×
布莱克·基勒;佩里·克莱恩茨

各向异性阻尼波的急剧指数衰减率。 （英语） Zbl 1519.58017号

亨利·庞加莱 24，第5期，1561-1595（2023）.
作者考虑了广义阻尼波动方程\[left\{begin{array}{l}\partial^2_tu-\Delta_gu+2W\partialtu=0\\（u，\partial_tu）=（u_0，u_1）\end{数组}\right。\]在光滑紧致黎曼流形（（M，g））上。这里，（Delta_g）是Laplace-Beltrami算子（这样，在H^1（M）oplus L^2（M）中的（u_0，u_1）^T\，（W\，：\，L^2。
本文的主要结果（定理2）表明，（1）解的最佳指数衰减率由\[alpha:=2\min\{-D_0，L\infty\}，\]给出，其中（D_0）是谱横坐标，即\（D_0:=\lim_{R\to0+}\sup\left\{text{Re}（\lambda）\，：\，|\lambda|>R，\，\lambd\in\text{Spec}（A_W）\right\}），\（A_W:=\左（\开始{数组}{cc}0&\text{Id}\\\Delta_g&-2W\end{array}\right）是（1）解半群的生成器，（L_\infty）是阻尼沿测地线的时间平均值的长期极限，即S^*M}\frac1t\int_0^tw（\varphi_S（x，\xi）中的主符号为\（w:=\）和\（\varfi_S）：=\）测地线流在T^*M\，：\，|\xi|_g=1\}中的升力为\（T^*M），\（S^*M:={（x，\xi）（详见本文）。
作者证明了这一结果，并证明了它暗示了以下陈述（论文中的定理1）：对于某些\（C，\β>0\）和所有\（t\ geq0\），具有\（W\in\Psi^0_{cl}（M）\）的（1）的所有解\（u\）满足\[E（u，t）\leqCe^{-\βt}E（u，0）\]当且仅当\（W\）满足假设1（各向异性几何控制条件）假设2（W的核不包含Delta_g的任何非平凡本征函数）。这里，（E（u，t）是能量\[E（u、t）：=\frac12\int_M|\nabla_gu（t，x）|^2+|\partial_t u（t，x）|^2，dv_g（x），\]，（dv_g\）是（M）上的黎曼体积形式。此外，作者提供了一些示例，以满足假设1和2。
审核人：Yana Kinderknecht（萨尔布吕肯）

MSC公司：

58J45型 流形上的双曲方程
58J40型 流形上的伪微分算子和傅里叶积分算子
35升05 波动方程
35B40码 偏微分方程解的渐近行为
53C20美元 全球黎曼几何，包括收缩

关键词：

波动方程;各向异性阻尼系数;能量衰减;伪微分算子;黎曼流形上的双曲方程
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{B.Keeler}和\textit{P.Kleinhenz}，安·亨利·彭加莱24，第5期，1561-1595（2023年；Zbl 1519.58017）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Anantharaman，N.，Léautaud，M.：圆环上阻尼波动方程的夏普多项式衰减率。分析。PDE 7（1），159-214（2014）。doi:10.2140/apde.2014.7.159。附St’ephane Nonnenmacher的附录·Zbl 1295.35075号
[2] Burq，N。；Christianson，H.，阻尼波动方程的不完全几何控制和过阻尼，数学物理通信，336，1，101-130（2015）·Zbl 1320.35062号 ·doi:10.1007/s00220-014-2247-y
[3] Burq，N。；Hitrik，M.，部分矩形区域上阻尼波方程的能量衰减，《数学研究快报》，14，1，35-47（2007）·Zbl 1122.35015号 ·doi:10.4310/MRL.2007.v14.n1.a3
[4] Burq，N.：《货币成分的Contróle de l’équation des ondes dans des ouverts comportant des coins》。牛市。社会数学。法国，126（4）：601-637，（1998）。http://www.numdam.org/item？id=BSMF_1998__126_4_601_0。与Jean-Marc Schlenker合作编写的附录B·Zbl 0937.35097号
[5] Burq，N。；Zuily，C.，拉普拉斯特征函数的集中与弱阻尼波动方程的稳定性，《数学物理中的通信》，345，3，1055-1076（2016）·Zbl 1366.58011号 ·doi:10.1007/s00220-016-2591-1
[6] Christianson，H.，双曲轨道附近的半经典非集中，函数分析杂志，246，2，145-195（2007）·Zbl 1119.58018号 ·doi:10.1016/j.jfa.2006.09.012
[7] Christianson，H.：“双曲轨道附近的半经典非集中”勘误表[j.funct.anal.246（2）（2007）145-195]。功能分析杂志，258（3）：1060-10652010·Zbl 1181.58019号
[8] Craig，IJD，可压缩磁性x点中的各向异性粘性耗散，天体与天体物理学，487，3，1155-1161（2008）·Zbl 1151.85315号 ·数字对象标识代码：10.1051/0004-6361:200809960
[9] Christianson，H。；申克，E。；瓦西，A。；Wunsch，J.，《从预解估计到阻尼波》，J.Ana。数学。，121, 1, 143-162 (2014) ·兹比尔1301.35191 ·doi:10.1007/s11854-014-0006-9
[10] Dyatlov，S.，Jin，L.，Nonnenmacher，S.：变曲率曲面上本征函数的控制。arXiv预印本arXiv:1906.08923，（2019）·Zbl 1487.58032号
[11] Datchev，K.，Kleinhenz，P.：类hölder阻尼阻尼波动方程的夏普多项式衰减率。程序。阿默尔。数学。Soc.（2020年）。doi:10.1090/proc/15018·Zbl 1441.35046号
[12] Gohberg，I.C.，Kreĭn，M.G.：线性非自伴算子理论导论。数学专著的翻译，第18卷。美国数学学会，普罗维登斯，R.I.，（1969年）。A.Feinstein译自俄语·兹比尔0181.13504
[13] Hörmander，L.：线性偏微分算子的分析I.Berlin:spring-verlag，（1983）。doi:10.1007/978-3-642-61497-2·Zbl 0521.35002号
[14] Jin，L.，紧双曲面上的阻尼波方程，数学物理通信，373，3，771-794（2020）·Zbl 1437.35444号 ·doi:10.1007/s00220-019-03650-x
[15] Joubert，S.V.、Shatalov，M.Y.、Coetzee，C.E.：分析球形振动陀螺仪的制造缺陷。2011年第四届IEEE传感器和接口进展国际研讨会（IWASI），第165-170页。IEEE（2011）
[16] Krattiger，D。；Khajehtourian，R。；Bacquet，CL；Hussein，MI，晶格超材料中的各向异性耗散，AIP进展，6，12（2016）·doi:10.1063/1.4973590
[17] Klein，G.，矢量阻尼波动方程的能量最佳指数衰减率，SIAM控制与优化杂志，56，07（2017）·Zbl 1409.35030号 ·doi:10.1137/17M1142636
[18] Kleinhenz，P.，带Hölder-Regular阻尼的阻尼波方程的稳定率，Commun。数学。物理。，369, 3, 1187-1205 (2019) ·Zbl 1417.93240号 ·doi:10.1007/s00220-019-03459-8
[19] Kleinhenz，P.：具有有限正则阻尼的阻尼波动方程的衰变率。arXiv预印arXiv:1910.06372，（2019）
[20] Kleinhenz，P.：含时阻尼波动方程的能量衰减。arXiv预打印arXiv:2207.06260，（2022）·兹比尔1509.35048
[21] Lebeau，G.：摊销方程式。《数学物理中的代数和几何方法：乌克兰克里米亚卡西维利暑期学校学报》，1993年，第73-109页。施普林格荷兰，多德雷赫特（1996）·Zbl 0863.58068号
[22] Léautaud，M。；Lerner，N.，局部无阻尼波动方程的能量衰减，《图卢兹科学年鉴》6，26，1，157-205（2017）·Zbl 1391.35056号 ·doi:10.5802/afst.1528
[23] 刘，Z。；Rao，B.，线性发展方程解的多项式衰减率表征，Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik ZAMP，56，4，630-644（2005）·兹比尔1100.47036 ·doi:10.1007/s00033-004-3073-4
[24] 勒·卢梭，J。；勒博，G。；Terpolli，P。；Trélat，E.，含时观测域波动方程的几何控制条件，分析与PDE，10，4，983-1015（2017）·Zbl 1391.35254号 ·doi:10.2140/apde.2017.10.983
[25] 刘凯。；Rao，B。；Zhang，X.，具有势和不定阻尼的波动方程的稳定性，数学分析与应用杂志，269，2，747-769（2002）·Zbl 1004.35023号 ·doi:10.1016/S0022-247X（02）00062-8
[26] Ralston，J.，《局域能量波动方程的解》，《纯粹与应用数学通讯》，22，6，807-823（1969）·Zbl 0209.40402号 ·doi:10.1002/cpa.3160220605
[27] Ralston，J.，高斯光束和奇异点的传播，偏微分方程研究，MAA数学研究，23，206-248（1982）·Zbl 0533.35062号
[28] 劳赫，J。；Taylor，M.，《有界区域双曲方程解的指数衰减》，印第安纳大学数学系。J.，24，1，79-86（1975）·Zbl 0281.35012号 ·doi:10.1512/iumj.1975.24.24004
[29] Sjöstrand，J.，阻尼波方程本征频率的渐近分布，数学科学研究所出版物，36，5，573-611（2000）·Zbl 0984.35121号 ·doi:10.2977/prims/1195142811
[30] Stahn，R.，带恒定阻尼正方形上波动方程的最佳衰减率，Zeitschrift füR angewandte Mathematik und Physik，68，2，36（2017）·Zbl 1404.35055号 ·doi:10.1007/s00033-017-0781-0
[31] Strichartz，R.，椭圆伪微分算子的泛函微积分，美国数学杂志，94，3711-722（1972）·Zbl 0246.35082号 ·doi:10.2307/2373753
[32] Sun，C.：具有凸形阻尼的阻尼波动方程的急剧衰减率。国际数学。Res.通知，rnac022（2022）。doi:10.1093/imrn/rnac022·Zbl 1511.35041号
[33] Taylor，M.，《偏微分方程II：线性方程的定性研究》（2011），纽约：Springer，纽约·Zbl 1206.35003号 ·doi:10.1007/978-1-4419-7052-7
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。