卡瓦尔坎蒂，M.M。;多明戈斯·卡瓦尔坎蒂，V.N。;曼苏里，S。;Gonzalez Martinez，V.H。;Z.哈杰杰。;Astudillo Rojas，M.R。 具有局部分布阻尼的非均匀介质中强耦合Klein-Gordon系统的渐近稳定性。 （英语） Zbl 1429.35156号 J.差异。方程 268，第2期，447-489（2020年）. 作者研究了以下半线性波动方程组的指数稳定性：\[\开始｛个案例｝\rho（x）u_{tt}-\operatorname{div}（K（x）\nabla u）+v^2u-\operatorname{div}（a（x）/nabla u_t）=0&~\text{in}~\Omega\times（0，t）\\\rho（x）v_{tt}-\operatorname{div}（K（x）\nabla v）+u^2v-\operator name{div}（b（x）/nabla v_t）=0&~\text{in}~\Omega\times（0，t）\\u=v=0&~\text{on}~\partial\Omega\times（0，T）\\u（x，0）=u_0（x），~u_t（x，O）=u_1（x）&~\text{in}~\Omega\\v（x，0）=v_0（x），~v_t（x，O）=v_1（x）&~\text{in}~\Omega，\tag{1}\结束{cases}\]其中，\（\Omega\subset\mathbb{R}^{d}\），\（d\leqsleat 3\）是边界足够光滑的有界域，\（rho:\Omega \rightarrow\mathbb{右}_+\)，\（k_{ij}:\Omega\rightarrow\mathbb{R}\），\（1\leqslate i，j\leqslide d\）是\（C^\infty（\Omega）\）函数，这样\[ \alpha_0\leqsland\rho（x）\leqspland\beta_0，\quad k_{ij}（x）=k_{ji}（x），\quad\alpha|\xi|^2\leqslade\xi^{top}\cdot k（x）\ cdot\xi\leqbland\beta|\xi |^2，\]\（α0），（β0），，（α），（贝塔）是正常数，（K（x）=（K{ij}）{i，j}是对称正定矩阵，函数（W^{1，infty}（Omega）中的γ）服从\[0\leqsland\gamma（x）\leqsplane a（x），\qquad 0\leq sland\gamma（x）\leq斜面b（x）\ qquad\text{a.e.in}\\Omega。\]符号\（\omega \）表示\（\omega \）与\（\mathbb{R}^d \）中的\（\partial\omega\）邻域的交集；边界应该是光滑的。对所考虑的问题进行了一系列假设：负责局部耗散效应的非负函数（A）和（b）满足以下条件：\[a、 C^0中的~b\（上划线{\Omega}）\text{与}a（x）\geqslate a_0>0\text{in}\Omega\subset\Omega \text{and}b（x）\ geqslide b_0>0\text{in}\ Omega\s子集\Omeca。\]\（ω）几何控制着（ω，即存在（T_0>0），使得公制（G（x））的每一测地线在一个时间内截获（ω。对于每一个\（T>0），系统的唯一解\（u），\（v\在C（]0，T[；L^2（\Omega））中\[\开始{cases}\rho（x）u_{tt}-\运算符名称{div}（K（x）\nabla u）+V_1（x，t）u=V_3（x、t）V&~\text{in}~\Omega\times（0，t）\\\rho（x）v_{tt}-\operatorname{div}[K（x）\nabla v]+v_2（x，t）v=v_3（x，t）u&~\text{in}~\Omega\times（0，t）\\u=v=0&~\text{on}~\omega，\结束{cases}\]其中，\（V_1（x，t）\）、\（V_2（x，t）\）和\（V_3（x），t））是\（L^infty（]0，t[，L^{frac{d+1}{2}}（\Omega））\）的元素，是平凡的元素\（u=V=0\）。额外的假设是（i）\（对于所有x\在\部分\Omega\中），\（a（x），b（x）>0），（ii）对于公制（G=（K/\rho）^{-1}）的所有测地线（I\mapsto x（t）in\Omega中的t），带有（I\中的0），存在（t\geq斜面0），使得（a（x（t。主要结果建立了问题（1）弱解的存在唯一性，此外，这些解以指数形式一致衰减到零。即，假设初始数据满足\[ （u_0，v_0，u1，v_1）\in\mathcal｛H｝：=H_｛0｝^｛1｝（\Omega）\乘以H_｛0｝^｛1｝（\Omega）\乘以L^｛2｝（\Omega）\乘以L^｛2｝（\Omega）。\]那么所考虑的问题在（C（[0，T]；mathcal{H}）中具有唯一的弱解。如果（u_0，v_0，u_1，v_1）in \big（H^2（\Omega）\cap H_{0}^{1}（\Omega）\big）^2\times\big（H2），这个弱解是正则的。让\开始{align*}E_{u，v}（t）=&\frac{1}{2}\int_\Omega\rho（x）|u_t（x，t）|^2+\rho\\&+\压裂{1}{2}\int_{\Omega}\nabla v（x，t）^{\top}\cdot K（x）\cdot\nabla-v（x、t）+（uv）^2（x，t）\，dx。\结束{align*}问题（1）的所有弱解都存在正常数（C\）、（\gamma，\），使得（E_u（t）\leqslide Ce^{-\gamma\，t}E_u（0）\），前提是（E_{u，v}（0）\leq slide R\）。审核人：丹尼斯·鲍里索夫（Ufa） 引用于1审查引用于5文件 MSC公司： 35升53 二阶双曲方程组的初边值问题 35B40码 偏微分方程解的渐近行为 93个B07 可观察性 35L71型 二阶半线性双曲方程 35B35型 PDE环境下的稳定性 关键词：波动方程;摩擦阻尼;指数稳定性 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.M.Cavalcanti}等人，J.Differ。等式268，No.2，447--489（2020；Zbl 1429.35156） 全文： 内政部 参考文献： [1] Alabau-Boussouira，F.，非线性耗散双曲系统能量衰减率的凸性和加权积分不等式，应用。数学。最佳。，51, 1, 61-105 (2005) ·Zbl 1107.35077号 [2] 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