哈拉尔德·加克;保罗·Hüttl;克里斯蒂安·卡勒;帕特里克·克诺普夫 弹性结构多相谱形状优化问题的尖锐界面极限。 （英语） 兹比尔1532.35443 申请。数学。最佳方案。 89，第1号，第24号论文，58页（2024年）. 作者考虑了一个有界Lipschitz域（Omega\subset\mathbb{R}^{d}），其边界被分成两个不相交部分：具有严格正（（d-1）维Hausdorff测度的（Gamma{d}）和（Gamma_{0}）。他们考虑了特征值问题：（-\nabla\cdot\lbrack\mathbb{C}（\varphi）\mathcal{E}（w^{\varepsilon，\varphi}）]=\lambda^{\varepsilon[\mathbb{C}（\varphi）\mathcal{E}（w^{\varepsilon，\varphi}）]n=0\），在\（\Gamma_{0}\）上。弹性张量是四阶张量，因此{C}（C）_｛ijkl｝\在C_｛\mathrm｛loc｝｝^｛1,1｝（\mathbb｛R｝^｛N｝；\mathbb｛R｝）\中，\（\mathbb｛C｝_｛ijkl｝=\mathbb{C}（C）_{jikl}=\mathbb{C}（C）_{ijlk}=\mathbb{C}（C）_{klij}），对于\（i，j，k，l=1，\ldots，d），\（mathbb{C}）是强制性的：对于任何固定的\（varepsilon>0），都存在\（theta_{varepsilen}>0）这样的\（\mathbb}C}（\varphi）\mathcal{B}:\mathca{B}\geq\theta_{valepsilon}\left\vert\mathcal}B}\right\vert^2}对于所有\（\varphi\in\mathbb{R}^{N}\）和所有对称矩阵\（\mathcal{B}\在\mathbb{R}^{d\times d}\）中。向量值函数（u在H{D}^{1}（\Omega；\mathbb{R}^{D}）中的应变张量（\mathcal{E}（u）=\frac{1}{2}。密度函数\（rho:\mathbb{R}^{N}\rightarrow\mathbb2{R}\）属于\（C_{mathrm{loc}}^{1,1}（\mathbb{R}^N}；\ mathbb}R}），并且一致为正：对于任何固定的\（\varepsilon>0），都有一个常数\（\rho_{0，\varepsilon}>0）这样的\（\ rho（\varphi）\geq\rho{0，\varepsilon}\）表示所有\（\varphi\in\mathbb{R}^{N}\）。作者最后介绍了最小化问题：（min_{varphi\in\mathcal{G}^{m}}J{l}^{varepsilon}（\varphi）），其中（mathcal}G}^}m}=\{varphi\ in\mathcal{1}（\ Omega；\mathbb{R}^{N}）\mid\varphi（x）\in\mathbb{右}_{+}^{N}\cap\{xi\in\mathbb{R}^{N}\mid\sum{i=1}^{N}\xi_i}=1\}）几乎适用于所有的\（x\in\Omega\），\（\ frac{1}{int_{\Omega}dx}\int_{\ Omega}\varphi（x）dx=1\}\），Psi（\lambda_{N_{1}}^{\varepsilon，\varphi}，\ldots，\lambda _{N{l}}^}{\varesilon，\varfi}）+\gamma E^{\valepsilon}（\varphi）\），（E^{varepsilon}）是金兹堡-朗道能量：（E^}varepsilen}（\varphi）=int_{\Omega}{xi\in\mathbb{R}^{N}\mid\sum_{i=1}^{N}\xi_{i}=1\}）和（gamma>0）是与表面张力相关的固定常数。作者首先回顾了他们在中证明的最优性条件[H.加尔克等，ESAIM，控制优化。Calc.Var.29，第10号论文，57页（2023年；Zbl 1512.35411号)]，作为梯度不等式。第一个主要结果证明了在对极小化问题所涉及的特征函数的适当正则性假设下，该梯度不等式解（H^{2}（\Omega；\mathbb{R}^{N}）中的varphi）的存在性。为了证明这一点，作者引入了一个正则化问题，正则化势并重写约束。他们证明了这个正则化问题在（H^{2}（\Omega；\mathbb{R}^{N}）中解的存在性。他们证明了该解关于正则化参数的一致估计，这允许传递到极限。然后，他们建立内部和外部渐近展开，以在sharp-界面极限中生成状态方程和梯度等式。他们比较了状态方程和梯度等式中内部和外部渐近展开式的主导阶项。他们陈述了完整的sharp-interface问题，在状态方程和一阶最优性条件中达到极限。他们专门针对只有一种材料的情况，设计了sharp-interface优化系统。他们将结果与G.阿勒和F.焦耳《计算方法应用机械工程》194，第30-33、3269–3290号（2005；Zbl 1091.74038号)]使用形状演算。最后给出了数值结果。审核人：阿兰·布里拉德（里迪塞姆） MSC公司： 74年第35季度 PDE与可变形固体力学 35C20美元 偏微分方程解的渐近展开 35P05号 偏微分方程线性谱理论的一般主题 35兰特 偏微分方程的自由边界问题 第49季度10 优化最小曲面以外的形状 49卢比 算子特征值的变分方法 74B05型 经典线弹性 74P05号 固体力学中的柔度或重量优化 第74页第15页 固体力学优化问题的拓扑方法 关键词：形状和拓扑优化;结构优化;特征值问题;sharp-接口极限;形式匹配渐近;相场模型;线性弹性 引文：Zbl 1512.35411号;Zbl 1091.74038号 软件：FEniCS公司;PETSc公司;SLEPc公司;SyFi系统 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{H.Garcke}等人，应用。数学。最佳方案。89，第1号，第24号论文，58页（2024年；Zbl 1532.35443） 全文： DOI程序 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] Abels，H.，Garcke，H.，Grün，G.：不同密度不可压缩两相流的热力学一致、无框架扩散界面模型。数学。模型方法应用。科学。22(3), 1150013, 40 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