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迪内什·S·塔库尔。

函数字段算术。 （英语） Zbl 1061.11001号

新泽西州River Edge：世界科学（ISBN 981-238-839-7/hbk）。xv，第388页。(2004).
本书中提出的理论的出发点来源于L.Carlitz先生在20世纪30年代，他发现了与同余有理函数域（k={mathbbF}_q（T））相关联的指数函数（e_C（s））。在他的重要论文[《杜克数学杂志》1，137-168（1935；Zbl 0012.04904号)]Carlitz将（e_C（s））附加到一条有理曲线上，该曲线具有许多与经典指数函数（e^z）相同的特性。函数是定义在特征空间（p>0）上的分析函数，其值在特征空间中。此外，对于{mathbb F}_q[T]\中的每一个\（M\），（e_C（s）\）满足{mathbbF}_q（T）[u]\中某些\（C_M（u）\的函数方程（e_ C（Ms）=C_M。映射\（M\mapsto C_M（u）\）称为Carlitz模块1974年，D.海耶斯[《美国数学学会学报》189、77–91（1974；Zbl 0292.12018号)]建立了Kronecker-Weber定理的类比，并找到了k的最大阿贝尔扩张。
在分圆理论中，环（A={mathbbF}_q[T]\）、域（k\）、场（k\ infty）、在无穷素数和域（C\ infty\）上完成（k\，经典指数函数的实数域和复数域。
1974年，在他的基础论文中[苏联数学，Sb.23，561-592（1974）；翻译自Mat.Sb.，N.Ser.94（136），594-627（1974；Zbl 0321.14014号)],V.G.Drinfeld公司开始了秩为\（r）的一般指数函数理论。特别是\（e_C（s）\）具有秩\（1）。他展示了这些指数函数如何提供一些代数对象，即“椭圆”模块，现在称为Drinfeld模块基于Drinfeld的工作，D.海耶斯【代数和数论研究，高等数学，补充研究6，173-217（1979；Zbl 0476.12010号)]发展了一般函数场的显式类场理论。Drinfeld和Hayes的两种方法都给出了类字段，后者类似于分圆数字段，因此我们有几个与数字段的类似之处。海耶斯方法的目标是研究具有积极特征的算法。
Thakur的书全面阐述了与Drinfeld模、超越函数特殊值的算法和丢番图逼近的最新发展相关的函数场算法。这不是一本介绍性的书。它假设在代数数论、分圆经典理论和代数几何方面有坚实的背景。随着这本书的出版，以及D.戈斯[《函数域算术的基本结构》，Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete.3。福克。35.柏林：施普林格（1996；Zbl 0874.11004号)]和E.-U.Gekeler公司[“Drinfeld模数曲线”，数学课堂讲稿，1231。柏林等：Springer-Verlag（1986；Zbl 0607.14020号)]我们现在有一篇关于函数域算法的非常全面的论文。塔库尔的书是对算术函数场理论的宝贵贡献。它涵盖了《高斯书》中讨论的许多主题，并补充了该书的最新发展。还有一个新主题的处理，如超越、丢番图逼近、超几何函数、自动机和模形式。作者列举了几个有趣的例子，并讨论了许多尚未解决的问题。
这本书的内容如下：
第一章是数域和函数域之间的一些类比和差异的汇编。在这本书中，函数场意味着同余函数场。在本章中，作者还通过除数群、idèles和广义Jacobians介绍了函数场的基本事实，如Riemann-Roch定理、Riemann-Hurwitz公式、Castelnuovo和Riemann不等式、Weierstrass点、Zeta函数、黎曼假设、类场理论。
第二章介绍了Drinfeld模的基本理论。从对Carlitz指数函数和Carlitz模的一个非常愉快的介绍开始，作者给出了Drinfeld模的基本一般事实，包括非阿基米德分析、Dwork迹公式、伴随和对偶。
第三章论述了显式类场论。通过Kronecker-Weber定理，经典分圆理论表明，通过单位邻接根的扩张理论，即（{mathbbZ}）对（{matHBbC}^ast）的自然作用的扭转，与（{mat血红蛋白Q}）上的阿贝尔扩张理论相同。通过这种方式，我们显式地获得类字段。在函数域的情况下，通常的分圆扩展只给出常数扩展。D.Hayes注意到Lubin和Tate的显式局部类场理论方法与Carlitz全局理论方法的相似性，并显式构造了（{mathbb F}_q（T））的最大阿贝尔扩张。不久之后，他利用Drinfeld模理论构造了任意同余函数场的最大阿贝尔扩张。在本章中，作者提出了一阶Drinfeld模的理论，以给出类字段的显式构造。
在第4章和第5章中，作者介绍了zeta函数、高斯和和伽玛函数的研究。伽马函数有两种：第一种是算术伽马函数，它与常场扩展密切相关，第二种是几何伽马函数，它与Drinfeld分圆情况密切相关。在函数场的情况下，对有限特征中特殊zeta值的研究仍处于初始阶段。
第6章和第7章研究了秩大于1的对象的理论。主题包括椭圆模、模形式、DeRham上同调和上同调实现。
第8章给出了高斯和、伽马值和zeta值的一些应用。
第9章讨论丢番图近似，这是数域情形比函数域情形更容易理解的少数几个领域之一。
超越结果是第10章的主题，其中超越结果应用于zeta和gamma函数值。在本章中，大多数结果都是在没有证据的情况下给出的。
第11章讨论自动机和代数性及其在超越伽马值、周期、单项式和模函数中的应用。
审核人：Gabriel D.Villa-Salvador（墨西哥D.F.）

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MSC公司：

11-02 与数论有关的研究综述（专著、调查文章）
2011年9月 Drinfel模块；高维动机等。
11卢比 代数函数域的算术理论
11卢比60 分圆函数域（类组、Bernoulli对象等）
11时20分 有限域和局部域上的曲线
11J81型 超越（一般理论）
11立方米 Zeta和特性中的函数
11兰特37 类场理论
11月24日 其他字符和和高斯和
11T55型 有限域上多项式环的算法理论
14日第10天 算术地面场（有限、局部、全局）和族或fibrations
14国集团10 Zeta函数和代数几何中的相关问题（例如Birch-Swinnerton-Deyer猜想）
14H25号 曲线的算术地面场

关键词：

Drinfeld模块;椭圆模;分圆函数域;同余函数域;Carlitz模块;非体系分析;显式类场理论;高斯和;伽马和Zeta函数和值;雅各比总和;丢番图近似;\（t\）-模块;\（t）-动机;超越与非理性;自动机与代数性

引文：

Zbl 0012.04904号;Zbl 0292.12018号;Zbl 0321.14014号;Zbl 0476.12010号;Zbl 0874.11004号;Zbl 0607.14020号
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\textit{D.S.Thakur}，函数字段算术。新泽西州River Edge：《世界科学》（2004；Zbl 1061.11001）