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李子才;魏益民;黄洪才;John Y·蒋。

用迎风差分格式分析奇异摄动微分方程的稳定性。 （英语） Zbl 1312.65174号

数字。方法部分差异。方程 30，第5期，1595-1613（2014）。
作者将逆风差分格式应用于以下具有边界条件的奇摄动微分方程（SPDE）：\[-\varepsilon\Delta u+\alpha u_x+\beta u_y+cu=f\，\，\text｛in｝\，S，\quad u=g\，\，\text｛on｝\，\Gamma，\]其中，\（Delta=\frac{\partial^2}{\parial x^2}+\frac}\partial y^2}），\（S\）是矩形：\（S=\{（x，y）|0<x<\pi\}，\，\Gamma=\partial-S\）为其边界，参数\（\varepsilon\）非常小，即，}\（\valepsilon\ll 1\）。
本文利用线性算子的条件数分析了迎风差分格式的数值稳定性。最初，它们从使用微分算子及其共轭算子的特征值计算的传统条件数开始。但是，如果参数\（\varepsilon\leq 10^{-8}\），那么传统的条件数将是巨大的，这将给SPDE问题方案的稳定性分析带来问题。然后，作者引入了两个新的条件数{即}有效条件数和实际条件数，这两个条件数可以用极大值原理进行计算。上述两个条件数都提供了由舍入误差、截断误差和离散化误差引起的解误差的较小界。
很明显，数值格式的稳定性分析与线性算子的条件数有关。在这里，作者首先使用微分算子及其共轭算子的特征值来计算传统的条件数，然后发现对于（varepsilon \leq 10^{-8}），得到的条件数很大。然后，他们利用最大值原理计算有效条件数，该原理取决于非齐次项和边界条件。实际条件数由离散最大值原理计算。
在比较了所有三个条件数之后，他们发现有效条件数和实际条件数的最坏情况也小于线性算子的传统条件数。作者还证明了当离散极大值原理存在时，有效条件数和实际条件数都能保证格式的良好调节性。根据有效条件编号和实际条件编号，即使对于\（\varepsilon\rightarrow 0\），也不满足方案的ill-conditioning。这澄清了巨大的传统条件数所造成的困境。
审核人：Srinivasan Natesan（阿萨姆邦）

MSC公司：

65N12号 含偏微分方程边值问题数值方法的稳定性和收敛性
65号06 含偏微分方程边值问题的有限差分方法
35B25型 偏微分方程背景下的奇异摄动
35J25型 二阶椭圆方程的边值问题
65层35 矩阵范数、条件、缩放的数值计算
35磅50英寸 PDE背景下的最大原则
65奈拉 涉及偏微分方程的边值问题的误差界

关键词：

稳定性;边界层;条件编号;奇异摄动;误差界限;迎风差分格式;最大值原理
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Z.C.Li}等人，数字。方法部分差异。等式30，No.5，1595--1613（2014；Zbl 1312.65174）
全文： 内政部

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