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刘克峰;马晓楠

关于族刚性定理。一、。 （英语） Zbl 0988.58010号

杜克大学数学。J。 102，第3期，451-474（2000）.
本文的主要结果是群（S^l）作用于纤维上的光滑丛上Dirac算子族的族刚性定理，它推广了著名的Witten刚性定理。
为了形成论文的结果，让我们考虑以下情况。设（pi:M到B）是紧闭流形（M）上具有紧闭纤维（X）的光滑丛。设\（TX=TM/\pi^*TB\）是\（M\）的垂直切线束，\（V\）是位于\（M \）上的辅助复数束，并假设\（TX \）是自旋。然后，对于（TX）上的固定自旋结构，有一类Dirac算子（D^X）被束（V）扭曲。现在，假设（D^X）对于紧Lie群（G）的（M）上的fibrewase作用是等变的（特别是我们假设（G）对（M）的作用覆盖了对（B）的平凡作用）。然后在K_G（B）中有一个索引束（文本{Ind}（D^X）），由于在（B）上的\（G）-操作的琐碎性，我们有了一个分解\[\text{Ind}（D^X）={underset W\in\widehat{G}\oplus}\operatorname{喇叭}（_G）\bigl（W，\text｛Ind｝（D^X）\bigr）\时间W，\]其中，\（\widehat G\）是\（G\）的不可约表示集。此外，等变Chern字符\（\text{ch}_g（\text{Ind}（D^X））被很好地定义为具有（H^*（B；C）中的值的g的函数。算子（D^X）在等变（K）理论水平上称为刚性，如果在K（B）中为（text{Ind}（D^X）），在等变Chern字符水平上称其为刚性，前提是{ch}_g\text{Ind}（D^X）\）独立于\（g\）。
首先，作者用（g）的不动点数据表示ch（_g\text{Ind}（D^X），即用（D^X\）的定义中涉及的向量丛的特征类来表示，这些向量丛被限定为（M^g），不动点丛为（g\），正规丛为（M\）中的（M^g\）。相关公式涉及沿Mμg纤维的积分，通过热核方法证明，并利用铋连接，如他著名的指数定理热核证明。接下来，作者将自己局限于\（G=S^1\子集C\）和Dirac算子\（D^X\otimes\Theta\）的作用，Dirac操作符由自旋束\（V\）与\（p_1（V）{S^1}=p_1（V）和（K（M）[[q^{1/2}的一些元素]]\). 在这种情况下\（\text｛ch｝_ g（D^X\otimes\Theta））在K（B）[[q^{1/2}]]中，并为（S^1）的生成器（g）写入（g=e^{2\piit}）（即（t\in[0,1]\set-nus-q），并让（q）在复半平面上变化（H={operatorname{Im}\tau>0}），作者表示{ch}_g（\text{Ind}（D^X\otimes\Theta））作为\（t）和\（tau）的函数\（F_D\），值在\（H^*（B；C）\）中。用经典Jacobiθ函数表示的函数\（F_D\）扩展到\（C\times H\）上的亚纯函数，并且\（D^X\otimes\theta\）的刚性的证明被简化为\（F_D\）独立于\（t\）的证明。因此，我们得到了一个纯解析问题，作者通过证明（F_D）是全纯的和双周期的来解决这个问题。
在本文的最后一段，作者将其刚性定理推广到具有非零异常的扭束（V），使其刚性（p_1（V）{S^1}-p_1（TX）{S*1}）等于（H^*（BS^1）=Z[[x]]）的发生器（c）的整数倍，并证明如果（n<0）或（V=0）索引束的等变Chern特征消失。
有关相关结果，请参阅作者在C.R.Acad上的早期论文。科学。，巴黎，Sér。I数学。330, 301-305 (2000;Zbl 0951.55008号).
审核人：W.Oledzki（华沙）

引用于三评论
引用于13文件

MSC公司：

58J26型 椭圆属
58J35型 流形上偏微分方程的热方程和其他抛物方程方法
58J20型 流形上的指数理论及相关不动点定理
55N34号 椭圆上同调
57卢比91 流形的等变代数拓扑
11层23 代数几何和拓扑的关系
11楼50 雅可比形式

关键词：

等变椭圆族算子;刚性

引文：

Zbl 0951.55008号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{K.Liu}和\textit{X.Ma}，杜克数学。J.102，第3号，451--474（2000；Zbl 0988.58010）
全文： 内政部 arXiv公司

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