龙一鸣 辛路径的指数理论及其应用。 （英语） Zbl 1012.37012号 数学进步（马萨诸塞州波士顿）。207.巴塞尔：Birkhä用户。xxiv，380页（2002年）。 为了简要描述这本专著的主题，请回忆一下实矩阵（2n乘2n）-矩阵（M）被称为辛，如果（M^TJM=J），其中（J）等于（左[\begin{smallmatrix}0&-I&0\end{small matrix{right]\）。辛矩阵的空间用（text{Sp}（2n））表示，它的由矩阵组成的余维一个子空间用（（omega）表示其特征值。对于\（τ>0），辛矩阵路径的空间定义为\[P_\tau（2n）：=γ（[0，\tau]，\text｛Sp｝（2n））\冒号\γ（0）=I\｝。\]辛矩阵路径是某些矩阵值函数（B）的线性哈密顿系统（dot x=JB（t）x）的基本矩阵，而哈密顿体系理论促使引入与辛路径相关的不变量。设P_tau（2n）中的（gamma）。对于\（\mathbb{C}\）中单位圆的每个元素\（\omega\），关于\（\gamma\）的\（\omega\）的索引是对\[（i_\omega（\gamma），\nu_\omega（\gama））在{\mathbb{Z}}\times\{0，\ldots，2n\}中，\]其中，被称为零的\（nu_\omega（\gamma）\）等于\（gamma（\tau）-\omega I \）核的维数（over（mathbb{C}\）），以及被称为旋转的\（I_\omega（\gama）\），可以在非退化情况下描述为关节路径\（gama\ast\xi\）和\（text{Sp}（2n）的交点数_\ω^0），其中，（xi）用（I）连接对角线项为（2）-s和（1/2）-s序列的对角线辛矩阵。该指数是在C.康利和E.森德【公共纯应用数学37，207-253（1984；Zbl 0559.58019号)]在非退化路径的情况下，（ω=1）和（ω2），在Y.Long、E.Zehnder、C.Viterbo、J.Robbin和D.Salamon的论文中作了进一步的扩展。专著最终版本中提出的内容以及公理化特征来自论文Y.Long先生[Topol.Methods非线性分析10，第1期，47-78（1997；Zbl 0977.53075号)]. 该专著提供了索引和相关不变量的构造、性质和应用。在第1节和第2节中，给出了群（text{Sp}（2n））及其子群的代数和拓扑方面。在情况\（n=1\）中，几何描述具有特定的强度。第3节和第4节提供了关于变分方法的基本定义和结果的信息。第5节定义了指数，第6节和第7节给出了指数的性质和与莫尔斯理论的关系。在以下第8-12节中，将考虑与辛路径迭代有关的问题。特别是，它们包括对闭合测地线迭代的Bott公式的推广。最后三节介绍了该指数在非线性分析中一些非常重要的问题上的应用。在第13节中，给出了关于哈密顿系统周期解的最小周期的Rabinowitz猜想的相关结果，第14节给出了关于2n维环面上周期哈密顿系周期解个数的Conley猜想的结果，和第15节（mathbb{R}^{2n}）的紧严格凸超曲面上几何上不同的闭特征。审核人：罗曼·斯泽德尼基（克拉科夫） 引用于5评论引用于255文件 MSC公司： 37B30型 动力系统的指数理论，Morse-Conley指数 58E05型 无穷维空间中的抽象临界点理论（莫尔斯理论、Lyusternik-Shnirel’man理论等） 37J05型 动力学系统与辛几何和拓扑的关系（MSC2010） 2005年7月70日 哈密尔顿方程 37-02 关于动力学系统和遍历理论的研究综述（专著、调查文章） 70小时03 拉格朗日方程 第53天 拉格朗日子流形；马斯洛夫指数 34C25型 常微分方程的周期解 关键词：辛矩阵;辛群;Conley-Zehander指数;马斯洛夫指数;莫尔斯指数;哈密顿体系;拉格朗日系统;测地线的 引文：Zbl 0559.58019号;Zbl 0977.53075号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{Y.Long}，辛路径的指数理论及其应用。巴塞尔：Birkhäuser（2002；Zbl 1012.37012）