×
贾科莫·纳尔迪;加布里埃尔·佩雷;弗朗索瓦·萨维耶·维亚拉德

具有有界变差和Sobolev度量的形状空间上的测地线。 （英语） 兹伯利1339.49037

SIAM J.成像科学。 9，第1期，238-274（2016）.
摘要：本文研究了位移向量场切线空间上具有（BV^2）Finsler度量的（BV~2）平面曲线空间。这种空间在图像处理和计算机视觉中的应用非常有趣，因为它支持分段规则曲线，这些曲线会经历分段规则变形，例如铰接。本文的主要贡献是证明了此Finsler度量的任意两条（BV^2）曲线之间存在最短路径。通过应用变分直接法最小化测地能量，证明了这一结果。该方法更广泛地应用于类似的情况，例如具有（k\geq2）整数的（H^k）度量的曲线空间。这个空间具有强黎曼结构，并且是测地完备的。因此，我们的结果表明，指数映射是满射的，这是对无限维测地完备性的补充。我们提出了最小测地线问题的有限元离散化，并使用梯度下降法计算能量的驻点。数值例子显示了（BV2）和（H^2）测地线之间的定性差异。

引用于5文件

MSC公司：

2010年第49季度 优化最小曲面以外的形状
49J45型 涉及半连续性和收敛性的方法；放松
49平方米25 最优控制中的离散逼近
68单位05 计算机图形；计算几何（数字和算法方面）

关键词：

测地线;形状空间;\（BV^2）-曲线;形状注册;有限元离散化
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛G.Nardi｝等人，SIAM J.成像科学。9，第1号，238--274（2016；Zbl 1339.49037）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] L.Ambrosio，N.Fusco和D.Pallara，{有界变差函数和自由不连续问题}，牛津科学出版社，2000年·Zbl 0957.49001号
[2] V.Arsigny，O.Commowick，X.Pennec，and N.Ayache，{\it《不同形态统计的log-Eucidean框架》，《医学图像计算和计算机辅助干预》，R.Larsen，M.Nielsen，and J.Sporring，eds.，《计算讲义》。科学。4190，施普林格·弗拉格，柏林，2006年，第924-931页。
[3] V.Arsigny、P.Fillard、X.Pennec和N.Ayache，《对称正定矩阵上新型向量空间结构的几何意义》，SIAM J.Matrix Ana。申请。，29（2007），第328-347页·Zbl 1144.47015号
[4] C.J.Atkin，《霍普夫·里诺定理在无限维中是错误的》，Bull。伦敦数学。Soc.，7（1975），第261-266页·Zbl 0374.58006号
[5] D.Azagra和J.Ferrera，《黎曼流形上的近似演算》，Mediter。数学杂志。，2（2005年），第437-450页·Zbl 1167.49307号
[6] D.Bao、S.S.Chern和Z.Shen，《黎曼-芬斯勒几何导论》，Springer-Verlag，纽约，2000年·Zbl 0954.53001号
[7] M.Bauer、M.Bruveris和P.W.Michor，《形状空间和微分同胚群几何概述》，J.Math。《成像视觉》（2014），第60-97页·Zbl 1310.58005号
[8] M.Bauer、P.Harms和P.W.Michor，{形状空间上的Sobolev度量，II:加权Sobolef度量和几乎局部度量}，J.Geom。机械。，4（2012年），第365-383页·Zbl 1281.58003号
[9] M.Bauer，P.Harms和P.W.Michor，{所有黎曼度量流形上的Sobolev度量}，J.微分几何。，94（2013），第187-208页·Zbl 1275.58007号
[10] M.Bergounioux，{图像处理INF卷积模型的数学分析}，J.Optim。理论应用。，168（2016），第1-21页·Zbl 1332.65030号
[11] S.Bochner和R.E.Taylor，抽象值函数的某些空间上的线性泛函，《数学年鉴》。（2） 第39页（1938年），第913-944页·Zbl 0020.37101号
[12] M.Bruveris、P.W.Michor和D.Mumford，{浸没平面曲线空间上Sobolev度量的测地完备性}，论坛数学。西格玛，2（2014），e19·Zbl 1315.58009号
[13] B.Cengiz，｛\it任意\（μ\）的Bochner空间的对偶\（｛L｝^p（μ，e）\）｝，土耳其数学杂志。，22（1998），第343-348页·Zbl 0930.46034号
[14] G.Charpiat、R.Keriven、J.P.Pons和O.D.Faugeras，{基于活动轮廓为变分问题设计空间相干最小化流}，第十届IEEE国际计算机视觉会议，IEEE计算机学会，加利福尼亚州洛斯阿拉米托斯，2005年，第1403-1408页。
[15] G.Charpiat、G.Peyreí、G.Nardi和F.-X.Vialard，{it Finsler最速下降与分段规则曲线演化应用，}接口自由边界。，出现·Zbl 1344.49046号
[16] S.D.Chatterji，{巴拿赫值随机变量的鞅}，布尔。阿默尔。数学。《社会学杂志》，66（1960），第395-398页·Zbl 0102.13601号
[17] F.H.Clarke，{\关于反函数定理}，太平洋数学杂志。，64（1976年），第97-102页·Zbl 0331.26013号
[18] T.de Pauw，{关于SBV对偶}，印第安纳大学数学。J.，47（1998），第99-121页·Zbl 0915.49003号
[19] R.Durrett，《概率论：理论与实例》，剑桥大学出版社，剑桥，2010年·Zbl 1202.60001号
[20] I.Ekeland，{无限维Hopf-Rineow定理}，J.微分几何。，13（1978年），第287-301页·Zbl 0393.58004号
[21] L.Evans和R.F.Garipey，{测度理论和函数的精细性质}，CRC出版社，佛罗里达州博卡拉顿，1992年·Zbl 0804.28001号
[22] Eε。Ghys，{\it作用于圆上的组}，Enseign。数学。（2） ，47（2001），第329-407页·Zbl 1044.37033号
[23] N.Grossman，{不带外共轭点的Hilbert流形}，Proc。阿默尔。数学。《社会学杂志》，16（1965），第1365-1371页·Zbl 0135.40204号
[24] H.Inci、T.Kappeler和P.Topalov，《关于微分形态构成的规律》，Mem。阿默尔。数学。Soc.10622013年·Zbl 1293.58004号
[25] K.Bredies、K.Kunisch和T.Pock，{广义总变异}，SIAM J.成像科学。，3（2010），第492-526页·Zbl 1195.49025号
[26] M.Kilian、N.J.Mitra和H.Pottmann，《形状空间中的几何建模》，ACM Trans。图表。，26 (2007), 64.
[27] S.Masnou和G.Nardi，{广义弹性泛函松弛的coarea型公式}，J.凸分析。，20（2013），第617-653页·Zbl 1278.49015号
[28] A.C.Mennucci，成像中基于水平集和PDE的重建方法，数学课堂讲稿。2013年，瑞士查姆，施普林格-弗拉格，2090。
[29] P.W.Michor和D.Mumford，{平面曲线空间上的黎曼几何}，《欧洲数学杂志》。Soc.（JEMS），8（2006），第1-48页·Zbl 1101.58005号
[30] P.W.Michor和D.Mumford，{使用哈密顿方法概述曲线空间上的黎曼度量}，Appl。计算。哈蒙。分析。，27（2007），第74-113页·Zbl 1116.58007号
[31] P.W.Michor和D.Mumford，《（Bbb{R}^n）}上的微分同胚群动物园》，《全球分析年鉴》。地理。，44（2013），第529-540页·Zbl 1364.22009年
[32] J.Milnor，《莫尔斯理论》，《数学年鉴》。51号研究生，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1963年·Zbl 0108.10401号
[33] B.S.Mordukhovich，{变分分析与广义微分II，应用}，施普林格，柏林，2013。
[34] N.G.Meyers和W.P.Ziemer，{BV函数的Poincare∧和Wirtinger型积分不等式}，Ann.J.Math。，99（1977），第1345-1360页·Zbl 0416.46025号
[35] M.Niethammer，Y.Huang和F-X.Vialard，{图像时间序列的测地回归}，《医学图像计算和计算机辅助干预》，Gabor Fichtinger，A.L.Martel和T.M.Peters编辑，《计算机课堂讲稿》。科学。6892，柏林施普林格出版社，2011年，第655-662页。
[36] L.Risser、F.-X.Vialard、R.Wolz、M.Murgasova、D.Holm和D.Rueckert，{使用大变形差异度量映射的同步多尺度配准}，IEEE Trans。《医学成像》，30（2011），第1746-1759页。
[37] G.Sundaramoorthi、J.D.Jackson、A.J.Yezzi和A.C.Mennucci，{使用Sobolev活动轮廓进行跟踪}，2006年IEEE计算机学会计算机视觉和模式识别会议，IEEE计算机协会，加利福尼亚州洛斯阿拉米托斯，2006年，第674-680页。
[38] G.Sundaramoorthi、A.Mennucci、S.Soatto和A.Yezzi，{它是曲线空间中的一种新几何度量，以及通过预测和滤波跟踪变形物体的应用}，SIAM J.成像科学。，4（2011年），第109-145页·Zbl 1214.93033号
[39] G.Sundaramoorthi、A.J.Yezzi和A.C.Mennucci，{it Sobolev活动轮廓}，国际计算机杂志。视觉。，73（2007），第345-366页·Zbl 1159.68606号
[40] G.Sundaramoorthi、A.J.Yezzi和A.C.Mennucci，{曲线空间中Sobolev型度量的性质}，界面自由边界。，10（2008年），第423-445页·Zbl 1168.58005号
[41] G.Sundaramoorthi、A.J.Yezzi、A.C.Mennucci和G.Sapiro，《Sobolev活动轮廓的新可能性》，国际计算机杂志。视觉。，84（2009），第113-129页·Zbl 1477.68428号
[42] A.Trouveí和F-X.Vialard，{形状样条和随机形状演化：二阶观点}，Quart。申请。数学。，70（2012年），第219-251页·Zbl 1259.65104号
[43] A.Iounesco Tulcea和C.Iounesco Tulcea，《举重理论主题》，施普林格，柏林，1969年·Zbl 0179.46303号
[44] M.Vaillant和J.Glaunès，{通过电流进行表面匹配}，医学成像信息处理，计算机课堂讲稿。科学。35652005年，第381-392页。
[45] M.Vaillant、M.I.Miller、L.Younes和A.Trouveí，{通过切线空间表示的微分同态统计}，《神经影像》，23（2004），第S161-S169页。
[46] B.Wirth，L.Bar，M.Rumpf，and G.Sapiro，{通过变分时间离散化在形状空间中的测地学}，《第七届计算机视觉和模式识别中能量最小化方法国际会议论文集》（EMMCVPR'09），《计算讲义》。科学。5681，施普林格，柏林，2009年，第288-302页。
[47] X.Pennec，《黎曼流形的概率和统计：几何测量的基本工具》，《IEEE-Eurasip非线性信号和图像处理研讨会论文集》，伊斯坦布尔，1999年，第194-198页。
[48] A.Yezzi和A.Mennucci，{共形度量和曲线的真正“梯度流”}，第十届IEEE国际计算机视觉会议，IEEE计算机学会，第1卷，加利福尼亚州洛斯阿拉米托斯，2005年，第913-919页。
[49] A.Yezzi和A.Mennucci，《曲线空间中的度量》，预印本，arXiv:Math/0412454v22005年。
[50] L.Younes，{形状之间的可计算弹性距离}，SIAM J.Appl。数学。，58（1998），第565-586页·Zbl 0907.68158号
[51] L.Younes，{它的形状和差异}，应用。数学。科学。171，施普林格（2010）·Zbl 1205.68355号
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。