×
陈千川;林长寿

紧致黎曼曲面中多气泡解的尖锐估计。 （英语） Zbl 1040.53046号

Commun公司。纯应用程序。数学。 55，第6期，728-771（2002）.
作者认为非线性椭圆方程的Leray-Shauder度\[\Delta_0 u+\rho\Biggl（{h（x）e^u\over h（x）e^ud\mu}-1\Biggr）=0，\tag{1}\]在紧致Riemann曲面（（M，ds））上，其中（Delta_0）是Beltrami-Laplace算子，对于（0<rho<8\pi）是（1\[{1\超过m！}（-\chi（m）+1）\cdots（-\chi（m）+m）\quad\text{对于}8m\pi<\rho<8（m+1）\pi，\]其中，\（\chi（M）\）是\（M\）的Euler特征类[C.C.陈和C.S.林同上，56，1667–1727（2003年；Zbl 1032.58010号)]. 为了证明这一说法\[\rho_k-8m\pi=｛2\over m｝\sum^m_｛j=1｝h-1（p_｛k，j｝）（\Delta_0\log h（p_｛k，j｝）+8m\pi-2K（p_｛k，j｝））\lambda_{k，j｝e^{-\lambda_{k，j｝}+O（e^{-\lambda_{k，j｝），\tag｛2｝\]其中，（lim_{k\to\infty}\rho_k=8m\pi），（p_{k，j}）是（u_k）气泡的中心，（lambda_{k、j}是（u_ k）的局部极大值，本文对此进行了证明（定理1.1）。
方程（1）是非线性泛函的欧拉-拉格朗日方程\[J_\phi（\phi）={1\over 2}\int_M|\nabla\phi|^2d\mu-\rho\log\Biggl（\int_M he^\phi d\mu\Biggr），\]并作为几何中的Nirenberg或Kazdan Warner问题出现，来自物理学中一些Chern-Simons-Higgs模型的自对偶凝聚解，等等。
在第2节中，回顾了以往关于（1）的研究。本节中的主要结果引用自[Y.Y.Li（李彦宏）、Commun。数学。物理学。200, 421–444 (1999;Zbl 0928.35057号)]. 然后，估计（rho_k）和\[\开始{对齐}\eta_{k，j}（x）&=u_k（x）-v_{k、j}，j}|^2）^2}\Biggr），\end{对齐}\]其中，\（lambda_{k，j}=u_k（p_{k、j}）\），\（nabla v_{k和j}（p_}k，j{）=nabla\log\widehat h（p_[k，jneneneep）\）和\（lampda_{k，j}=u_k x）=\rho_{k，j}（\widetilde G_j（x）+\sum_{i\neqj}\rho_{k，j}G第三节证明了（x，p{k，j}），（widetilde G_j（x）=G（x，p{k，j}）+{1\over 2\pi}\log|x|\），其中（G（x、p）是（Delta_0）的格林函数，在\（p），（2）处具有奇异性。第4节证明了一些估计。第5节（定理5.1）给出了用于计算Leray-Shauder度的\（eta_{k，j}（x）\）的更精确估计。在第6节中，给出了（mathbb{R}^2）上（1）的Dirichlet问题的类似估计（定理6.1–6.3）。
审核人：浅田明（高良渚）

引用于三评论
引用于166文件

MSC公司：

53C21号 整体黎曼几何方法，包括PDE方法；曲率限制
35J60型 非线性椭圆方程
58J60型 PDE与特殊流形结构（黎曼、芬斯勒等）的关系
58E12型 关于极小曲面的变分问题（两个独立变量中的问题）

关键词：

黎曼曲面上的非线性椭圆方程;Leray-Shauder度;哈纳克型不等式

引文：

Zbl 1032.58010号;Zbl 0928.35057号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.-C.Chen}和\textit{C.-S.Lin}，Commun。纯应用程序。数学。55，第6号，728--771（2002；Zbl 1040.53046）
全文： 内政部

参考文献：

[1] Brezis，《功能分析杂志》115第344页–（1993）·Zbl 0794.35048号 ·doi:10.1006/jfan.1993.1094
[2] Brezis，Comm偏微分方程16 pp 1223–（1991）·Zbl 0746.35006号 ·doi:10.1080/03605309108820797
[3] Caffarelli，Comm Math Phys 168第321页–（1995）·Zbl 0846.58063号 ·doi:10.1007/BF02101552
[4] 卡利奥蒂，《公共数学物理》143第501页–（1992年）·Zbl 0745.76001号 ·doi:10.1007/BF02099262
[5] 卡利奥蒂（Caglioti），《公共数学物理174》，第229页–（1995年）·Zbl 0840.76002号 ·doi:10.1007/BF02099602
[6] Chanillo，Comm Math Phys 160第217页–（1994年）·Zbl 0821.35044号 ·doi:10.1007/BF02103274
[7] Chanillo，《地质功能分析》第5卷第924页–（1995年）·Zbl 0858.35035号 ·doi:10.1007/BF01902215
[8] Chang，Calc-Var偏微分方程1第205页–（1993）·Zbl 0822.35043号 ·doi:10.1007/BF01191617
[9] Chang，《数学学报》159第215页–（1987）·Zbl 0636.53053号 ·doi:10.1007/BF02392560
[10] Chen，Comm Anal Geom 6第1页–（1998年）·兹比尔0903.35009 ·doi:10.4310/CAG.1998.v6.n1.a1
[11] Chen，Ann Inst H PoincaréAnal Nonéaire，18页271–（2001）·Zbl 0995.35004号 ·doi:10.1016/S0294-1449（00）00060-3
[12] ; 二维非线性特征值问题的奇异极限。预打印。
[13] ; 黎曼曲面上平均场方程的拓扑度。预打印·Zbl 1032.58010号
[14] Chen，Duke Math J 63第615页–（1991年）·Zbl 0768.35025号 ·doi:10.1215/S0012-7094-91-06325-8
[15] Cheng，Calc-Var偏微分方程11第203页–（2000）·Zbl 0996.53008号 ·doi:10.1007/s005260000037
[16] Cheng，Adv微分方程5 pp 1253–（2000）
[17] Chipot，J微分方程140 pp 59–（1997）·Zbl 0902.35039号 ·doi:10.1006/jdeq.1997.3316
[18] 丁，亚洲数学杂志1第230页–（1997）·Zbl 0955.58010号 ·doi:10.4310/AJM.1997.v1.n2.a3
[19] Ding，Calc Var偏微分方程7第87页–（1998）·Zbl 0928.58021号 ·doi:10.1007/s005260050100
[20] Ding，Ann Inst H PoincaréAna Nonéaire 16第653页–（1999）·Zbl 0937.35055号 ·doi:10.1016/S0294-1449（99）80031-6
[21] Ding，Comment Math Helv 74第118页–（1999）·Zbl 0913.53032号 ·doi:10.1007/s000140050079
[22] 卡兹丹，数学安（2）99 pp 14–（1974）·Zbl 0273.53034号 ·doi:10.2307/1971012
[23] Kiessling，Comm Pure Appl Math 46第27页–（1993）·Zbl 0811.76002号 ·doi:10.1002/cpa.3160460103
[24] Li，Comm Math Phys 200第421页–（1999）·Zbl 0928.35057号 ·doi:10.1007/s002200050536
[25] Li，印第安纳大学数学J 43 pp 1255–（1994）·Zbl 0842.35011号 ·doi:10.1512/iumj.1994.43.43054
[26] Lin，Duke Math J 104第501页–（2000）·Zbl 0964.35038号 ·doi:10.1215/S0012-7094-00-10437-1
[27] Lin，Calc Var偏微分方程10 pp 291–（2000）·Zbl 0996.53007号 ·doi:10.1007/s005269900026
[28] Lin，Arch Ration机械分析153第153页–（2000）·Zbl 0968.35045号 ·doi:10.1007/s002050000085
[29] 关于微分几何中的一个非线性问题。动力系统（Proc Sympos，巴伊亚大学，萨尔瓦多，1971年），273-280。学术出版社，纽约，1973年·doi:10.1016/B978-0-12-550350-1.50026-6
[30] 长崎，《无症状肛门病》3，第173页–（1990年）
[31] Nolasco，《机械结构定量分析》145第161页–（1998年）·Zbl 0980.46022号 ·doi:10.1007/s002050050127
[32] Nolasco，Calc-Var偏微分方程9，第31页–（1999）·Zbl 0951.58030号 ·doi:10.1007/s005260050132
[33] Nolasco，Comm Math Phys 213第599页–（2000年）·Zbl 0998.81047号 ·doi:10.1007/s002200000252
[34] Ricciardi，微分-积分方程11，第745页–（1998）
[35] Ricciardi，Comm Pure Appl Math 53第811页–（2000）·Zbl 1029.35207号 ·doi:10.1002/（SICI）1097-0312（200007）53:7<811:：AID-CPA2>3.0.CO；2楼
[36] Spruck，Ann Inst H PoincaréAnal Nonéaire，第12页，75–（1995）·Zbl 0836.35007号 ·doi:10.1016/S0294-1449（16）30168-8
[37] Struwe，Boll Unione Mat Ital Sez B Artic Ric Mat 8第109页–（1998）
[38] 铃木，Ann Inst H PoincaréAnal Nonéaire 9 pp 367–（1992）·Zbl 0785.35045号 ·doi:10.1016/S0294-1449（16）30232-3
[39] Tarantello，《数学物理杂志》37第3769页–（1996）·Zbl 0863.58081号 ·doi:10.1063/1.531601
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。