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西姆里奇，雅各布;J.William，Helton;伊戈尔·克莱普;斯科特·麦卡洛;克里斯托弗·纳尔逊

关于自由代数中的实单边理想。 （英语） Zbl 1283.14025号

J.纯应用。代数 218，第2期，269-284（2014）.
本文主要研究Nullstellensatz到非交换实多项式的自由代数（mathbb{R}langlex，x^{ast}rangle）的扩张。
设\（langle x，x^{ast}）是由\（x=（x_1，\ldots，x_g）\）和\（x^{last}=（x_1_{ast}，\ldot，x_g^{ast{）\）自由生成的幺半群，即，由\（2g \）非交换字母\（x=x_1、\ldot、x_g、x_1^{ast、\ldots、x_g_{ast}\）中的单词组成（包括空词\（\varnothing\），起到标识（1）的作用。设\（\mathbb｛R｝\langle x，x^｛\ast｝\langle\）表示\（x，x^｛\ast｝\）自由生成的\（\mathbb｛R｝\）-代数，即\（\mathbb｛R｝\langle x，x^｛\ast｝\langle\）的元素是非交换变量\（x，x^｛\ast｝\）中的多项式，系数为\（\mathbb｛R｝\）。设（V（I）是（mathbb{R}langlex，x^{ast}rangle）中左理想（I）的零点集。通过\（sqrt{I}\）表示左理想\（I\）的消失根，即在\（V（I）\）上消失的所有\（p\in\mathbb{R}\langlex，x^{ast}\rangle\）的集合。理想的\（I\）具有左Nullstellensatz属性，如果\（\sqrt{I}=I\）。如果多项式没有转置变量，即没有（x^{ast}），则它是解析的。（mathbb{R}\langlex，x^{ast}\rangle）的左理想（I）被称为实，如果对于每一个（A_1，\ldots，A_R，in\mathbb}\langle x，x_{ast}\rangle\），这样的\（sum_{I=1}^ra^{ast{_I，in\I+I^{ast），我们有\（A_1，\ldot，A_R\ in I\）。包含（mathbb{R}\langlex，x^{ast}\rangle）左理想的最小实理想称为（I）的实根，用（sqrt[re]{I}）表示。
在\（\mathbb｛R｝\langle x，x^｛\ast｝\langle\）中的有限生成左理想\（I\）满足\（\sqrt[re]｛I｝=\sqrt｛I｝\）。因此，当且仅当它是真实的时，\（I\）具有左Nullstellensatz属性。作者在其早期论文中证实了这一说法【Proc.Lond.Math.Soc.（3），106，No.5，1060–1186（2013；Zbl 1270.14029号)].
作者的主要目标是确定哪个左理想具有属性\（I=\sqrt{I}\）。它们给出了由次数（1）或次数（2）多项式生成的主理想的完整解。其他结果处理的是更一般的情况，但不太完整。
例如，作者研究了左单项式理想。左单项式理想是由单项式生成的左理想。如果一个单词（在语言x中的w，在语言x，x^{ast}的rangle中）不能用（u\neq 1）写成（w=uu^{ast}v），那么这个单词就不可删减。作者证明了左单项式理想是真实的当且仅当它是由左不可缩词生成的。因此，有限生成的左单体理想是实的，当且仅当它具有左Nullstellenz性质。
本文的主要结果之一：
定理。假设（I\subseteqq\mathbb{R}\langlex，x^{ast}\rangle）是由非零多项式生成的左理想。
（1） 假设（p\）是同质的。那么，当且仅当\（p\）不是形式\（p=（s+q）f\），其中\（s\）是非常数平方和，\（q^{ast}=-q\），和\（f\ in\mathbb{R}\langlex，x^{ast{rangle\）时，\（I\）才是实的。
（2） 即使对于非齐次（p），（1）on（p）中的条件也排除了（I）是真实的。
（3） 假设\（p=a+b^{ast}\），其中\（a\）和\（b\）是解析多项式。那么，对于某个非零常数，当且仅当（p=a-a^{ast}+c\）为非实数。
作者给出了一个计算机算法来确定给定的（I）是否是实理想，因此如果（I）具有左Nullstellensatz属性。
审核人：Nikolay I.Kryuchkov（梁赞）

引用于5文件

MSC公司：

第14页99 实代数与实解析几何
2016年10月 由泛性质（自由代数、余积、逆的附加等）决定的结合环
2016年05月 结合环的计算方面（一般理论）
13J30型 实代数
08B20号 自由代数

关键词：

非交换多项式的自由代数;消失根;实根;零点定理

引文：

兹比尔1270.14029

软件：

复数;NCSO大便;NCAlgebra大学
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Cimprič}等人，J.Pure Appl。代数218，第2期，269--284（2014；Zbl 1283.14025）
全文： 内政部 arXiv公司

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