大卫·哈巴特;安德鲁·奥布斯;普莱斯，瑞秋;凯瑟琳·史蒂文森 阿比扬卡在伽罗瓦理论中的猜想：现状和未来方向。 （英语） Zbl 1432.14029号 牛市。美国数学。Soc.，新Ser。 55，第2期，239-287（2018）. 摘要：本文概述了阿比扬卡对基本群理论发展的主要贡献，以及伽罗瓦覆盖的积极特征。我们首先讨论了Abhyankar关于Galois覆盖正特征的四个猜想的现状。然后，我们讨论了受阿比扬卡工作启发的研究方向，包括许多未决问题。 引用于12文件 理学硕士： 14小时30分 曲线覆盖，基本群 11G20峰会 有限域和局部域上的曲线 14小时37分 曲线的自同构 11-02 与数论有关的研究综述（专著、调查文章） 14-02 代数几何相关的研究综述（专著、调查文章） 10楼12号 可分离扩张，伽罗瓦理论 关键词：阿比扬卡猜想;Galois盖;基本群体;分支理论;起重问题;有限特性 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛D.Harbater｝等人，布尔。美国数学。Soc.，新Ser。55，第2号，239-287（2018年；兹bl 1432.14029） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 拓扑与上同调理论。Tome 1，数学课堂讲稿，第305卷，vi+640页（1973年），Springer-Verlag，纽约柏林 [2] Rev’etements et groupe fondamental（SGA 1），Documents Math’ematiques（巴黎）[数学文献（巴黎）]3，xviii+327 pp.（2003），法国数学协会，巴黎 [3] Shreeram Abhyankar（1930年7月22日至2012年11月2日），通知Amer。数学。Soc.，61，10，1196-1216（2014）·Zbl 1338.13001号 ·doi:10.1090/noti1175 [4] Abhyankar，Shreeram，《关于代数函数的分支》，Amer。数学杂志。，77, 575-592 (1955) ·兹比尔0064.27501 ·doi:10.2307/2372643 [5] Abhyankar，Shreeram，特征地域上代数曲面的局部均匀化，数学年鉴。(2), 63, 491-526 (1956) ·Zbl 0108.16803号 ·数字对象标识代码：10.2307/1970014 [6] Abhyankar，Shreeram，代数曲线的覆盖，Amer。数学杂志。，79, 825-856 (1957) ·Zbl 0087.03603号 ·doi:10.2307/2372438 [7] Abhyankar、Shreeram、Tame覆盖物和代数变体的基本群。I.具有正常交叉的分支位点；应用：Zarisk定理和Picard，Amer。数学杂志。，81, 46-94 (1959) ·Zbl 0100.16401号 ·doi:10.2307/2372850 [8] Abhyankar，Shreeram S.，《算术曲面奇点的解析》。算术代数几何，Proc。Conf.Purdue Univ.，1963111-152（1965），纽约哈珀街·Zbl 0147.20503号 [9] Abhyankar，Shreeram S.，Galois非零特征线理论，布尔。阿默尔。数学。社会学（N.S.），27，1，68-133（1992）·Zbl 0760.12002号 ·doi:10.1090/S0273-0979-1992-00270-7 [10] Abhyankar、Shreeram S.、Nice方程式for Nice groups、Israel J.Math.、。，88, 1-3, 1-23 (1994) ·兹伯利0828.14014 ·doi:10.1007/BF202937504 [11] Abhyankar，Shreeram S.，正特征仿射线的基本群。《几何与分析》，孟买，1992，1-26（1995），塔塔研究所基金。Res.，孟买·Zbl 0914.14014号 [12] Abhyankar、Shreeram S.、Mathieu群覆盖和线性群覆盖。反伽罗瓦问题的最新发展，西雅图，华盛顿州，1993年，康特姆。数学。186，293-319（1995），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 0930.14019号 ·doi:10.1090/conm/186/02188 [13] Abhyankar，Shreeram S.，有限域上的因子分解。有限域与应用，格拉斯哥，1995年，伦敦数学。Soc.课堂讲稿Ser。233，1-21（1996），剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0912.11052号 ·doi:10.1017/CBO9780511525988.003 [14] Abhyankar，Shreeram S.，《好群的进一步好方程》，Trans。阿默尔。数学。《社会学杂志》，3481555-1577（1996）·Zbl 0860.12001号 ·doi:10.1090/S0002-9947-96-01584-X [15] Abhyankar，Shreeram S.，代数簇的局部基本群，Proc。阿默尔。数学。Soc.，125，6，1635-1641（1997）·Zbl 0891.12003号 ·doi:10.1090/S0002-9939-97-03938-5 [16] Abhyankar，Shreeram S.，半线性变换的Galois理论。《伽罗瓦理论方面》，盖恩斯维尔，佛罗里达州，1996年，伦敦数学。Soc.课堂讲稿Ser。256，1-37（1999），剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0986.12002号 [17] Abhyankar，Shreeram S.，《半线性变换》，Proc。阿默尔。数学。《社会学杂志》，127,92511-2525（1999）·Zbl 0934.12002号 ·doi:10.1090/S0002-9939-99-05400-3 [18] Abhyankar，Shreeram S.，奇点的分解和模伽罗瓦理论，布尔。阿默尔。数学。Soc.（N.S.），38，2，131-169（2001）·Zbl 0999.12003号 ·doi:10.1090/S0273-0979-00-00892-2 [19] Abhyankar，Shreeram S.，去角化和模块伽罗瓦理论。算术基本群和非交换代数，伯克利，CA，1999，Proc。交响乐。纯数学。70409-448（2002年），美国运通。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·兹布尔1037.12004 ·doi:10.1090/pspum/070/1935416 [20] 阿比扬卡，Shreeram S。；Paul A.Loomis，《再一次为优秀群体提供优秀方程式》，Proc。阿默尔。数学。Soc.，126，7，1885-1896（1998）·Zbl 0889.12005号 ·doi:10.1090/S0002-9939-98-04421-9 [21] 阿比扬卡，Shreeram S。；Loomis，Paul A.，为优秀群体提供了两倍的优秀方程式。有限域上曲线的应用，西雅图，华盛顿州，1997年，康特姆。数学。24563-76（1999），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·兹比尔0982.12002 ·doi:10.1090/conm/245/03724 [22] Abhyankar，Shreeram Shankar，代数曲面奇点的解析。《代数几何》（Internat.Colloq.，Tata Inst.Fund.Res.，Bombay，1968），1-11（1969），牛津大学出版社，伦敦·Zbl 0194.51805号 [23] Bertin，Jos’e，Obstructions locales au rel“巴黎科学院的课程改革”。我数学。，326, 1, 55-58 (1998) ·Zbl 0952.14018号 ·doi:10.1016/S0764-4442（97）82712-7 [24] 乔斯·伯廷；M’ezard、Ariane、D’eformations formles des rev etements sauvagement ramifi’es de courbes alg’ebriques、Invent。数学。，141, 1, 195-238 (2000) ·Zbl 0993.14014号 ·doi:10.1007/s002220000071 [25] 伯恩，尼尔斯，相对沙法列维奇定理，数学。Z.，248，2，351-367（2004）·Zbl 1079.14036号 ·doi:10.1007/s00209-004-0658-8 [26] Bouw，Irene I.，《曲线分支覆盖的秩》，合成数学。，126, 3, 295-322 (2001) ·Zbl 1056.14036号 ·doi:10.1023/A:1017513122376 [27] Bouw，Irene I.，具有规定分支的正特征仿射线的覆盖。WIN-数字女性，Fields Inst.Commun。60、193-200（2011），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 1214.14024号 [28] 艾琳·鲍。；普莱斯（Rachel J.Pries），《刚性、还原和衍生》，《数学》。安，326，4，803-824（2003）·兹比尔1029.14010 ·doi:10.1007/s00208-003-0441-x [29] 艾琳·鲍。；Wewers，Stefan，二面体群的局部提升问题，杜克数学。J.，134，3，421-452（2006）·Zbl 1108.14025号 ·doi:10.1215/S0012-7094-06-13431-2 [30] Brewis、Louis Hugo、Liftable（D_4）-封面、数学手稿。，126, 3, 293-313 (2008) ·Zbl 1158.14027号 ·文件编号：10.1007/s00229-008-0179-6 [31] Brewis，Louis Hugo；Wewers，Stefan，Artin characters，Hurwitz trees and the lifting problem，数学。Ann.，345，3711-730（2009）·兹伯利1222.14045 ·doi:10.1007/s00208-009-0374-0 [32] 切瓦利，C。；威尔，A。；Hecke，E.，“Uber das verhalten der integrate 1。gattung bei automorphismen des funktitonenk“orpers，Abh.Math。汉堡州立大学，10，1，358-361（1934）·Zbl 0009.16001号 ·doi:10.1007/BF02940687 [33] 泰德·钦伯格（Ted Chinburg）；Robert Guralnick；Harbater，David，曲线上有限群作用的局部提升问题，《科学年鉴》Ec.规范。Sup.（4），44，4，537-605（2011）·Zbl 1239.14024号 ·doi:10.24033/asens.2150 [34] 冈瑟·科内利森；M’ezard，Ariane，Rel’’“课程修订版”，《数学》。Z.，254，2，239-255（2006）·Zbl 1108.14024号 ·doi:10.1007/s00209-006-0944-8 [35] 迈克尔·D·弗里德。；Jarden、Moshe、Field algorithm、Ergebnisse der Mathematik和ihrer Grenzgebiete。3.佛尔吉。数学现代调查系列[数学及相关领域的结果，第三系列，数学现代调查丛书]11，xxiv+792页（2008），柏林斯普林格·弗拉格·Zbl 1145.12001年 [36] 威廉·富尔顿，《关于节点曲线补码的基本群》，《数学年鉴》。(2), 111, 2, 407-409 (1980) ·Zbl 0406.14008号 ·doi:10.307/1971204 [37] Garuti，Marco A.，《合成数学》。，104, 3, 305-331 (1996) ·Zbl 0885.14011号 [38] Green，Barry，赋值环上形式幂级数环的自同构。《赋值理论及其应用》，第二卷，萨斯卡通，SK，1999年，菲尔德研究所公社。33、79-87（2003），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 1048.13012号 [39] 巴里·格林；Matignon，Michel，Galois的提升覆盖了平滑曲线，合成数学。，113, 3, 237-272 (1998) ·Zbl 0923.14006号 ·doi:10.1023/A:1000455506835 [40] 格罗森迪克、亚历山大、侯爵计划。几何伽罗瓦动作，1，伦敦数学。Soc.课堂讲稿Ser。242，5-48（1997），剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0901.14001号 [41] Robert Guralnick；史蒂文森，凯瑟琳·F。《处方衍生产品》。算术基本群和非交换代数，伯克利，CA，1999，Proc。交响乐。纯数学。70887-406（2002年），美国运通。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 1060.14039号 ·doi:10.1090/pspum/070/1935415 [42] HarUnpub02大卫·哈巴特。阿比扬卡猜想的推广。Abh02附录。 [43] 戴维·哈巴特（David Harbater），《曲线覆盖模》，《通信代数》，第8、12、1095-1122页（1980）·Zbl 0471.14011号 ·doi:10.1080/0092787800822511 [44] Harbater，David，《特征中的普通和超奇异覆盖》，太平洋数学杂志。，113, 2, 349-363 (1984) ·Zbl 0504.14019号 [45] David Harbater，《论惯性的纯粹性》，Proc。阿默尔。数学。Soc.，112，2，311-319（1991）·Zbl 0743.14014号 ·doi:10.2307/2048721 [46] David Harbater，正式修补和添加分支点，Amer。数学杂志。，115, 3, 487-508 (1993) ·Zbl 0790.14027号 ·doi:10.2307/2375073 [47] Harbater，David，Abhyankar关于曲线上Galois群的猜想，发明。数学。，117, 1, 1-25 (1994) ·Zbl 0805.14014号 ·doi:10.1007/BF01232232 [48] 戴维·哈巴特（David Harbater），《特征曲线的基本群》（Fundamental groups of curves in characteristic）。国际数学家大会论文集，第卷。1，2，Z“urich，1994，656-666（1995），Birkh“auser，巴塞尔·兹比尔0871.14023 [49] Harbater，David，Abhyankar的猜想和嵌入问题，J.Reine Angew。数学。，559, 1-24 (2003) ·Zbl 1075.14026号 ·doi:10.1515/crll.2003.049 [50] 哈巴特、戴维、帕钦和伽罗瓦理论。伽罗瓦群和基本群，数学。科学。Res.Inst.出版。41，313-424（2003），剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 1071.14029号 [51] 大卫·哈巴特；史蒂文森，凯瑟琳·F。阿比扬卡关于基本群的局部猜想。代数、算术和几何及其应用，印第安纳州西拉斐特，2000，473-485（2004），施普林格，柏林·Zbl 1119.12300号 [52] 大卫·哈巴特；范德普特（van der Put），马吕斯（Marius），《特征中的有价值领域和覆盖》（Valued fields and covers in characteristic）。《估值理论及其应用》，第一卷，萨斯卡通，SK，1999年，菲尔德研究所通信。32，175-204（2002），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 1020.14007号 [53] Jung，Heinrich W.E.，Darstellung der Funktitonen eines algebraischen K，“orpers zweier unabh”“angigen Ver”“anderlichen”（x，y）in der Umgebung einer Stelle（x=a，y=b），J.Reine Angew.Math.，133，289-314（1908）·doi:10.1515/crll.1908.133.289 [54] Kambayashi，T.，Nori对Galois覆盖物的正面构造。代数和拓扑理论，Kinosaki，1984，640-647（1986），Kinokuniya，东京·Zbl 0800.14024号 [55] 尼古拉斯·M·卡茨（Nicholas M.Katz），基本群表示的局部到全局扩展，《傅里叶研究所年鉴》（格勒诺布尔），36，4，69-106（1986）·Zbl 0564.14013号 [56] Manish Kumar，《关于错综复杂的扩展的合成》，J.Pure Appl。代数，2181528-1536（2014）·Zbl 1297.11142号 ·doi:10.1016/j.jpaa.2013.12.004 [57] Lang，Serge，代数，数学研究生教材211，xvi+914 pp.（2002），Springer-Verlag，纽约·Zbl 0984.0001号 ·doi:10.1007/978-1-4613-0041-0 [58] Matignon，Michel，（p\）-groupes ab\'elines de type\（（p，\ldots，p）\）et disques ouverts\（p\，-adiques，Manuscripta Math。，99, 1, 93-109 (1999) ·Zbl 0953.12004号 ·doi:10.1007/s002290050164 [59] 戴维·芒福德（David Mumford），《品种和方案红皮书》（The red book of variations and schemes），《1358年数学课堂讲稿》，x+306页（1999），柏林斯普林格·弗拉格出版社·Zbl 0945.14001号 ·doi:10.1007/b62130 [60] 杰里米·马斯卡特；Pries，Rachel，仿射线交替组封面，Israel J.Math。，187, 117-139 (2012) ·Zbl 1274.14032号 ·doi:10.1007/s11856-011-0165-7 [61] Nakajima，S.，关于代数簇上同调群的Galois模结构，发明。数学。，75, 1, 1-8 (1984) ·Zbl 0616.14007号 ·doi:10.1007/BF01403086 [62] Nakajima，Sh=oichi，关于代数曲线基本群的商。伽罗瓦表示和算术代数几何，京都，1985/东京，1986，高等数学研究生。1255-264（1987），北荷兰，阿姆斯特丹·Zbl 0686.14017号 [63] 安德鲁·奥布斯（Andrew Obus），《曲线的（局部）提升问题》。Galois-Teichm“uller理论和算术几何，高级纯数学研究生，63，359-412（2012），日本数学社，东京·Zbl 1321.14028号 [64] Obus，Andrew，Toward Abhyankar的惯性猜想（PSL_2（l））。几何和微分伽罗瓦理论，S’emin。恭喜。27，195-206（2013），《社会数学》。法国、巴黎 [65] Ob:去吧，Andrew Obus，奥尔特猜想的推广，Comm。数学。帮助。，92（2017）第3期，551-620·Zbl 1395.14023号 [66] Andrew Obus，（A_4）的局部提升问题，代数数论，10，8，1683-1693（2016）·Zbl 1352.14019号 ·doi:10.2140/ant.2016.10.1683 [67] 出生日期：lc Andrew Obus。提交了带自同构的曲线提升。arXiv:1703.011912017年。 [68] 安德鲁·奥布斯（Andrew Obus）；Pries、Rachel、Wild驯服循环扩展、J.Pure Appl。代数，214,5565-573（2010）·Zbl 1233.11125号 ·doi:10.1016/j.jpaa.2009.06.017 [69] 安德鲁·奥布斯（Andrew Obus）；Wewers，Stefan，循环扩展和局部提升问题，数学年鉴。(2), 180, 1, 233-284 (2014) ·兹比尔1307.14042 ·doi:10.4007/编年史。2014.180.1.5 [70] 欧特，弗兰斯，提升代数曲线，阿贝尔变种，及其特征零的自同态。代数几何，鲍登，1985，缅因州不伦瑞克，1985，Proc。交响乐。纯数学。46，165-195（1987），美国。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 0645.14017号 ·doi:10.1090/pspum/046.2/927980 [71] 帕切科，Am lcar；Stevenson，Katherine F.，射影曲线代数基本群的有限商，太平洋数学杂志。，192, 1, 143-158 (2000) ·Zbl 0951.14016号 ·doi:10.2140/pjm.2000.192.143 [72] Pagot，Guillaume，（{mathbb{F}}_p）-espaces vectoriels de formes diff’erentielles对数iques sur la droite projective，《数论》，97，1，58-94（2002）·兹比尔1076.14504 ·doi:10.1006/jnth.2002.2806 [73] Pop，Florian，“Etale Galois覆盖了仿射平滑曲线。Shafarevich猜想的几何情形。根据阿比扬卡的猜想，发明。数学。，120, 3, 555-578 (1995) ·Zbl 0842.14017号 ·doi:10.1007/BF01241142 [74] Pop，Florian，The Oort猜想关于提升曲线覆盖，数学年鉴。(2), 180, 1, 285-322 (2014) ·Zbl 1311.12003年 ·doi:10.4007/annals.2014.180.16 [75] Popp，Herbert，“优步基础知识ruppe einer punktierten Riemanschen Fl”，《数学》。Z.，96，111-124（1967）·Zbl 0153.50402号 ·doi:10.1007/BF01111582 [76] 雷切尔·普莱斯（Rachel J.Pries），《杂乱无章的封面的指挥》。一、 C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎，335，5，481-484（2002）·Zbl 1030.14011号 ·doi:10.1016/S1631-073X（02）02491-3 [77] Pries，Rachel J.，《大属野生分枝覆盖》，《数论》，119，2，194-209（2006）·Zbl 1101.14045号 ·doi:10.1016/j.jnt.2005.10.013 [78] 普莱斯，瑞秋；朱慧琼，《Artin-Schreier曲线的（p）秩分层》，《傅里叶研究年鉴》（格勒诺布尔），62，2，707-726（2012）·兹比尔1281.11062 ·doi:10.5802/如果2692 [79] 雷切尔·J·普莱斯（Rachel J.Pries），《曲线的分支覆盖家族》（Families of Families of crives ramified covers of curves），艾默尔（Amer）。数学杂志。，124, 4, 737-768 (2002) ·Zbl 1059.14033号 [80] Raynaud，M.，《拉德罗伊特仿射理论评论》（Rev’etements de la droite affine en caract）（p>0）和《阿比扬卡猜想》（Consument d’Abhyankar），发明家。数学。，116, 1-3, 425-462 (1994) ·Zbl 0798.14013号 ·文件编号：10.1007/BF01231568 [81] Sa \`“i di，Mohamed，Rev \^etements”etales et groupe fondamental de grapes de groupes，C.R.Acade。科学。巴黎S\er.I数学。，318, 12, 1115-1118 (1994) ·兹伯利0841.14023 [82] 施密德，赫尔曼·路德维希（Hermann Ludwig Schmid），《Zur Arithmetik der zyklischen》（p-K），《奥珀，J.Reine Angew.数学》，176，161-167（1937）·Zbl 0016.05205号 ·doi:10.1515/crll.1937.176.161 [83] Sekiguchi，T。；奥尔特，F。；Suwa，N.，《论Artin-Schreier对Kummer的变形》，《科学年鉴》Ecole标准。补充（4），22，3，345-375（1989）·Zbl 0714.14024号 [84] SS1筑口（Tsutomi Sekiguchi）和铃木（Noriyuki Suwa）。关于统一的Kummer-Artin-Schreier-Witt理论，Chuo Math。预印本系列，1994年。 [85] SS2筑口（Tsutomi Sekiguchi）和铃木（Noriyuki Suwa）。根据统一的Kummer-Artin-Schreier-Witt理论，波尔多数学实验室预印本系列，1999年。 [86] Serre，Jean-Pierre，《局部领域，数学研究生课文》67，viii+241 pp.（1979），Springer-Verlag，纽约-柏林·Zbl 0423.12016 [87] Serre，Jean-Pierre，《建筑评论》，C.R.Acad。科学。巴黎S\er.I数学。，311, 6, 341-346 (1990) ·Zbl 0726.14021号 [88] Serre，Jean-Pierre，Rev etements de courbes alg’ebriques，Ast’erisque，206，实验。不。749, 3, 167-182 (1992) ·Zbl 0798.14014号 [89] Serre，Jean-Pierre，Cohomologie galoisienne:progr\`“es et probl\`emes，Ast\'”erisque，227，Exp。不。783, 4, 229-257 (1995) ·Zbl 0837.12003号 [90] Shafarevitch，I.，On\（p\）-扩展，Rec.Math。[Mat.Sbornik]N.S.，20（62），351-363（1947）·Zbl 0041.17101号 [91] Stevenson，Katherine F.，特征投影曲线的非分枝覆盖的Galois群\（p\），代数，182，3770-804（1996）·兹比尔0869.14011 ·doi:10.1006/jabr.1996.0201 [92] Stevenson，Katherine F.，与射影曲线（\pi_1）有关的条件，《数论》，69，1，62-79（1998）·Zbl 0943.14013号 ·doi:10.1006/jnth.1997.2193 [93] Tamagawa，Akio，《关于特征（>0）代数闭域上曲线的基本群》，Internat。数学。Res.Notices，16，853-873（1999）·Zbl 1055.14029号 ·doi:10.1155/S1073792899000446 [94] Tamagawa，Akio，关于特征（>0）代数闭域上曲线的驯服基本群。伽罗瓦群和基本群，数学。科学。Res.Inst.出版。41，47-105（2003），剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 1073.14035号 [95] V“olklein，Helmut，Groups as Galois Groups，剑桥高等数学研究53，xviii+248 pp.（1996），剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 0868.12003号 ·doi:10.1017/CBO9780511471117 [96] 罗伯特·沃克，《代数曲面奇点的简化》，《数学年鉴》。(2), 36, 2, 336-365 (1935) ·doi:10.2307/1968575 [97] 我们：D4 Bradley Weaver，（D_4，2017）手稿的局部提升问题，已提交出版。可从arXiv:1706.03757获取。 [98] Oscar Zarisk，关于具有给定分支曲线的两变量代数函数的存在性问题，Amer。数学杂志。，51, 2, 305-328 (1929) ·数字对象标识代码：10.2307/2370712 [99] Oscar Zarisk，《代数曲面奇点的简化》，《数学年鉴》。(2), 40, 639-689 (1939) ·doi:10.2307/1968949 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。它的项目与zbMATH标识符启发式匹配，并且可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH 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