达米安·卡拉奎;米歇尔·范登伯格 Hochschild上同调和Atiyah类。 （英语） Zbl 1197.14017号 高级数学。 224，第5期，1839-1889（2010）. 在本文中，工作是在特征为零的域\（k\）上的环形站点上进行的。然而，本文将介绍交换环空间（（X，mathcal O_X））的结果。然后，（X）上的李代数体是李代数的一层（mathcal L），它是一个（mathcal-O_X）模，并配备了一个具有与切丛相似性质的动作（mathcall L\times\mathcalO_X\rightarrow\mathcal O_X\）。在这篇综述中，（mathcal L）表示常秩（d）的（X，mathcal O_X）上的局部自由李代数体。李代数体是微分几何代数化的一种手段。例如，它们允许我们以统一的方式处理代数/复解析和（C^\infty）情况。（李代数体的）例子是\（C^\infty\）-流形上的向量场的簇，复解析变种上的全纯向量场的簇，光滑代数变种上的代数三元向量场的簇，\（\mathcal O_X\otimes\mathfrak g\）其中\（\mathfrak g\）是作用于光滑代数簇\（X）上的代数群的李代数。作者设置也在一定程度上适用于奇异情况。（mathcal L）的Atiyah类是（text{Ext}^1_{mathcal O_X}（mathcalL，mathcalL^ast\otimes_{mathcalO_X}\mathcall L）的元素，它阻碍了（mathcali L）上的（mathcial L）-连接的存在。标量Atiyah类（a_i（\mathcal L））在H^i（X，（\bigwedge ^i\mathcall L）^\ast）中定义为（a_i（\mathcal L）=\text{AltTr}（a（\matchcal L）^i））。在\（C^\infty）或仿射情形\（a_i（\mathcal L）=0）中，上同调群\（H^i（X，（\bigwedge^i\mathcalL^\ast）\）消失。如果（X）是Kähler流形，而（mathcal T_X）是全纯向量场的层，那么（a_i（mathcar T_X）与（mathcal-TX）的第Chern类重合。（mathcal L）的Todd类定义为\（text{td}（mathcalL）=\det（q（A（mathcall L））），其中\（q（x）=x/（1-e^{-x}）\）。然后，可以将\（\text{td}（\mathcal L）\）形式化地展开为\（a_i（\mathcal L）（X）上的（mathcal L）-多向量场的层定义为（T^{mathcal L}{text{poly}}（mathcal O_X）=bigoplus_i\bigwedge^i\mathcal L。那么\（T^{mathcal L}{text{poly}}（\mathcal O_X）\）是\（X\）上的一层Gerstenhaber代数。在（X）是（C^ infty）-流形的情况下，Kontsevich引入了（X）上的多微分算子层，并且也可以构造这个概念的李代数体推广（D^ mathcal L_{text{poly}}（mathcal O_X））。与（T^\mathcal L_{text{poly}}（mathcal O_X）类似，（D^\mathcal L_}{text{poly}}）（mathcalO_X）配备了李括号和关联杯积，但这些操作仅在全局定义的同伦之前满足Gerstenhaber公理。Hochschild-Kostant-Rosenberg映射是介于（T^{mathcal L}{text{poly}}（mathcal O_X）和（D^{mathcal L}}{text}poly}（mathcal O_X））之间的拟同构。本文讨论了HKR映射与（T^{mathcal L}{text{poly}}（mathcal O_X））和（D^{mathcal L}}{text}poly}（mathcal O_X））上的李括号和杯积不兼容的问题。设（text{D}（X）为（k）-向量空间的带轮的导出范畴。这一类具有由导出的张量积给出的对称单体结构。文章的第一个主要结果是，\（\text{D}（X）\）中的映射，\[T^{mathcal L}_{text{poly}}（\mathcal O_X）\overset{text{HKR}\circ\]是\（text{D}（X）\）中Gerstenhaber代数的同构。应用超同调函子\（\mathbb H^\ast（X，-）\），作者立即得到了该映射\[\二倍体_{i，j}H^j（X，\大楔形^i\mathcal L）\overset{\text{HKR}\circ（\text{td}（\mathcalL）^{1/2}\wedge-）}\longrightarrow\mathbb{H}^\ast（X，D^{mathcal L}_{text{poly}}（\ mathcalO_X））\]是Gerstenhaber代数的同构。受限于\（X\）是光滑代数变体和\（\mathcal L=\mathcal T_X\）的设置，上面的右手边可以被视为\（X\）的Hochchild上同调\（\text｛HH｝^\ast\）。那么上述结果可以重新表述为Gerstenhaber代数存在同构\[\二倍体_{i，j}H^j（X，\bigwedge^i\mathcal L）\overset{\text{HKR}\circ（\text{td}（\mathcalT_X）^{1/2}\wedge-）}\longrightarrow\text{HH}^\ast（X）。\]仅从李代数结构来看，作者实际上证明了一个更有力的结果：设（text{HoLieAlg}（X））是拟同构倒置的（X）上DG-Lie代数的槽范畴。然后，从（文本{HoLieAlg}（X））中的同构得到了（T^{mathcal L}{text{poly}}（mathcal O_X））和（D^{mathcal L}}{text}poly}（mathcal O_X））之间的同构。这篇文章写得很好，尽管并不自圆其说。然而，有了该领域更先进的基础知识，就很容易理解重要的结果、它们的应用和证明。审核人：Arvid Siqveland（孔斯堡） 引用于1审查引用于50文件 数学溢出问题： Kontsevich形式定理如何应用于相干带轮？ 理学硕士： 14层05 滑轮、衍生类别的滑轮等（MSC2010） 14日第23天 堆栈和模问题 14层43 其他代数几何（co）同调（例如，交集、等变、劳森、Deligne（co）同源） 18G55型 非交换同伦代数（MSC2010） 53D55型 变形量化，星形产品 关键词：形變量子化;Atiyah类;李代数体;多微分算子;多矢量场;Hochschild上同调 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Calaque}和\textit{M.Van den Bergh}，高级数学。224，第5号，1839--1889（2010；Zbl 1197.14017） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 阿纳尔，D。；Manchon，D。；Masmoudi，M.，Choix des signes pour la formalitéde M.Kontsevich，太平洋数学杂志。，203, 1, 23-66 (2002) ·Zbl 1055.53066号 [2] 阿廷，M。；格罗森迪克，A。；Verdier，J.L.，《拓扑与上同调理论》，SGA4，Tome 1，数学课堂讲稿。，第269卷（1972），斯普林格·弗拉格·Zbl 0234.00007号 [3] Bezrukavnikov，R。；Kaledin，D.，费多索夫代数背景下的量化，Mosc。数学。J.，4，3，559-592（2004），782·Zbl 1074.14014号 [4] Calaque，D.，李代数体的形式，公共数学。物理。，257, 3, 563-578 (2005) ·Zbl 1079.53138号 [5] 卡拉奎，D。；Halbout，G.，泊松结构的弱量子化·Zbl 1223.53064号 [6] 卡拉克，D。；Rossi，C.，李代数和复几何中的Duflo同构讲座·Zbl 1220.53006号 [7] 卡拉奎，D。；Van den Bergh，M.，《（G_\infty）层面的全球正式性》·Zbl 1205.14024号 [8] 卡拉奎，D。；多尔古舍夫，V。；Halbout，G.，李代数体设置中Hochschild链的形式性定理，J.Reine Angew。数学。，612, 81-127 (2007) ·Zbl 1141.53084号 [9] Caldararu，A.，《Mukai配对》。II。Hochschild-Kostant-Rosenberg同构，高级数学。，194，1，34-66（2005年）·Zbl 1098.14011号 [10] Cattaneo，A.S.，《关于泊松流形、李代数体和共向子流形的积分》，Lett。数学。物理。，67, 1, 33-48 (2004) ·Zbl 1059.53064号 [11] 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