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詹姆斯·帕克斯

平均友好配对和等分循环。 （英语） Zbl 1326.11028号

国际数论 11，第6期，1751-1790（2015）.
什么时候？J.H.西尔弗曼和K.E.站姿【实验数学.20，第3期，329-357（2011；Zbl 1269.11056号)]推广了C.史密斯[J.Integer Seq.13，No.2，文章ID 10.2.4，18 p.（2010；Zbl 1210.11025号)]关于Lucas序列对椭圆可除序列的指数可除性，他们定义了固定椭圆曲线（E/mathbb{Q}）的长度（L）的等分圈的概念。更具体地说，定义如下：
设（E）是定义在（mathbb{Q}）上的椭圆曲线，（Lgeq2）是正整数，对于素数（p），设（a_p（E）表示Frobenius自同构的迹。不同素数的一个（L）元组（（p_1，dots，p_L）被称为长度为（E）的等分循环，如果（E）在每个素数（p_i）上有良好的约简，并且\[\#E_{p_i}（\mathbb{F}（F）_{p_i}）=p_i+1-a{p_i}（E_{p_i.}）=p_{i+1}，\]对于\（1\leq i\leq L\），其中\（p_{L+1}：=p_1\）。
Silverman和Stange提出了一个关于这种等分序列计数函数数量级的猜想。也就是说，他们的推测如下：
推测（Silverman-Stang）。设（E/\mathbb{Q}）为椭圆曲线，（L\geq2）为正整数。假设有无限多素数\（p_i\），这样\（\#E_{p_i}（\mathbb{F}（F）_{pi}）是质数。那么作为\（X\ to \ infty\），我们有\[\开始{aligned}\pi_{E，L}（X）\asymp{\sqrt{X}\over（\log X）^L}\quad&\text{if}E\text{没有复数乘法}，\\pi_{E，2}（X）\sim A_E{X\over\]其中，\（\asymp\）中的隐含常数为正数，仅依赖于\（E\）和\（L\）以及\（A_E\），是一个精确的正数。
在本文中，作者研究了平均\（\pi_{E，L}（X）\）\[C： =C（A，B）=\{E_{A，B}：|A|\leqA，\，|B|\leq B，\，\Delta（E_{A、B}）\neq0\}。\标记{\（*\）}\]他们的主要定理如下
定理：设（varepsilon>0），设（E/mathbb{Q}）是椭圆曲线，设（C）是（*）中的椭圆曲线族\[A、 B>X^\varepsilon\text{和}X^{3L/2}（\log X）^6<AB<e^{X^{1\over 6}-\varepsilon}}。\]那么，作为（X\ to \ infty），我们就有了\[{1\over|C|}\sum_{E\in C}\pi_{E，L}（X）\ll_L{\sqrt{X}\over（\log X）^L}，\]其中隐含常数仅取决于\（L\）。
审核人：Michael Th.Rassias（普林斯顿）

引用于6文件

理学硕士：

11克05 全局场上的椭圆曲线
11N13号 同余类中的素数

关键词：

有限域上的椭圆曲线;友好的一对;等分循环;二次Dirichlet函数

引文：

Zbl 1269.11056号;Zbl 1210.11025号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Parks}，《国际数论》11，第6期，1751-1790（2015；Zbl 1326.11028）
全文： 内政部 arXiv公司

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