巴里·马祖 用错误术语寻找意义。 （英语） Zbl 1229.11001号 牛市。美国数学。Soc.，新Ser。 45，第2期，185-228（2008）. 这是一篇写得很好的关于误差项在数论中的作用的调查文章，特别关注椭圆曲线Sato-Tate猜想的最新证明。本文的出发点是素数定理中的误差项，由\[\text{Error}（x）=\pi（x”）-\int_2^x\frac{dt}{\logt}，\]以及它与黎曼-泽塔函数零点的联系。特别是，如果黎曼假设成立，那么\[\text{Error}（x）=O_{\varepsilon}\left（x^{1/2+\varepsilon}\right）\]对于任何给定的\（\varepsilon>0\），可以用RH来表示，\（\text｛Error｝（x）\）几乎受主项的平方根的约束。然后，本文转向错误项存在的问题严格的平方根大小。这类的第一个例子涉及素数（p）表示为24平方和的数字（N（p））。事实证明\[N（p）=\压裂{16}{691}\左（p^{11}+1\右）+\文本{错误}（p），\]哪里\[|\文本{错误}（p）|\leq\frac{66304}{691}\cdot\sqrt{p^{11}}。\]（N（p））这种行为背后的事实是生成函数\[\数学{N}（q）：=\sum_{a=0}^{infty}N（a）q^a\]可以表示为艾森斯坦级数和尖点形式的总和，前者产生主项，后者产生误差项。为了更深入地理解\（N（p）\），有必要更详细地研究误差项。在这方面，一个自然的问题是标度误差（\text{error}（p）/left（（66304/691）\cdot\sqrt{p^{11}}\right））是否具有极限分布。据推测，情况确实如此，极限分布就是著名的Sato-Tate分布。这篇文章还讨论了更微妙的问题，即如何快速地处理这种分布，以及误差项中是否存在正值或负值偏差。到目前为止，Sato-Tate猜想还没有被确定为一般的尖点形式，而最近，L.Clozel、M.Harris、N.Shepherd-Barron和R.Taylor的工作已经证明了满足某种温和条件的\（\mathbb｛Q｝\）（更一般地，在全实域上）上的椭圆曲线。下面给出了相关的误差项\[\text{错误}（p）：=N_E（p）-（p+1），\]其中，\（N_E（p）\）是通过减少椭圆曲线\（E）模\（p）获得的曲线\（E_p）上的点数。由于Hasse，如果（E\）在\（p\）处有良好的约简，则\（|\text{Error}（p）|\leq2\sqrt{p}\）。作者给出了Sato-Tate猜想对标度误差（text{error}（p）/（2\sqrt{p}）的解。首先，他描述了它与对称幂函数以及与对称幂相关的伽罗瓦表示的关系。然后他介绍了潜在自同构的概念。结果表明，如果所述伽罗瓦表示的某个子集满足潜在自同构，那么Sato-Tate猜想就成立了。给出了用于建立这种潜在自同构的机器的描述。文章最后将佐藤-泰特定律解释为李群中的均匀分布（text{USP}（2））。审核人：斯蒂芬·拜尔（哥廷根） 引用于1审查引用于20文件 MSC公司： 11-02 与数论有关的研究综述（专著、调查文章） 11层03 模函数和自守函数 11层80 伽罗瓦表示 11G05号 全局场上的椭圆曲线 11国40 \（L）-品种在全球范围内的功能；Birch-Swinnerton-Dyer猜想 关键词：调查;错误术语;椭圆曲线的Sato-Tate猜想;伽罗瓦表示;潜在自同构 软件：SageMath公司;电子数据 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.Mazur}，公牛。美国数学。Soc.，新Ser。45，第2号，185--228（2008；Zbl 1229.11001） 全文： 内政部 整数序列在线百科全书： 将第n个素数（n）写成24个平方和的方法的数目。 a（n）=|E（GF（p））|=椭圆曲线E:y^2+y=x^3-x^2 mod p上有理点的数目，其中素数p是p（n）或p（n+1），根据n<5或n>=5。 参考文献： [1] James Arthur和Laurent Clozel，《简单代数、基变和迹公式的高级理论》，《数学研究年鉴》，第120卷，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1989年·Zbl 0682.10022号 [2] Shigeki Akiyama和Yoshio Tanigawa，\？值的计算-与椭圆曲线相关的函数，数学。公司。68（1999），第227、1201–1231号·Zbl 0923.11100号 [3] Clozel，L.，Harris，M.，Taylor，R.：一些自同构模（预印本）表示的自同构提升，http://www.math.harvard.edu/\（\sim\）rtaylor/·Zbl 1169.11020号 [4] James W.Cogdell和Ilya I.Piatetski-Shapiro，关于Rankin-Selberg卷积的评论，对自守形式、几何和数论的贡献，约翰霍普金斯大学出版社，马里兰州巴尔的摩，2004年，第255-278页·Zbl 1080.11038号 [5] J.E.Cremona，模椭圆曲线的算法，剑桥大学出版社，剑桥，1992年·Zbl 0758.14042号 [6] 哈罗德·达文波特（Harold 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