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有限群中的自同构轨道和元素阶:几乎可解性和Monster。 (英语) Zbl 1517.20001号

美国数学学会回忆录1427.普罗维登斯,RI:美国数学学会(AMS)(ISBN 978-1-4704-6544-5/pbk;978-1-4740-7543-7/电子书)。v、 96页。(2023).
设(G)是一个有限群,设(Gamma_{n}={G\ in G\mid-o(G)=n\}\)是(G)中所有有序元素的集合。如果\(A=\operatorname{Aut}(G)\),则元素\(G\)的\(A\)-轨道是集合\(G^{A}=\{G^{alpha}\mid\alpha\)。如果(operatorname{Aut}(G))是“尽可能传递的”,那么组(G)被称为一个(mathsf{AT})-组,也就是说,对于每一个(G in Gamma{n}),我们都有一个(Gamma{n}=G^{A})。J.张《代数杂志》153,第1期,22–36页(1992年;Zbl 0767.20009)]对(mathsf{AT})-群进行了广泛的研究,证明了一个简单的(mathsf{AT}-群同构于(mathrm{PSL}(3,4))或(mathrm{PSL{(2,q)),适用于(q\in\{5,7,8,9\})。
本文的目的是研究“接近于存在(mathsf{AT})群”的有限群的概念。也就是说,作者将(mathsf{AT})-群视为极值结构,位于同质性条件定量谱的一端。他们将通过比较给定群(G)上的(a)轨道数和(G)中不同元素级的轨道数来实现这一点,观察到当且仅当这两个数相等时,(G)是一个(mathsf{AT})群。
设\(\omega(G)\)是\(G\)上\(A\)-轨道的数目,\(\mathrm{Ord}(G)\)是\(G\)中的元素阶的集合,\(o(G)=|\mathrm{Ord}(G)|\)。对于\(n\in\mathrm{Ord}(G)\),设\(\omega_{n}(G)\)为\(\Gamma_{n{)上的\(A\)-轨道数,并定义\(\mathfrak{d}。
设\(\mathrm{Rad}(G)\)为\(G\)的可溶自由基。本文的第一个主要结果是定理1.1.2,该定理指出,对于(i\in\{1,2\}),存在单调递增的(在每个分量中)函数\(f_{i}:[0,\infty)^{i}\rightarrow[1,\infty),因此如果\(G\)是有限群,则\(G:\mathrm{Rad}(G)|\leq f_{2}(\mathfrak{q}(G),o(\mathrm{Rad}(G)))。
第二个主要结果是定理1.1.3,其中指出,如果\(S\)是一个非贝利有限单群,那么\[\lim\inf_{|S|\rightarrow\infty}\frac{\log\log\omega。\]此外,定理1.1.2和1.1.3给出了Fischer-Griess Monster群奇怪的定量特征。

理学硕士:

20-02 与群论有关的研究综述(专著、调查文章)
20D60年 涉及抽象有限群的算术和组合问题
20D45型 抽象有限群的自同构
20D05年 有限单群及其分类

引文:

Zbl 0767.20009
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