.physleta.2015.07.035 ·Zbl 1374.34144号 [13] L.Basnarkov和L.Kocarev，{Lorenz-96系统的预测改进}，非线性过程。地球物理学。，19（2012），第569-575页，http://dx.doi.org/10.5194/npg-19-569-2012 [14] H.Broer、C.Simoí和R.Vitolo，{季节强迫下Lorenz-84气候模型中的分歧和奇怪吸引子}，非线性，15（2002），第1205-1267页，http://dx.doi.org/10.1088/0951-7715/15/4/312 ·兹比尔1148.37307 [15] CAPD，{动力学中的计算机辅助证明：严格数值的C++包}\burlhttp://capd.ii.uj.edu.pl。, 2013. [16] M.P.Dafilis、F.Frascoli、P.J.Cadusch和D.T.J.Liley，{脑电介观模型中的四维混沌和间歇性}，混沌，23（2013），023111，http://dx.doi.org/10.1063/1.4804176 ·Zbl 1357.92040号 [17] M.Dhamala和Y.C.Lai，{不稳定周期轨道和非双曲混沌鞍的自然测度}，Phys。版本E（3），60（1999），第6176-6179页，http://dx.doi.org/10.103/physreve.60.6176 [18] H.R.Dullin和A.Wittek，《完全庞加莱截面和切线集》，J.Phys。A、 28（1995），第7157-7180页，http://dx.doi.org/10.1088/0305-4470/28/24/015 ·Zbl 0900.70218号 [19] M.Eiswirth、Th.-M.Kruel、G.Ertl和F.W.Schneider，《化学反应中的超混沌》，《化学》。物理学。莱特。，193（1992），第305-310页，http://dx.doi.org/10.1016/0009-2614（92）85672-w [20] N.Fenichel，{流不变流形的持久性和光滑性}，印第安纳大学数学系。J.，21（1972），第193-226页，http://dx.doi.org/10.1512/iumj.1972.21.21017 ·Zbl 0246.58015号 [21] P.Frederickson、J.L.Kaplan、E.D.Yorke和J.A.Yorke，{奇异吸引子的Liapunov维数}，《微分方程》，49（1983），第185-207页，http://dx.doi.org/10.1016/0022-0396(83)90011-6 ·Zbl 0515.34040号 [22] T.Gao和Z.Chen，{\it基于超混沌}的新图像加密算法，Phys。莱特。A、 372（2008），第394-400页，http://dx.doi.org/10.1016/j.physleta.2007.07.040 ·Zbl 1217.94096号 [23] M.Gidea和C.Robinson，{与不变环的拓扑交叉异宿连接}，《微分方程》，193（2003），第49-74页，http://dx.doi.org/10.1016/s0022-0396(03)00065-2 ·Zbl 1037.37010号 [24] J.Guckenheimer和R.F.Williams，{Lorenz吸引子的结构稳定性}，Inst.Hautes Eüctes Sci。出版物。数学。，50（1979），第59-72页，http://dx.doi.org/10.1007/bf02684769 ·Zbl 0436.58018号 [25] K.Kaneko，{从圆环到混沌的转变伴随着对称性破坏的频率锁定}，Progr。理论。物理。，69（1983年），第1427-1442页，网址：http://dx.doi.org/10.1143/ptp.69.1427 ·Zbl 1200.37032号 [26] T.Kapitaniak、Y.Maisterko和S.Popovych，{混沌-超混沌转换}，《物理学》。版本E（3），62（2000），第1972-1976页，http://dx.doi.org/10.103/physreve.62.1972 [27] U.Kirchgraber和D.Stoffer，{太阳-木星系统中彗星的可能混沌运动-基于阴影的计算机辅助方法}，非线性，17（2004），第281-300页，http://dx.doi.org/10.1088/0951-7715/17/016 ·1080.70006赞比亚比索 [28] H.Kokubu、D.Wilczak和P.Zgliczynáski，《迈克尔逊系统茧分叉的严格验证》，非线性，20（2007），第2147-2174页，http://dx.doi.org/10.1088/0951-7715/20/9/008 ·Zbl 1126.37035号 [29] A.P.Kuznetsov和Y.V.Sedova，具有超混沌和拟周期性的耦合系统，预印本，http://arxiv.org/abs/1504.00811, 2015. [30] Y.C.Lai、C.Grebogi、J.A.Yorke和I.Kan，{混沌鞍非双曲线的频率如何？}，非线性，6（1993），第779-797页，http://dx.doi.org/10.1088/0951-7715/6/5/007 ·Zbl 0785.58035号 [31] Y.-C.Lai和T.Teíl，{\it Transient Chaos}，应用。数学。科学。173，施普林格，纽约，2011年，http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4419-6987-3 ·Zbl 1218.37005号 [32] Q.Li，{\it-超混沌Ro¨ssler吸引子}中的拓扑马蹄形，Phys。莱特。A、 372（2008），第2989-2994页，http://dx.doi.org/10.1016/j.physleta.2007.11.071 ·Zbl 1220.37023号 [33] 李克强，唐思安，杨晓山，{连续超混沌变换中的超混沌集}，Commun。非线性科学。数字。模拟。，19（2014），第3718-3734页，http://dx.doi.org/10.1016/j.cnsns.2014.03.001 ·Zbl 1470.37057号 [34] T.Matsumoto、L.O.Chua和K.Kobayashi，《超混沌：实验室实验和数值验证》，IEEE Trans。《电路与系统》，33（1986），第1143-1149页，http://dx.doi.org/10.109/tcs.1986.1085862 [35] C.D.Meyer，{矩阵分析与应用线性代数}，SIAM，费城，2000年·Zbl 0962.15001号 [36] K.Mischaikow和M.Mrozek，《洛伦兹方程中的混沌：计算机辅助证明》，公牛。阿默尔。数学。Soc.（N.S.），33（1995），第66-72页，http://dx.doi.org/10.1090/s0025-5718-98-00945-4 ·Zbl 0820.58042号 [37] A.Neumaier，{方程组的区间方法}，剑桥大学出版社，英国剑桥，1991年·兹比尔0715.65030 [38] R.F.Pereira、S.E.de S.Pinto、R.L.Viana、S.R.Lopes和C.Grebogi，{不稳定维变开始时和爆裂分岔时的周期轨道分析}，混沌，17（2007），023131，http://dx.doi.org/10.1063/1.2748619 ·Zbl 1159.37383号 [39] P.Pilarczyk，{计算机辅助证明Ro¨ssler方程中存在周期轨道}，《国际微分方程会议论文集》（柏林，1999），《世界科学》，新加坡，2000年，第228-230页，http://dx.doi.org/10.1142/9789812792617_0047 ·Zbl 0969.34039号 [40] P.Pilarczyk，《离散和连续动力系统中ODE’s}周期轨迹存在性的拓扑数值方法》，《补充卷：动力系统和微分方程》，AIMS，Springfield，MO，2003年，第701-708页，http://dx.doi.org/10.3934/proc.2003.2003.701 ·Zbl 1070.34069号 [41] J.Rasmussen、E.Mosekilde和C.Reick，《两个耦合Ro¨ssler系统的分岔》，数学。计算。模拟，40（1996），第247-270页，http://dx.doi.org/10.1016/0378-4754(95)00036-4 [42] P.C.Rech，{Hopfield神经网络中的混沌和超混沌}，《神经计算》，74（2011），第3361-3364页，http://dx.doi.org/10.1016/j.neucom.2011.05.016 [43] J.Rohn，{区间矩阵的正定性和稳定性}，SIAM J.矩阵分析。申请。，15（1994），第175-184页，http://dx.doi.org/10.1137/S0895479891219216 ·兹伯利0796.65065 [44] O.E.Ro¨ssler，{\it超混沌方程}，物理学。莱特。A、 71（1979），第155-157页，http://dx.doi.org/10.1016/0375-9601(79)90150-6 ·Zbl 0996.37502号 [45] O.E.Ro¨ssler，{连续混沌方程}，物理学。莱特。A、 57（1976），第397-398页，http://dx.doi.org/10.1016/0375-9601(76)90101-8 ·Zbl 1371.37062号 [46] R.Stoop、J.Peinke、J.Parisi、B.R（ddot{o}}）hricht和R.P.Huebener，《显示混沌和超混沌的P-Ge半导体实验》，Phys。D、 35（1989），第425-435页，http://dx.doi.org/10.1016/0167-2789（89）90078-X [47] J.-G.Tong、Z.-X.Zhang、Q.-L.Sun和Z.-Q.Chen，{基于FPGA的超混沌加密无线传感器网络节点的设计}，《混沌分形理论与应用国际研讨会论文集》（IWCFTA’09），2009年，第190-194页，http://dx.doi.org/10.109/IWCFTA.2009.47 [48] W.Tucker，{\it一个严格的常微分方程求解器和Smale的第14个问题}，Found。计算。数学。，2（2002），第53-117页，http://dx.doi.org/10.1007/s002080018 ·Zbl 1047.37012号 [49] R.Vitolo、P.Glendinging和J.A.C.Gallas，《耗散流Lyapunov相图中周期中心的整体结构》，《物理学》。修订版E（1），84（2011），016216，http://dx.doi.org/10.103/PhysRevE.84.016216 [50] I.Walawska和D.Wilczak，{it\（c^1）-HO-ODEs}变分方程解的有效封闭的隐式算法，预印本，http://arxiv.org/abs/1509.07388, 2015. ·Zbl 1410.65259号 [51] F.Waldner和R.Klages，局部Lyapunov指数的对称Jacobian和Lyapunow稳定性分析重访}，混沌孤子分形，45（2012），第325-340页，http://dx.doi.org/10.1016/j.chaos.2011.12.014 [52] S.Wiggins，{动力系统中的正常双曲不变流形}，应用。数学。科学。纽约斯普林格105号，1994年，http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-4312-0 ·兹标0812.58001 [53] D.Wilczak，ŭ网址：//www.ii.uj.edu.pl/威尔扎克。 [54] D.Wilczak，《迈克尔逊系统中Shilnikov同宿轨道的存在性：计算机辅助证明》，Found。计算。数学。，6（2006），第495-535页，http://dx.doi.org/10.1007/s10208-005-0201-2 ·兹比尔1130.37415 [55] D.Wilczak，{超混沌Ro¨ssler系统异宿和同宿轨道的丰度}，离散Contin。动态。系统。序列号。B、 11（2009），第1039-1055页，http://dx.doi.org/10.3934/dcdsb.2009.11.1039 ·Zbl 1172.34032号 [56] D.Wilczak，{库兹涅佐夫系统中庞加莱映射的Smale-Williams型统一双曲吸引子}，SIAM J.Appl。动态。系统。，9（2010），第1263-1283页，http://dx.doi.org/10.1137/100795176 ·Zbl 1213.37046号 [57] D.Wilczak和P.Zgliczynáski，《Ro¨ssler系统中的周期加倍——计算机辅助证明》，Found。计算。数学。，9（2009），第611-649页，http://dx.doi.org/10.1007/s10208-009-9040-x ·Zbl 1177.37083号 [58] A.Wolf、J.B.Swift、H.L.Swinney和J.A.Vastano，《从时间序列中确定Lyapunov指数》，Phys。D、 16（1985），第285-317页，http://dx.doi.org/10.1016/0167-2789(85)90011-9 ·Zbl 0585.58037号 [59] S.Yanchuk和T.Kapitaniak，耦合Ro¨ssler系统中的混沌-超混沌转换，Phys。莱特。A、 290（2001），第139-144页，http://dx.doi.org/10.1016/S0375-9601（01）00651-X·Zbl 1023.37018号 [60] P.Zgliczynöski，《计算机辅助证明Ro¨ssler方程和He¨non-map}中的混沌》，非线性，10（1997），第243-252页，http://dx.doi.org/10.1088/0951-7715/10/016 ·Zbl 0907.58048号 [61] P.Zgliczynöski，{\it\（{C}^1\）-Lohner算法}，Found。计算。数学。，2（2002），第429-465页，http://dx.doi.org/10.1007/s102080010025 ·Zbl 1049.65038号 [62] P.Zgliczynöski，{\it覆盖关系、锥条件和稳定流形定理}，《微分方程》，246（2009），第1774-1819页，http://dx.doi.org/10.1016/j.jd.2008.12.019 ·Zbl 1185.37045号 [63] P.Zgliczynöski和M.Gidea，{多维动力系统的覆盖关系}，《微分方程》，202（2004），第32-58页，http://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2004.03.013 ·Zbl 1061.37013号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。