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费德里科·格雷科;布鲁诺·伊纳佐;费德里科·波洛尼

矩阵符号函数及其倒数的Padé迭代是最优的。 （英语） Zbl 1233.65037号

线性代数应用。 436，第3期，472-477（2012）.
计算矩阵符号函数的一种常见方法是通过形式\（z_{k+1}=\phi（z_k）\）的有理迭代，对于在\（1）和\（-1）处具有吸引性不动点的有理函数\（\phi[z）\）。这种有理函数的一类是Padé系列迭代定义如下。
给定表示复数的变量\（z）和\（xi=1-z^2），我们得到：\[\文本{符号}（z）=\frac{z}{（z^2）^{1/2}}=\frac{z}{（1-\xi）^{1/2}}=zf（\xi，\]其中\（f（\xi）=（1-\xi，^{-1/2}\）。让\（frac{P_{m，n}（\xi）}{Q_{m、n}\[z_{k+1}=\压裂{z_kP{（m，n）}，\]其中，（P_{（m，n）}（z））和（Q_{。基于倒数的迭代表现类似。
给定一个整数（s>1），并允许非负整数（m，n）在所有值上变化，使得（m+n=2s-1），族（z_{k+1}=\phi_{（m，n）}（z_k）是Padé族及其倒易族的并集。作者证明了函数（phi{（m，n）}）定义了在局部收敛到（1）和（-1）且阶数至少为（s）的有理迭代中分子和分母的度数之和最小的唯一有理迭代。虽然不能保证这样的迭代可以以最小的代价进行计算，但这个属性对于计算效率来说仍然很重要，因为在一般情况下，使用霍纳格式，计算（frac{a（z）}{b（z）{）}所需的算术运算次数与（a）和（b）的次数之和直接相关。
审核人：艾莉森·里维斯（鲍伊）

引用于8文件

MSC公司：

65小时04 多项式方程根的数值计算
65楼30 其他矩阵算法（MSC2010）
65埃05 复杂分析中数值方法的一般理论（势理论等）
41A21号机组 帕德近似
30立方厘米 多项式、有理函数和一个复变量的其他分析函数的零点（例如，具有有界Dirichlet积分的函数的零点）

关键词：

有理迭代;矩阵函数;矩阵符号函数;局部收敛;帕德近似;根查找算法;牛顿法;牛顿-舒尔茨迭代;哈雷方法;计算效率;霍纳方案

软件：

mf工具箱
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\textit{F.Greco}等人，《线性代数应用》。436，第3472-477号（2012年；兹bl 1233.65037）
全文： 内政部 arXiv公司

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