海弗里德·佩尔;巴勃罗·帕里洛。 计算有理系数的平方和分解。 （英语） 兹比尔1156.65062 西奥。计算。科学。 409，第2号，269-281（2008）. 作者总结：非负多项式的平方和（SOS）分解通常使用凸优化求解器进行数值计算。虽然基本的浮点方法原则上允许任意精度的数值近似，但计算的解永远不会精确。在几何定理证明等许多应用中，获得能够被精确验证的解是很有意义的。本文提出了一种数值符号法，它利用数值技术的效率来获得近似解，然后将其用作计算精确有理结果的起点。我们表明，在严格的可行性假设下，半定程序的近似解足以获得合理的分解，并量化数值误差与所需舍入公差之间的关系。此外，我们还给出了计算机代数系统Macaulay 2的一个实现方法。审核人：斯特凡·米提特鲁（布库雷什蒂） 引用于47文件 MSC公司： 65千5 数值数学规划方法 68瓦30 符号计算和代数计算 90立方 非线性规划 关键词：符号-数字方法;代数几何;平方和;半定规划 软件：塞杜米;YALMIP公司;麦考利2;GloptiPoly公司;CSDP公司;Sostools公司;SDPA公司;SDPT3系统;硫酸钠m2 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{H.Peyrl}和\textit{P.A.Parrilo}，Theor。计算。科学。409，第2号，269--281（2008；Zbl 1156.65062） 全文： 内政部 参考文献： [1] H.Anai，P.A.Parrilo，半定规划的凸量词消除，收录于：科学计算中计算机代数国际研讨会论文集，CASC 20032003；H.Anai，P.A.Parrilo，半定规划的凸量词消除，收录于：科学计算中计算机代数国际研讨会论文集，CASC 20032003 [2] C.Bachoc，F.Vallenton，半定规划中亲吻数的新上界。arXiv:math/0608426v4；C.Bachoc，F.Vallenton，半定规划中亲吻数的新上界。arXiv:math/0608426v4·Zbl 1223.90039号 [3] Borchers，B.，半定编程的C库，Optim。方法。软件，11，1363-623（1999）·Zbl 0973.90524号 [4] Borwein，J.M。；Wolkowicz，H.，con-convex编程问题的面部简化，J.Aust。数学。Soc.序列号。A、 30,3369-380（1980-81）·Zbl 0464.90086号 [5] 博伊德，S。；Vandenberghe，L.，《凸优化》（2004），剑桥大学出版社·Zbl 1058.90049号 [6] Choi，医学博士。；Lam，T.Y。；Reznick，B.，实多项式的平方和，（K\）理论和代数几何：与二次型和除法代数的联系\（K）-理论和代数几何：与二次型和除法代数的联系，Proc。交响乐。纯数学。，第58卷（1995年），美国。数学。Soc.：美国。数学。Soc.Providence，RI），邮编：103-126·Zbl 0821.11028号 [7] 多尔蒂，A.C。；帕里罗，P.A。；Spedalieri，F.M.，《区分可分离态和纠缠态》，《物理学》。修订稿。，88, 18, 187904 (2002) [8] K.Fujisawa、M.Kojima、K.Nakata、M.Yamashita、SDPA（半定规划算法）。可从以下位置获得http://grid.r.dendai.ac.jp/sdpa; K.Fujisawa、M.Kojima、K.Nakata、M.Yamashita、SDPA（半定规划算法）。可从以下位置获得http://grid.r.dendai.ac.jp/sdpa [9] Golub，G。；van Loan，C.，（矩阵计算。矩阵计算，《约翰·霍普金斯数理科学丛书》（1989），约翰·霍普金斯大学出版社：约翰·霍普金斯大学出版社，马里兰州巴尔的摩）·Zbl 0733.65016号 [10] D.R.Grayson，M.E.Stillman，Macaulay 2，代数几何研究软件系统。可从以下位置获得http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2网站; D.R.Grayson，M.E.Stillman，Macaulay 2，代数几何研究软件系统。可从以下位置获得http://www.math.uiuc.edu/Macaulay2网站 [11] Harrison，J.，《通过平方和验证非线性实公式》（Schneider，K.；Brandt，J.），《第20届国际高阶逻辑定理证明会议论文集》，第20届高阶逻辑理论证明国际会议论文集，TPHOLs，2007年。第20届高阶逻辑定理证明国际会议论文集。第20届高阶逻辑定理证明国际会议论文集，TPHOLs 2007，Lect。注释计算。科学。，第4732卷（2007），《斯普林格·弗拉格：斯普林格尔·弗拉格·凯泽斯劳滕》，德国）·Zbl 1144.68357号 [12] D.Henrion、J.B.Lasserre、J.Löfberg、Gloptipoly 3。可从以下位置获得网址：http://www.laas.fr/henrion/software/gloptipoly3；D.Henrion、J.B.Lasserre、J.Löfberg、Gloptipoly 3。可从以下位置获得网址：http://www.laas.fr/henrion/软件/gloptipoly3 [13] C.J.Hillar，完全实域上的平方和是平方的有理和。arXiv:0704.2824v2；C.J.Hillar，全实域上的平方和是有理平方和。arXiv:0704.2824v2 [14] 霍恩，R.A。；Johnsob，C.R.，矩阵分析（1995），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社 [15] 琼斯，W。；Thron，W.，（续分式：分析理论和应用。续分式，分析理论与应用，数学及其应用百科全书，第11卷（1980），Addison-Wesley出版社）·Zbl 0445.30003号 [16] I.Klep，M.Schweighofer，厄米平方和和BMV猜想。可从以下位置获得http://perso.univ-rennes1.fr/markus.schweighofer/publications/bmv.pdf; I.Klep，M.Schweighofer，厄米平方和和BMV猜想。可从以下位置获得http://perso.univ-rennes1.fr/markus.schweighofer/publications/bmv.pdf ·Zbl 1158.15018号 [17] Landau，E.，Un ber die Darstellung定义人Funktitonen als Summe von Quadraten，数学。安，62，290-329（1906） [18] Lasserre，J.B.，多项式全局优化与矩问题，SIAM J.Optim。，11, 796-817 (2001) ·Zbl 1010.90061号 [19] Lenstra，A.K。；Lenstra，H.W。；Lovász，L.，有理系数因式分解多项式，数学。《年鉴》，261，4，515-534（1982）·Zbl 0488.12001号 [20] J.Löfberg，YALMIP:MATLAB中建模和优化的工具箱，收录于：《CACSD会议论文集》，台湾台北，2004年。可从以下位置获得网址：http://control.ee.ethz.ch/joloef/yalmip.php；J.Löfberg，YALMIP:MATLAB中建模和优化的工具箱，收录于：《CACSD会议论文集》，台湾台北，2004年。可从以下位置获得http://control.ee.ethz.ch/joloef/yalmip.php [21] Nesterov，Y.，《平方函数系统与优化问题》，（Frenk，J.；Roos，C.；Terlaky，T.；Zhang，S.，《高性能优化》（2000），Kluwer学术出版社，405-440·Zbl 0958.90090号 [22] J.Nie，传感器网络定位、计算优化和应用的平方和法（出版中），在线发布于http://www.springerlink.com/content/xj58880l17615817/; J.Nie，传感器网络定位、计算优化和应用的平方和法（出版中），在线发布于http://www.springerlink.com/content/xj58880l17615817/ [23] J.Nie，K.Ranestad，B.Sturmfels，半定规划的代数度。arXiv:math/0611562v2；J.Nie，K.Ranestad，B.Sturmfels，半定规划的代数度。arXiv:math/0611562v2 [24] 帕里罗，P。；Sturmfels，B.，《多项式函数最小化》，（算法和定量实代数几何，算法和定量真代数几何，离散数学和理论计算机科学DIMACS系列，第60卷（2003年），Amer。数学。Soc），83-99·兹比尔1099.13516 [25] P.A.Parrilo，稳健性和优化中的结构化半定程序和半代数几何方法，加州理工学院博士论文，2000年；P.A.Parrilo，稳健性和优化中的结构化半定程序和半代数几何方法，博士论文，加利福尼亚理工学院，2000年 [26] Parrilo，P.A.，半代数问题的半定规划松弛，数学。程序。，96, 2, 293-320 (2003) ·Zbl 1043.14018号 [27] 帕里罗，P.A。；Peretz，R.，《圆形填料的几何不等式》，离散计算。地理。，31, 3, 357-367 (2004) ·Zbl 1059.51020号 [28] H.Peyrl，P.A.Parrilo，SOS.m2，Macaulay 2的平方和包。可从以下位置获得网址：http://www.control.ee.ethz.ch/hpeyrl/索引.php；H.Peyrl，P.A.Parrilo，SOS.m2，Macaulay 2的平方和包。可从以下位置获得网址：http://www.control.ee.ethz.ch/hpeyrl/索引.php [29] Pourchet，Y.，Sorme de carrés des polynómesáune indétermine e e Sur un corps de nombres algébriques，《算术学报》。，19, 89-104 (1971) ·Zbl 0244.10019号 [30] 权力，V。；Wörmann，T.，实多项式平方和的算法，J.Pure Appl。代数，12799-104（1998）·Zbl 0936.11023号 [31] Prajna，S。；Jadbabaie，A。；Pappas，G.J.，使用屏障证书进行最坏情况和随机安全验证的框架，IEEE Trans。自动化。控制，52，8，1415-1428（2007）·Zbl 1366.93711号 [32] S.Prajna，A.Papachistodoulou，P.Seiler，P.A.Parrilo，SOSTOOLS：MATLAB的平方和优化工具箱。可从以下位置获得http://www.cds.caltech.edu/sostoolshttp://www.mit.edu/parrilo/sostools；S.Prajna，A.Papachristodoulou，P.Seiler，P.A.Parrilo，SOSTOOLS：MATLAB的平方和优化工具箱。可从以下位置获得http://www.cds.caltech.edu/sostoolshttp://www.mit.edu/香肠 [33] Prajna，S。；帕里罗，P.A。；Rantzer，A.，凸优化非线性控制综合，IEEE Trans。自动化。控制。，49, 2, 310-314 (2004) ·Zbl 1365.93164号 [34] Prestel，A。；Delzell，C.N.，《正多项式》（2001），施普林格出版社·Zbl 0987.13016号 [35] Rajwade，A.R.，（Squares.Squares，伦敦数学学会讲义，第171卷（1993））·Zbl 0785.11022号 [36] Reznick，B.，《极限psd形式与几个术语》，杜克数学。J.，45，363-374（1978）·Zbl 0395.10037号 [37] Reznick，B.，《希尔伯特第17个问题的一些具体方面》（Real Algebraic Geometry and Ordered Structures），《实代数几何与有序结构》，《当代数学》，第253卷（2000年），Amer。数学。Soc：美国。数学。Soc Providence，RI），251-272·Zbl 0972.11021号 [38] M.Schweighofer，Algorithmische Beweise für Nichtnegive-und Positivestellensätze，帕索大学硕士论文，1999年；M.Schweighofer，Algorithmische Beweise für Nichtnegive-und Positivestellensätze，帕索大学硕士论文，1999年 [39] Shor，N.Z.，多项式函数的全局最小界类，控制论，23，6733-734（1987）·Zbl 0648.90058号 [40] Sturm，J.F.，使用SeDuMi 1.02，一个用于对称锥体优化的MATLAB工具箱。内部点方法，Optim。方法。软件，11-12，1-4，625-653（1999）·Zbl 0973.90526号 [41] TüTüncü，R.H。；Toh，K.C。；Todd，M.J.，使用SDPT3求解半定二次线性程序，数学。程序。序列号。B、 95、189-217（2003）·Zbl 1030.90082号 [42] 范登伯格，L。；Boyd，S.，《半定规划》，SIAM Rev.，38，1，49-95（1996）·Zbl 0845.65023号 [43] H.-C.von Bothmer，K.Ranestad，半定规划中代数次数的一般公式。数学。AG/0701877；H.-C.von Bothmer，K.Ranestad，半定规划中代数次数的一般公式。数学。AG/0701877·Zbl 1185.14047号 [44] Waki，H。；Kim，S。；小岛，M。；Muramatsu，M.，具有结构稀疏性的多项式优化问题的平方和和和半定规划松弛，SIAM J.Optim。，17、1、218-242（2006），可从http://www.is.titech.ac.jp/小岛/SparsePOP·Zbl 1109.65058号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。