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伽罗瓦上同调:进展和问题。(同系物galoisienne:程序和问题。) (法语) Zbl 0837.12003号

Séminaire布尔巴基。第1993/94卷。775-789年博览会。巴黎:法国数学协会,Astérisque 227,229-257(Exp.No.783)(1995)。
本文是关于域(F)上线性代数群(G)的上同调集(H^1(F,G))的新旧结果的更新总结。在第一部分中,考虑了上同调维的字段。主要结果如下:
Steinberg定理=Serre书中的ex-conjunction I:对于每个连通群(G\),(\mathrm{cd}(F)\leq1\Rightarrow H^1(F,G)=0)。
猜想二:对于每一个半单单连通群,(F\)是完全的,(\mathrm{cd}(F)\leq2\RightarrowH^1(F,G)=0\)。
Kneer对局部域\(F\),Kneer、Harder和Chernousov(类型\(E_8\))对全局域都证明了这一猜想。此外,如果(G)不是类型(E_{6,7,8})或三元组(D_4),则上述任何(F)都是正确的。这是根据Merkurjev-Suslin和Bayer-Parimala的结果得出的。
第二部分研究某些上同调不变量的存在性和构造,即函数映射(H^1(F,G)到H^i(F,C),其中(i\geq2)和(C\)是可交换的(Gamma_F)-扭模。主要示例:
对于非退化二次型(q),Hasse-Witt不变量(w_2)分别为。Arason不变量(a:I^3/I^4到H^3(F,mathbb Z/2mathbb Z))诱导映射\[w_2:H^1(F,O(q))到H^2(F,\mathbb Z/2\mathbbZ)\quad\text{resp.}\quad a=H^1。\]对于(F)Merkurjev-Suslin上秩为(n^2)的中心单代数(D),构造一个映射\[m: H^1(F,\mathrm{SL}_D)=F^*/\mathrm{Nrd}(D^*)\到H^3(F,\mu_n^{\circledast})\](前提是(F)的特征不除以(n))。
Rost构造了一个函数映射\[r: H^1(F,G)到H^3(F,mathbb Q/mathbb Z(2))\]它可以显式地计算出类型为(G_2)和(F_4)的(G)。
在所有这些情况下,不变量直接应用于(F)上相应代数对象(具有自同构群(G))的分类,即二次型、八元代数、例外Jordan代数。
证据被省略或只是草拟,但对于所有陈述,都给出了精确的参考(40条)。
关于整个系列,请参见[Zbl 0811.00012号].

MSC公司:

12G05年 伽罗瓦上同调
12-02 与场论相关的研究综述(专著、调查文章)
11亿欧元 线性代数群的Galois上同调
20世纪15年代 任意域上的线性代数群
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