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大卫·克雷奇克;弗拉基米尔·洛托里奇克

紧集外部最低Robin特征值的优化。二： 非凸域和更高维。 （英语） Zbl 1456.35147号

潜在分析。 52，编号4，601-614（2020）.
研究了有界光滑开集（Omega\subset\mathbb{R}^d），（d\geq2）的外部（Omega ^{mathrm{ext}}）上Robin-Laplacian最小特征值的等周问题。用（lambda_1^\alpha（Omega^{mathrm{ext}}）表示受边界条件约束的（L^2（Omega{mathrm{ext}））中负拉普拉斯谱的最小值\[\压裂{\partial u}{\partical n}=\alpha u\quad\text{on}~\partial\Omega，\]其中，Robin参数\（alpha<0\）是一个常数，\（frac{\partial}{\particaln}\）表示相对于\（Omega）的外单位法向量的导数（即。内部的法线指向\（\Omega^{\mathrm{ext}\）；在维度\（d=2\）中，\（lambda_1^\alpha（\Omega^{\mathrm{ext}}）\）总是一个离散的负特征值，而对于\（d\geq3\），低于某个阈值的所有\（\alpha\）都是如此。
在本文的第一个主要结果中，对于（d=2）、固定（alpha<0）和固定（c>0）\[\max_{\frac{|\partial\Omega|}{N_\Omega}=c}\lambda_1^\alpha（\Omegan^{\mathrm{ext}}）=\lambda _1^\alpha（B^{\mathrm{ext}}，\]其中，最大值取所有光滑的、有界的开集\（\Omega\），这些开集由有限数量的连通分量组成（后一个数由\（N_\Omega\）表示），使得\（\frac｛|\partial\Omega|｝｛N_\Omega｝＝c\）和\（B\）是具有周长\（c\）的圆盘。这改进了同一作者早期的结果，其中只允许凸\（\Omega\）。
第二个主要结果涉及高维情形（d\geq3）；这里需要\（\Omega\）的凸性。用符号表示\[\mathcal{M}（\partial\Omega）：=\frac{1}{|\partial \Omega|}\int_{\partial/Omega}\left（\frac}\kappa_1+\dots+\kappa{d-1}}{d-1{right）^{d-1neneneep，\]其中，\（\kappa_1，\dots，\kappa{d-1}）表示\（\partial\Omega）的主曲率，作者证明，对于每个\（\alpha<0）和\（c>0），\[\max_{mathcal{M}（\partial\Omega）=c}\lambda_1^\alpha，\]其中最大值取所有凸的、光滑的、有界的开集\（\Omega\），使得\（\mathcal{M}（\partial\Omega）=c\），并且\（B\）是带有\（\mathcal{M}（\ partialB）=c~）的球。
关于第一部分，请参见[作者J.Convex Anal.25，No.1，319–337（2018；Zbl 1401.35223号)].
审核人：乔纳森·罗勒（斯德哥尔摩）

引用于13文件

MSC公司：

第35页第15页 偏微分方程背景下特征值的估计
58J50型 光谱问题；光谱几何；流形上的散射理论

关键词：

罗宾·拉普拉斯（Robin Laplacian）;负边界参数;最低特征值;谱等周不等式;谱等容不等式;平行坐标;临界耦合;Willmore能量

引文：

Zbl 1401.35223号
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\textit{D.Krejčiřik}和\textit{V.Lotoreichik}，潜在分析。52，编号4601-614（2020；兹bl 1456.35147）
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参考文献：

[1] 阿布拉莫维茨，理学硕士；IA Stegun，《数学函数手册》（1964），纽约：多佛，纽约·兹标0171.38503
[2] 亚历山德罗夫，AD，《球体的特性》，Ann.Mat.Pura Appl。，58, 4, 303-315 (1962) ·Zbl 0107.15603号 ·doi:10.1007/BF02413056
[3] Antunes，PRS；弗雷塔斯，P。；Krejčiřík，D.，负边界参数Robin特征值的界和极值域，高级计算变量，10，357-380（2017）·Zbl 1375.35284号 ·doi:10.1515/acv-2015-0045
[4] Bareket，M.，关于边值问题第一特征值的等周不等式，SIAM J.Math。分析。，8, 280-287 (1977) ·Zbl 0359.35060号 ·数字对象标识代码：10.1137/0508020
[5] Behrndt，J。；兰格，M。；Lotoreichik，V.公司。；Rohleder，J.，《拟边界三元组和半有界自共轭扩张》，Proc。罗伊。Soc.爱丁堡教派。A、 147895-916（2017）·兹比尔1386.35290 ·doi:10.1017/S0308210516000421
[6] Bossel，M-H，《膜修复：Rayleigh-Faber-Krahn et de l’inégalit de Cheeger的延伸》，C.R.Acad。科学。巴黎。我数学。，302, 47-50 (1986) ·Zbl 0606.73018号
[7] 布里亚戈，YD；弗吉尼亚州Zalgaller，《几何不等式》（1988），柏林：施普林格出版社，柏林·Zbl 0633.53002号
[8] Daners，D.，《任意空间维Robin问题的Faber-Krahn不等式》，数学。年鉴，335767-785（2006）·Zbl 1220.35103号 ·doi:10.1007/s00208-006-0753-8
[9] Daners，D.，广义不定Robin问题的主特征值，潜在分析。，38, 1047-1069 (2013) ·Zbl 1264.35152号
[10] 弗雷塔斯，P。；Krejčiřík，D.，带负边界参数的第一Robin特征值，高级数学。，280, 322-339 (2015) ·Zbl 1317.35151号 ·doi:10.1016/j.aim.2015.04.023
[11] Hardy，G.H.，Littlewood，J.E.，Pólya，G.：不平等。第二。第一。平装版，剑桥大学出版社，剑桥（1988）·Zbl 0634.26008号
[12] Henrot，A.，椭圆算子特征值的极值问题（2006），巴塞尔：Birkhäuser，巴塞尔·兹伯利1109.35081
[13] Henrot，A.：形状优化和光谱理论。德格鲁伊特，华沙（2017）·Zbl 1369.49004号
[14] 加藤，T.，线性算子的扰动理论（1966），柏林：施普林格出版社，柏林·Zbl 0148.12601号
[15] Klingenberg，W.，微分几何课程（1978），纽约：Springer，纽约·Zbl 0366.53001号
[16] Krejčiřk，D。；Lotoreichik，V.，紧集外部最低Robin特征值的优化，J.凸分析。，25, 319-337 (2018) ·Zbl 1401.35223号
[17] Krejčiřk，D。；北卡罗来纳州雷蒙德。；Tušek，M.，超曲面收缩管状邻域中的磁性拉普拉斯，J.Geom。分析。，25, 2546-2564 (2015) ·Zbl 1337.35042号 ·doi:10.1007/s12220-014-9525-y
[18] 卢，G。；Ou，B.，关于（mathbb{R}^n）的Poincaré不等式及其在空间潜在流体流动中的应用，Commun。申请。非线性分析。，12, 1-24 (2005) ·Zbl 1060.26017号
[19] McLean，W.，《强椭圆系统和边界积分方程》（2000），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0948.35001号
[20] Pankrashkin，K。；Popoff，N.，大参数Robin Laplacian特征值渐近的有效哈密顿量，J.Math。Pures应用。，106, 615-650 (2016) ·Zbl 1345.35068号 ·doi:10.1016/j.matpur.2016.03.005
[21] 佩恩，LE；Weinberger，HF，膜频率和扭转刚度的一些等周不等式，J.Math。分析。申请。，2, 210-216 (1961) ·Zbl 0098.39201号 ·doi:10.1016/0022-247X（61）90031-2
[22] 里德，M。；Simon，B.，《现代数学物理方法》，IV.《算子分析》（1978），纽约：学术出版社，纽约·Zbl 0401.47001号
[23] Savo，A.，拉普拉斯特征函数节点长度的下限，Ann.Glob。分析。地理。，16, 133-151 (2001) ·Zbl 1010.58025号 ·doi:10.1023/A:1010774905973
[24] Schneider，R.，《凸体：Brunn-Minkowski理论》（1993），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0798.52001号
[25] Segura，J.，修正Bessel函数和相关Turán型不等式比值的界，J.Math。分析。申请。，374, 516-528 (2011) ·Zbl 1207.33009号 ·doi:10.1016/j.jma..2010.09.030
[26] Sz.-Nagy，B.，《科学学报》，Uni ber Parallelmengen nichtkonvexer ebener Bereiche。数学。，20, 36-47 (1959) ·Zbl 0101.14701号
[27] Willmore，TJ，黎曼几何（1993），牛津：克拉伦登出版社，牛津·Zbl 0797.5302号
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