丹·拉克索夫;安德斯·索洛普 这些是阶\（n\）的微分。 （英语） Zbl 0920.13023号 事务处理。美国数学。Soc公司。 351，第4期，1293-1353（1999）。 在他的论文“Qu’est ce Qu’une différentielle d'ordre”中，该论文发表在《数学实验》上。7，第3期，249-264（1989年；Zbl 0688.60041号),P.-A.梅耶研究了高阶微分流形的情形，证明了它们具有乘法结构。以此为出发点，作者发展了高阶微分理论，并对其乘法结构给出了自然解释。设（k）是交换环，设（a）是不一定是交换的结合酉代数，设（varepsilon）是（k）的一个元素。所有分级模块都是（mathbb{N}）分级的。设（M）是一个分次的（k）-模。自同态\（\varepsilon_{text{gr}}:M\到M\）是通过与\（\valepsilon^n\）相乘来定义的。在第1节中，作者在（A）上的一个变量中定义了多项式（k）-代数（A）。它是由（t）自由生成的（A）上的（k）-代数。如果（B）是（A）上的任意（k）-代数和（B中的e），则存在唯一的映射（t）到（e）的代数同态。设\（\Gamma\）和\（M\）为\（A\）-模。如果存在一个\（k\）-线性映射\（mu:\Gamma\otimes_k M\ to M\），则称\（Gamma\）作用于\（M\）；这个映射被写为produkt（\gamma\cdot x=\gamma x）。当张量积（Gamma\otimes_k M）通过第一因子被视为（A）-模时，如果（mu）是（A）-linear，则作用称为（A-linear。给定\（M\）上的\（\Gamma\）作用。由（k）-线性自同态（α）、（δ：Gamma to Gamma）和（k）–线性自同构（D:M to M）组成的三元组（α，δ，D）将被称为广义导数，如果\[D（\gamma\cdot x）=（\Delta\gamma）\cdot x+（\alpha\gamma）\cdop（D x）；\标签｛\（*\）｝\]此外，如果\（\alpha\Delta=\varepsilon\Delta\alpha\），那么三元组将被称为\（\varepsilon\）-派生。特别地，设（M）是一个分次的（a）模，设（Gamma）是同质子模，设Delta是（D）对（Gamma）的限制，设（alpha=varepsilon_{text{gr}}）。通过乘法（Gamma\otimes_k M\到M\），让\（Gamma\）作用于\（M\）。如果\（（\varepsilon_{text{gr}}，\Delta，D）是\（\varesilon\）-派生，则将\（D\）称为\（\valepsilon\）-衍生。特别地，让（A语言等级中的P）是度（P）的齐次，让（Gamma=M=A语言等级），让（伽玛）通过乘法作用于（M）。通过（Delta^\varepsilon_p（Q）=p Q-\varepsilon^p_{text{gr}}（Q；那么三元\（（varepsilon^p_{text{gr}}，\Delta^\varepsilen_p，\Delta^\valepsilon_p）\）是一个\（varepsilon^{p^2}\）-派生。如果\（P\）为1次，则\（\Delta^\varepsilon_P\）为\（\varepsilon\）-导数；特别是，我们有（varepsilon）-派生（Delta^varepsilen_t:A到A）。第二节介绍莱布尼茨微分；它们是高阶微分的通用对象。设（Lambda{A/k}）是左理想（A）的商\（Lambda{A/k}）是一个分级的（A）模。（Lambda{A/k}）的元素称为莱布尼茨微分；次\（1\），\（d_t:\Lambda_{A/k}\到\Lambda_{A/k}\）的\（k\）-线性自同态是通过与\（t\）相乘来定义的。本节的主要结果是存在一个精确的\（A\）-\（A\-模序列\[\到\Lambda^1_{A/k}\otimes_A\Lambda ^n_{A/k{\到\Lambeda^{n+1}_{A/k}\到\Lambda^n_}到0\]除以\（d_t\）。设（Lambda^varepsilon_{A/k}）是包含（1）且在（varepsilen）-派生（Delta^varepsilon_t）下不变的（A）-子模的最小子模。那么，（Lambda^varepsilon_{A/k}）是（A）上的（A）的（k）-子代数，合成（Lambda ^varepsilon_{A/k}到A的）是\（A）-模的同构。通过这种同构，莱布尼茨微分（Lambda{A/k}）继承了一个环结构，使得（d_t）成为一个（varepsilon）派生。作者证明了具有这种环结构的Leibniz微分模是带（varepsilon）-导子的（a）上分次（k）-代数的一个普适对象。(2.14) ].在第3节中，作者介绍了Kähler微分的（A）-模。设（mathfrak A\）是包含所有元素\（d_t（ba\pi）-b d_t。Kähler微分（\Omega_{A/K}:=\Lambda_{A/K}/\mathfrak A\）形成一个分级的\（A\）-模，度为\（1）的\（K\）-线性自同态\（d_t:\Lambda_{A/K}\ to \Lambda{A/K{\）诱导了度为\。每个（n）都有一个精确的序列\[0\到\欧米茄^1_{A/k}\otimes_A\欧米加^n_{A/k{\到\奥米加^{n+1}_{A/k}\到\欧米加^n_{A/k}\到0\]of \（A\）-\（A~）-线性映射，由右\（A_）-线性贴图分割。作者证明了（mathfrak A）是（Lambda{A/k}）中关于（Lambda ^varepsilon_{A/k{）诱导的乘法的双边理想。因此，\（\Omega_{A/k}\）继承了\（\Lambda^\varepsilon_{A/k}\）的乘法结构，并且\（d）就这个结构成为\（\varepsilon\）-结构[参见引理3.1]\（d）至多是一个阶微分算子，因为\[d（a b\omega）-bd（a\omega\]对于\（a，b\在a\中），\（\omega\在\omega_{a/k}\中）。当\（\Omega_{A/k}\）被认为是一个环时，它将被表示为\（\O mega^\varepsilon_{A/k}\）。如果\（A\）是可交换的，那么\（Omega^1_{A/k}\）是度为\（1）的kähler微分的通常\（A\-）模。以下结构定理（命题3.12）起着重要作用：假设A\中存在元素\（x_1，\ldots，x_m\），使得\（\Omega^1_｛A/k｝\）是一个基为\（\｛d x_1，\ldots，d x_m\｝\）的自由\（A\）模。那么，\（Omega^n_{A/k}\）是一个自由\（A\）-模，其基由\（m（m+1）^{n-1}\）元素组成[可以递归构造]。第4节的结果将用于第5节。假设（A）是交换的（k）-代数。设（C）是一个分次模，其次分量（0）等于（a），且（d：C到C）是次自同态的（k）-线性自同态，使得（1）位于（d）的核中，并且（d）至多是一个阶微分算子。[从现在开始，\（d_{A/k}\）表示kähler微分的自同态。]有一个带有\（k\）-线性自同态\（（Lambda_{A/k{，d_t）\ to（C，d）\）的分次\（A\）-模的自然映射，它诱导了一个\（Omega_{A/k}，d_{A/k}）\到（C，d）\的映射；其图像用\（\Omega（C）\）表示\如果存在一个\（a \）-线性乘积\（Omega^1（C）\otimes_a C\ to C\），用\（rho\otimess_a F\mapsto\rho\cdot F\）表示，则（（C，d）将被称为Kähler系统，因此对于\（a\中的F\）和\（C\中的F\），我们有\（df\cdot F=d（F\ cdot F）-F d F\）。作者表明S.Iitaka公司[《日本科学院院刊》，A辑54，101-103（1978；Zbl 0407.14005号)同上，55、53-58（1979年；Zbl 0429.12014)，in：代数几何，Proc。夏季见面会。，科本。1978年，法律。数学笔记。732, 157-170 (1979;Zbl 0425.14002号)和高级数学。33, 14-30 (1979;Zbl 0417.14014号)]以及J.约翰逊[J.代数78，91-119（1982；Zbl 0496.12019号)和J.Algebra 94，173-210（1985；Zbl 0619.13014号)]符合这个框架，以及Meyer的高阶微分。如果在C_0=A\中存在\（x_1，\ldots，x_m\），那么Kähler系统\（（C，d）\）被称为具有Káhler基，这样\ d x_m\}\）和\（{\mathcal x}_{n+1}={d\xi\mid\xi in{mathcal X}_n}cup\{d\X_j\xi\mid j in{1，\ldots，m\}，\xi\in{matchcal X}_n}）是（Omega^n（C））的（A）-基。对于具有Kähler基的Káhler系统，有一个精确的\（a\）-\（a~）-模序列\[\到\Omega^1（C）\otimes_A\Omega ^n\]它被一个右（a）线性映射分割。此外，\（Omega（C）\）是\（a\）上的\（k\）-代数，\（C\）是一个自然\（Ometa（C）_）-模。Meyer流形的高阶微分系统和光滑格式的Iitaka高阶微分都产生了具有Kähler基的Káhler系统，因此具有乘法结构。在第7节中，让（varepsilon^2=1）。那么由元素生成的（PQ-\varepsilon（P）\deg（Q）}QP）的左理想（{mathfrak C}_\varepsilon）是齐次的，其中（P，Q）是双边理想\（Omega_{A/k}^{varepsilon{text{-sym}}}:=\Lambda^\varepsilen_{A/k}/{mathfrak C}_varepsillon）被称为对称微分的代数。\（\Lambda^\varepsilon\｛A/k｝\）的\（\varepsilon\）-导数\（d^\varepsilon\）诱导\（\Omega_{A/k｝^{\varepsilon\text｛-sym｝｝｝\）的\（\varepsilon\）-导数。当（varepsilon=1）得到的代数是对称微分的代数（Omega^{text{sym}}{A/k}），而对于（varepsilon=-1），得到的代数称为不对称微分的代数。由（Omega{A/k}^{text{skew}}）除以奇数次元素的所有平方生成的理想得到的代数是交替微分的代数。当一阶kähler微分的（A）-模（Omega^1_{A/k}）有一个由某些元素（x_1，ldots，x_m）组成的基时，则（Omega ^{text{sym}}{A/k{）是无穷多变量（d^nx_i），（i\in{1，ldots}，m}中的多项式环\），\（n\in\mathbb{n}\），和\（\Omega^{\text{alt}}{A/k}\）是由相同变量生成的交替代数。审核人：K.Kiyek（帕德博恩） 引用于5文件 MSC公司： 13号05 差速器模块 16平方米 微分算子环（结合代数方面） 10层14号 差速器和其他特殊滑轮；D模块；Bernstein-Sato理想与多项式 2005年12月 微分代数 16周25日 李代数的导子、作用 2005年6月60日 随机积分 关键词：差动模块;微分代数;高阶微分的乘法结构;一般导数;\（\varepsilon\）-派生;莱布尼茨微分;卡勒微分;卡勒系统;卡勒基础 引文：兹比尔0688.60041;Zbl 0407.14005号;Zbl 0429.12014;Zbl 0425.14002号;Zbl 0417.14014号;Zbl 0496.12019号;Zbl 0619.13014号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Laksov}和\textit{A.Thorup}，翻译。美国数学。Soc.351，No.4，1293--1353（1999；Zbl 0920.13023） 全文： 内政部 参考文献： [1] A.建筑，喷气空间中的交叉点和数学安·S·朗的一个猜想。（2） 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