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布鲁斯·克莱纳;伯恩哈德·利布

对称空间和欧几里德建筑的拟体刚度。 （英语） Zbl 0910.53035号

出版物。数学。，上议院。科学。 86, 115-197 (1997).
（L，C）拟测量是度量空间之间的一个映射（Phi:X\到X^*\），对于（X\）中的所有点\（X，y），我们有\（L^{-1}d（X，y）-C\leq d（Phi（X），Phi（y））\leq Ld（X、y）+C\）和\（d（X^*，\Phi（X））））<C\）。研究拟等距空间的想法可以追溯到20世纪的马斯顿·莫尔斯，从那时起被许多研究人员使用，包括莫斯托在他的强刚性定理证明中。Gromov是第一个系统地研究拟度量的人，特别是被拟度量保持的度量空间的几何性质，以及对特别感兴趣的空间（例如具有非正截面曲率的黎曼对称空间）具有拟度量的空间。
在欧几里德空间、双曲空间和复双曲空间之间相对容易找到不保留这些空间大部分几何结构的拟整数。然而，在剩余的具有严格负截面曲率的对称空间（秩1）之间，要找到拟拟几何体要困难得多。80年代末，潘苏证明了以下结果：定理。设（X）是（n>1）的四元数双曲空间（mathbb{H}H^n）或Cayley双曲平面（CaH^2）。那么，（X）的任何拟测函数都位于（X）等距的有界距离内。Mostow在其关于\（X\）的拟等距的强刚性定理中证明了这一结果，这些拟等距是紧致商流形\（X/\Gamma\）和\（X/\Gamma^*\）之间的同构等价的提升，其中\（\Gamma\）和\（\Gamma^*\）是\（X\）的离散、共紧致等距群。
在本文中，作者获得了一些与Pansu关于秩至少为2且没有欧几里德因子的对称空间的结果类似的主要结果。
定理1。对于\（1\leqi\leqk\），\（1\\leqj\leqk’\），设每个\（X_i\），（X_j’\）要么是具有非正截面曲率且无欧氏因子的非平坦不可约对称空间，要么是具有共紧仿射Weyl群的不可约厚欧氏Tits构造。设\（X=mathbb{R}^n\次X_1\次\cdots\次X_k\）和\（X^*=mathbb{R}^{n^*}\次X^*1\次\cdots\次数X^*{k^*}）为公制乘积。然后，对于每对正数（L，C），都存在正数（L^*，C^*）和（D^*），如下所示。设\（\Phi:X\到X^*\）为\（（L，C）\）拟等距。然后是（n=n ^*），（k=k ^*）和，在重新索引\（X ^*）的因子后，有\（（L ^*，C ^*）\）准整数\（Phi_i:X_i \ to X ^*_i \），因此\（d（p^*\circ\Phi，（\Phi_1\ times\cdots\times\Phi_k）\circ p）<d \），其中\（p:X\ to X_1\ times\cdots\ times X_k \）和\（p^*：X^*\到X^*1\times\cdots\times X^*_k\）是投影。
定理2。设（X）和（X^*）如定理1所示，但另外，假设（X）是一个非正截面曲率且秩至少为2的非平面不可约对称空间，或者是一个秩至少是2的厚不可约欧几里德建筑，具有共紧仿射Weyl群和Moufang Tits边界。那么，任何（（L，C）拟测量（Phi:X到X^*）都位于同调（Phi_0:X到X ^*）之间的距离（<D），其中（D）只依赖于（L）和（C）。
作者和卡波维奇在另一篇文章中强化了定理1。定理2解决了70年代Mostow的一个猜想，Leeb随后证明了定理2中的Moufang条件可以去掉。作为定理1和定理2的一个推论，作者得到了具有非正截面曲率且直到拟测量为止没有欧几里德因子的对称空间的分类：推论。设（X）和（X^*）是具有非正截面曲率且无欧氏因子的对称空间。如果\（X\）和\（X^*\）是拟等轴测的，则在将de-Rham因子上的度量乘以适当的正常数后，它们将变为等距的。
本文对建筑进行了自成体系的阐述，但为了方便起见，重新制定了公制几何。一个基本要素也是对非局部紧（因而非流形）的非正弯曲度量空间的讨论。
审核人：P.Eberlein（教堂山）

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MSC公司：

53立方35 对称空间的微分几何

关键词：

对称空间的拟度量分类;莫斯托刚性定理;欧几里德式建筑;曲率
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\textit{B.Kleiner}和\textit{B.Leeb}，出版。数学。，上议院。科学。86、115——197（1997；Zbl 0910.53035）
全文： 内政部 Numdam编号 欧洲DML

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