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约翰内斯·兰基特

具有逻辑源的三维趋化系统的最终光滑性和渐近性。 （英语） Zbl 1319.35085号

J.差异。方程 258，第4期，1158-1191（2015）.
作者认为趋化系统（CS）\[\开始{aligned}u_t&=\Delta u-\nabla\cdot\left（u\nablav\right）+k\；u-\mu\；u^2，\\v_t&=\Delta v-v+u，\end{对齐}\]在有界、凸、光滑区域（Omega\subset\mathbb{R}^{N}）中的齐次Neumann边界条件下。
解决方案是在以下弱意义上寻求的：（u，v）在L^2_{text{loc}}（[0，\infty）；L^2（\Omega））乘以L^2_{text{loc}}φ\在C_{0}^{\infty}中（上划线{\Omega}\times[0，\infty）），\[\开始{aligned}-\int_{0}^{\infty}\int_}\Omega}u\；\瓦尔斐_{t}（t）-\int_{\Omega}u_0\；\varphi（0）&=\int_{0}^{\infty}\int_}\Omega}u\；\Delta\varphi\\&-\int_{0}^{\infty}\int_}\Omega}u\nabla v\cdot\nabla\varphi+k\；\int_{0}^{\infty}\int_{\Omega}u\；\varphi-\mu\；\int_{0}^{\infty}\int_{\Omega}u^2\；\varphi，\end｛对齐｝\]对于所有的（C_{0}^{infty}中的\varphi（上划线{\Omega}\times[0，\infty）），\[-\int_{0}^{\infty}\int_{\Omega}v\；\瓦尔斐_{t}（t）-\int_{\Omega}v_0\；\varphi（0）=-\int_{0}^{\infty}\int_}\Omega}\nabla v\cdot\nabla\varphi-\int_{0}^{\infty}\ int_{\Omega}v\；\varphi+\；\int_{0}^{\infty}\int_{\Omega}u\；\瓦尔斐。\]本文包含三个主要结果。第一个是一个非负弱解的存在性，该弱解可以用近似系统的解来近似，即收敛性\[\开始{aligned}u{\varepsilont}&=\Delta u{\varepsilon}-\nabla\cdot\left（u{\valepsilon}\nabla v{\varesilon}\right）+k\；u{\varepsilon}-\mu；u{\varepsilon}^2-\varepsilon\；u_{\varepsilon}^{\theta}，\\v_{\verepsilont}&=\Delta v_{\ varepsilon}-v_{varepsillon}+u_{\ verepsilon}，\end{aligned}\]在齐次Neumann边界条件和初始数据下，C（上划线{Omega}）中的（u{0，varepsilon}），W^{1，N+1}（Omega）中的。
对于（N=3）和任意（mu>0），证明了存在（k_0>0）使得如果（k<k_0），存在（T>0）以至于（u，v）是（T>T）的经典解。
第二个定理（N=3）表明，如果（kleq0），则所有解都接近平凡稳态（在一致收敛的意义上），因为（t）趋于（infty）。
关于吸收集的存在性的第三个定理（也有（N=3））处理了（k）为正且足够小的情况：存在（k_0>0）使得对于所有（k<k_0）来说，在（C^{2+alpha}（上横线{Omega}）^2）中都有（alpha>0）和有界集（B_{mu，k}），因此对于所有初始数据（u_0，v_0）\)在（L^2（Omega）乘以W^{1,2}（Omega\）中，从定理\（1）得到的解\（u，v）\承认\（T>0）的存在，使得\（u（T），v（T））对于所有\（T）大于\（T）的\（B_{mu，k}\）。还证明了对于每个固定的（μ>0），当（k）趋于零时，（B_{μ，k}）在（L^{infty}（Omega）乘以W^{1，infty{（Omega）中的直径趋于零。
在本文的第二部分中，证明了近似问题存在唯一的全局经典解。在第三部分中，使用ODE比较自变量从方程中获得近似问题的估计。在第四节中，利用热半群的（L^p-L^q）估计，证明了在（L^{infty}（Omega）乘以W^{1，infty{（Omega）中的（u_{varepsilon}，v_{varesilon}）的最终有界性。第5节包含前面描述的弱解的定义。在第六节中，利用紧性参数，近似解序列的有界性产生了原问题的弱解。在第7节中，利用第4节的结果和Ladyzhenskaya-Solonnikov-Uralseva专著（参考文献11）中关于广义解的唯一可解性的结果，证明了系统（CS）弱解的最终光滑性。最后一节讨论了系统（CS）解的长期行为，证明了定理（2）和（3）。
审核人：Jauber C.Oliveira（弗洛里亚诺波利斯）

引用于184文件

MSC公司：

35K55型 非线性抛物方程
35B65毫米 偏微分方程解的光滑性和正则性
92立方厘米 细胞运动（趋化性等）
92年第35季度 与生物、化学和其他自然科学相关的PDE
35B40码 偏微分方程解的渐近行为

关键词：

趋化性;后勤来源;存在;弱解决方案;最终平滑度;吸收装置;大时间行为
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\textit{J.Lankeit}，J.Differ。方程式258，No.4，1158--1191（2015；Zbl 1319.35085）
全文： 内政部 arXiv公司

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