哈杰尔·巴胡里;大卫·巴里拉里;伊莎贝·加拉赫;马蒂厄·莱奥托 四次振子的谱求和及其在恩格尔群中的应用。 （英语） Zbl 07761497号 J.规范。理论 13，第2号，623-706（2023）. 摘要：在本文中，我们研究了Engel群上的亚晶格\（-\Delta_G\）的光谱性质，这是步骤3的卡诺群的主要例子。我们发展了一种根据频率集对恩格尔群进行傅里叶分析的新方法。这使我们能够对合适的标量函数（F）给出满足（F（-\Delta_G）u=u\star k_F）的卷积核的精细估计，进而通过傅里叶技术获得经典函数嵌入的证明。这种分析要求四次振子的谱具有可加性，这是我们通过半经典技术获得的，并且是独立的。 MSC公司： 43安培80 对其他特定李群的分析 43A30型 非贝拉群和半群上的Fourier变换和Fourier-Stieltjes变换等。 53立方厘米17 亚黎曼几何 30立方厘米 一个复变量的核函数及其应用 关键词：四次振荡器;光谱分析;半经典分析;恩格尔集团;功能嵌入;亚黎曼几何;卡诺集团 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{H.Bahouri}等人，J.Spectr。理论13，第2号，623--706（2023；Zbl 07761497） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] A.Agrachev、D.Barilari和U.Boscain，《关于亚黎曼几何中的Hausdorff体积》。计算变量偏微分方程43（2012），编号3-4355-388 Zbl 1236.53030 MR 2875644·Zbl 1236.53030号 ·doi:10.1007/s00526-011-0414-y [2] A.Agrachev、D.Barilari和U.Boscain，亚黎曼几何的综合介绍。剑桥高级数学研究生。，181，剑桥大学出版社，Cam-bridge，2020 Zbl 1487.53001 MR 3971262·Zbl 1487.53001号 ·doi:10.1017/9781108677325 [3] H.Bahouri，《Littlewood-Paley理论：非线性分析中许多作品的共同线索》。欧洲数学。Soc.新闻。（2019），编号112，15-23 Zbl 1435.42012 MR 3965319·Zbl 1435.42012年4月 ·doi:10.4171/news/112/4 [4] H.Bahouri，J.-Y.Chemin和R.Danchin，海森堡群的频率空间。《傅里叶协会年鉴（格勒诺布尔）》69（2019），编号1，365-407 Zbl 1416.43005 MR 3973453·Zbl 1416.43005号 ·doi:10.5802/aif.3246 [5] H.Bahouri、J.-Y.Chemin和R.Danchin，《海森堡群分析》，准备 [6] H.Bahouri、C.Fermanian-Kammerer和I.Gallagher，海森堡群的相空间分析和伪微分学。Astérisque（2012），编号342 Zbl 1246.35003 MR 2952066·Zbl 1246.35003号 [7] H.Bahouri，C.Fermanian-Kammerer和I.Gallagher，分级李群上的精化不等式。C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎350（2012），编号7-8，393-397 Zbl 1241.22012 MR 2922090·Zbl 1241.22012年 ·doi:10.1016/j.crma.2012.04.014 [8] H.Bahouri和I.Gallagher，海森堡集团副产品及应用。Rev.Mat.Iberoamericana 17（2001），编号1，69-105 Zbl 0971.4302 MR 1846091·Zbl 0971.4302号 ·doi:10.471RMI/289 [9] H.Bahouri和I.Gallagher，海森堡群上的热核和频率局部化函数。《偏微分方程相空间分析进展》，第17-35页，Progr。非线性微分方程应用。78，Birkhäuser Boston，马萨诸塞州波士顿，2009 Zbl 1202.43005 MR 2664603·Zbl 1202.43005号 ·doi:10.1007/978-0-8176-4861-9_2 [10] H.Bahouri、P.Gerard和C.-J.Xu，Espaces de Besov et estimations de Strichartz Général-isées sur le groupe de Heisenberg.J.Ana。数学。82（2000），93-118 Zbl 0965.22010 MR 1799659·Zbl 0965.22010 ·doi:10.1007/BF02791223 [11] D.Barilari、U.Boscain和R.W.Neel，亚黎曼切位点的小时间热核渐近性。J.差异几何。92（2012），编号3，373-416 Zbl 1270.53066 MR 3005058·Zbl 1270.53066号 ·doi:10.4310/jdg/1354110195 [12] D.Barilari和J.Jendrej，旋转表面切割轨迹处的小时间热核渐近性。Ann.Inst.H.PoincaréC分析。Non Linéaire 31（2014），编号2，281-295 Zbl 1301.53035 MR 3181670·Zbl 1301.53035号 ·doi:10.1016/j.anihpc.2013.03.003 [13] I.Beschatnyi和A.Medvedev，左变次黎曼-恩格尔结构：abnor-mal测地线和可积性。SIAM J.控制优化。56（2018），编号5，3524-3537 Zbl 1407.53028 MR 3860117·兹比尔1407.53028 ·doi:10.1137/16M1106511 [14] A.Bonfiglioli、E.Lanconelli和F.Uguzzoni，分层李群及其亚拉普拉斯人的潜在理论。Springer Monogr.公司。数学。，施普林格，柏林，2007 Zbl 1128.43001 MR 2363343·Zbl 1128.43001号 ·doi:10.1007/978-3-540-71897-0 [15] U.Boskèn，Z.-P.Gauthier和F.Rossi，三步幂零李群上的亚椭圆热核。索夫雷姆。Mat.Fundam公司。拿破仑。42 (2011), 48-61; 英语翻译，J.Math。科学。（纽约）199（2014），编号6，614-628 Zbl 1309.58001 MR 3013827·Zbl 1309.58001号 ·doi:10.1007/s10958-014-1889-9 [16] A.Bravo-Doddoli和R.Montgomery，喷气空间测地学。雷古尔。混沌动力学。27（2022），编号2，151-182 Zbl 07507462 MR 4404181·Zbl 1532.53056号 ·doi:10.1134/S1560354722020034 [17] T.Bruno、M.M.Peloso、A.Tabaco和M.Vallarino，李群上的Sobolev空间：嵌入定理和代数性质。J.功能。分析。276（2019），编号10，3014-3050 Zbl 1466.46024 MR 3944287·Zbl 1466.46024号 ·doi:10.1016/j.jfa.2018.11.014 [18] D.Chamorro，改进的Sobolev不等式和分层李群上的Muckenhoupt权重。数学杂志。分析。申请。377（2011），编号2，695-709 Zbl 1218.22006 MR 2769168·Zbl 1218.22006年 ·doi:10.1016/j.jmaa.2010.11.047 [19] M.Chatzakou，Engel和Cartan群的量化。《谎言理论》31（2021），第2期，517-542 Zbl 1470.35454 MR 4225041·Zbl 1470.35454号 [20] J.-Y.Chemin和C.-J.Xu，《Sobolev en calcul de Weyl-Hörmander et champs de vecteurs sous-elliptiques》。科学年鉴。埃科尔规范。补充（4）30（1997），编号6，719-751 Zbl 0892.35161 MR 1476294·Zbl 0892.35161号 ·doi:10.1016/S0012-9593（97）89937-5 [21] M.Christ，幂零群上谱乘子的Lp界。事务处理。阿默尔。数学。Soc.328（1991），编号1，73-81 Zbl 0739.42010 MR 1104196·Zbl 0739.42010号 ·doi:10.2307/2001877 [22] Y.Colin de Verdière，L.Hillairet和E.Trélat，对角线附近亚椭圆热核的小时间渐近性，幂零化和相关结果。Ann.H.Lebesgue 4（2021），897-971 Zbl 1484.35159 MR 4315774·Zbl 1484.35159号 ·doi:10.5802/ahl.93 [23] L.J.Corwin和F.P.Greenleaf，幂零李群的表示及其应用。第一部分剑桥高级数学研究生。18，剑桥大学出版社，剑桥，1990 Zbl 0704.22007 MR 1070979·Zbl 2007年4月7日 [24] T.Coulhon和L.Saloff-Coste，Théorèmes de Sobolev pour les semi groupes d'operateurs et application aux groupes de Lie unimodularies。C.R.学院。科学。巴黎。I数学。309（1989），编号6，289-294 Zbl 0697.43003 MR 1054237·兹比尔0697.43003 ·doi:10.1016/0021-9045（91）90101-f [25] Y.C.de Verdière和C.Letrouit，准备充分的状态沿Martinet奇异测地线的传播。J.规范。理论12（2022），第3期，1235-1253 Zbl 07688014 MR 4578349·Zbl 1514.35008号 ·doi:10.4171/jst/421 [26] M.Dimassi和J.Sjöstrand，半经典极限下的谱渐近性。伦敦数学。Soc.课堂讲稿Ser。268，剑桥大学出版社，剑桥，1999·Zbl 0926.35002号 ·doi:10.1017/CBO9780511662195 [27] J.Dixmier，Sur les representations unitaires des groupes de Lie nilpotents。六、 加拿大数学杂志。12（1960），324-352 Zbl 0171.11702 MR 115098·Zbl 0171.11702号 ·doi:10.4153/CJM-1960-028-6 [28] J.Faraut，《李群分析》。剑桥高级数学研究生。110，剑桥大学出版社，剑桥，2008年，Zbl 1147.22001 MR 2426516·doi:10.1017/CBO9780511755170 [29] V.Fischer和M.Ruzhansky，分级幂零李群上的伪微分学。傅里叶分析，第107-132页，趋势数学。，Birkhäuser/Spriger，Cham，2014兹bl 1319.35316 MR 3362017 [30] V.Fischer和M.Ruzhansky，海森堡群上的伪微分学。C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎352（2014），编号3，197-204 Zbl 1287.2002 MR 3167566·Zbl 1287.22002号 ·doi:10.1016/j.cma.2013.12.06 [31] G.B.Folland，幂零李群上的次椭圆估计和函数空间。Ark.Mat.13（1975），编号2，161-207 Zbl 0312.35026 MR 494315·Zbl 0312.35026号 ·doi:10.1007/BF02386204 [32] G.B.Folland和E.M.Stein，齐群上的Hardy空间。数学笔记28，普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿。；东京大学出版社，东京，1982年，Zbl 0508.42025 MR 657581·Zbl 0508.42025号 [33] P.Gérard，《Sobolev注入竞争的描述》。ESAIM控制优化。计算变量3（1998），213-233 MR 1632171·Zbl 0907.46027号 ·doi:10.1051/cocv:1998107 [34] P.Gerard、Y.Meyer和F.Oru，《Sobolev précisees杂志》。1996-1997年，《巴黎市郊博物馆》，第四期，第11页，埃科尔理工学院。，Palaiseau，1997 MR 1482810·Zbl 1066.46501号 [35] 霍尔，李群，李代数和表示。第二版。，毕业生。数学课文。222，Springer，Cham，2015 Zbl 1316.22001 MR 3331229·Zbl 1316.22001年 ·doi:10.1007/978-3-319-13467-3 [36] W.Hebisch，李群分析导论。数学笔记本1，矩阵出版社，2008 [37] B.Helffer，条件nécessaires d’hyponaliticépour des opératers不变量a gauche homogènes sur un groupe幂零梯度。《微分方程》44（1982），第3期，460-481 Zbl 0458.35019 MR 661164·Zbl 0458.35019号 ·doi:10.1016/0022-0396（82）90008-0 [38] B.Helffer，Schrödinger算子的半经典分析及其应用。数学课堂笔记。柏林斯普林格1336号，邮编：0647.35002 MR 960278·兹比尔0647.35002 ·doi:10.1007/BFb0078115 [39] B.Helffer，重温蒙哥马利模型。集体数学。118（2010），编号2，391-400 Zbl 1207.34110 MR 2602157·兹比尔1207.34110 ·doi:10.4064/cm118-2-3 [40] B.Helffer，谱理论及其应用。剑桥高级数学研究生。139，剑桥剑桥大学出版社，2013年Zbl 1279.47002 MR 3027462 [41] B.Helffer和Y.A.Kordyukov，具有超表面磁阱的周期薛定谔算子的谱隙。《量子力学的数学结果》，第137-154页，《世界科学》。出版物。，新泽西州哈肯萨克，2008 Zbl 1156.81384 MR 2466683·Zbl 1156.81384号 ·doi:10.1142/9789812832382_0010 [42] B.Helffer和A.Mohamed，带磁阱Schrödinger算符基态能量的半经典分析。J.功能。分析。138（1996），编号1，40-81 Zbl 0851.58046 MR 1391630·Zbl 0851.58046号 ·doi:10.1006/jfan.1996.0056 [43] B.Helffer和F.Nourrigat，《下椭圆理论》，第3期。Comm.偏微分方程3（1978），编号8，643-743 Zbl 0385.35015 MR 499352·Zbl 0385.35015号 ·网址：10.1080/03605307808820075 [44] B.Helffer和D.Robert，Puits de potentel généralisés et渐近半古典。Ann.Inst.H.PoincaréPhys.公司。塞奥尔。41（1984），编号3，291-331 Zbl 0565.35082 MR 776281·Zbl 0565.35082号 [45] B.Helffer和J.Sjöstrand，半经典极限中的多个井。I.Comm.偏微分方程9（1984），编号4，337-408 Zbl 0546.35053 MR 740094·Zbl 0546.35053号 ·doi:10.1080/03605308408820335 [46] L.Hörmander，Lp空间中平移不变算子的估计。数学学报。104（1960），93-140 Zbl 0093.11402 MR 121655·Zbl 0093.11402号 ·doi:10.1007/BF02547187 [47] L.Hörmander，超椭圆二阶微分方程。数学学报。119（1967），147-171 Zbl 0156.10701 MR 222474·Zbl 0156.10701号 ·doi:10.1007/BF202392081文件 [48] L.Hörmander，线性偏微分算子的分析。第一卷格兰德伦数学。威斯。柏林斯普林格256号邮编：0521.35001 MR 0717035·Zbl 0521.35001号 ·doi:10.1007/978-3-642-96750-4 [49] A.Hulanicki，幂零李群上Rockland算子的函数演算。数学研究生。78（1984），编号3，253-266 Zbl 0595.43007 MR 782662·Zbl 0595.43007号 ·doi:10.4064/sm-78-3-253-266 [50] A.Kassymov、M.Ruzhansky、N.Tokmagambetov和B.T.Torebek、Sobolev、Hardy、Gagliardo-Nirenberg以及一些压裂衍生品的Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式。巴纳赫J.数学。分析。15（2021），编号1，货号6 Zbl 1455.26013 MR 4159773·Zbl 1455.26013号 ·doi:10.1007/s43037-020-00097-4 [51] A.A.Kirillov，Plancherel对幂零李群的测度。Funkcional公司。分析。i Priloíen。1（1967），编号4，84-85；英语翻译，功能。分析。申请1（1967），330-331 Zbl 0176.30302 MR 0224748·Zbl 0176.30302号 ·doi:10.1007/bf01076015 [52] A.A.Kirillov，轨道方法讲座。毕业生。学生数学。64，美国数学学会，普罗维登斯，RI，2004 Zbl 1229.22003 MR 2069175·Zbl 1229.22003号 ·doi:10.1090/gsm/064 [53] 拉脱维亚P.T。我和D.Robert，《我的个人问题》（Sur un probleme aux valeurs propres non léaire）。在Journées:Equations aux Dériveées Partielles（圣卡斯特，1979），第15号实验，埃科尔理工学院。，Pal-aiseau，1979年，Zbl 0413.35060 MR 544516·Zbl 0413.35060号 [54] C.Laurent和M.Léautaud，亚椭圆方程的隧道估计和近似可控性。内存。阿默尔。数学。Soc.276（2022），编号1357 Zbl 1500.35002 MR 4390285·Zbl 1500.35002号 ·doi:10.1090/memo/1357 [55] P.D.Lax，功能分析。纯应用程序。数学。（纽约），Wiley-Interscience，纽约，2002 Zbl 1009.47001 MR 1892228 [56] M.Lewin，Théorie spectrale和Mécanique quantique。数学。申请。（柏林）87，Springer，Cham，2022 Zbl 1510.81069 MR 4454766·Zbl 1510.81069号 ·doi:10.1007/978-3-030-93436-1 [57] A.Martini，李群上微分算子的交换代数的谱理论。J.功能。分析。260（2011），编号9，2767-2814 Zbl 1226.22012 MR 2772351·2012年6月22日Zbl ·doi:10.1016/j.jfa.2011.01.008 [58] A.Martini和D.Müller，关于新的两步分层群类的欧氏型谱乘子定理。程序。伦敦。数学。Soc.（3）109（2014），编号5，1229-1263 Zbl 1310.43003 MR 3283616·Zbl 1310.43003号 ·doi:10.1112/plms/pdu033 [59] A.Martini和D.Müller，两步群上的谱乘子：拓扑与同质维。地理。功能。分析。26（2016），编号2，680-702 Zbl 1366.43002 MR 3513881·Zbl 1366.43002号 ·doi:10.1007/s00039-016-0365-8 [60] A.Martini、F.Ricci和L.Tolomeo，多项式增长组上亚拉普拉斯算子的卷积核与谱乘子。J.功能。分析。277（2019），编号6，1603-1638 Zbl 1482.22014 MR 3985515·Zbl 1482.22014年 ·doi:10.1016/j.jfa.2019.05.024 [61] G.Mauceri和S.Meda，分层群上的向量值乘数。Rev.Mat.Iberoamericana 6（1990），编号3-4，141-154 Zbl 0763.4305 MR 1125759·Zbl 0763.4305号 ·doi:10.4171/RMI/100 [62] R.蒙哥马利，听到磁场的零轨迹。公共数学。物理学。168（1995），编号3，651-675 Zbl 0827.58076 MR 1328258·Zbl 0827.58076号 ·doi:10.1007/bf02101848 [63] 四次振子的谱可和性及其在恩格尔群705中的应用 [64] R.Montgomery，苏伯里曼几何、测地线及其应用之旅。数学。调查专题。91，美国数学学会，普罗维登斯，RI，2002 Zbl 1044.53022 MR 1867362·Zbl 1044.53022号 ·doi:10.1090/surv/091 [65] D.Müller，海森堡群的一个限制定理。数学年鉴。（2） 131（1990），编号3，567-587 Zbl 0731.43003 MR 1053491·Zbl 0731.43003号 ·doi:10.307/1971471 [66] X.-B.Pan和K.-H.Kwek，Schrödinger算子在有界域中具有非退化消失的磁势场。事务处理。阿默尔。数学。Soc.354（2002），编号10，4201-4227 Zbl 1004.35110 MR 1926871·Zbl 1004.35110号 ·doi:10.1090/S002-9947-02-03033-7 [67] M.Reed和B.Simon，《现代数学物理方法》。一、功能分析。纽约和伦敦学术出版社，1972年，Zbl 0242.46001 MR 0493419·Zbl 0242.46001号 [68] M.Reed和B.Simon，《现代数学物理方法》。四、 运营商分析。纽约和伦敦学术出版社，1978年，Zbl 0401.47001 MR 0493421·Zbl 0401.47001号 [69] D.Robert，《分析半古典德勒费特隧道》。Séminaire Bourbaki，第1985/86卷，实验编号665。Astérisque（1987），编号145-146，257-281 Zbl 0632.35014 MR 880037·兹比尔0632.35014 [70] L.P.Rothschild和E.M.Stein，亚椭圆微分算子和幂零群。数学学报。137（1976），编号3-4，247-320 Zbl 0346.35030 MR 436223·Zbl 0346.35030号 ·doi:10.1007/BF02392419 [71] K.Schmüdgen，希尔伯特空间上的无界自共轭算子。毕业生。数学课文。265，施普林格，多德雷赫特，2012 Zbl 1257.47001 MR 2953553·Zbl 1257.47001号 ·doi:10.1007/978-94-007-4753-1 [72] C.Séguin和A.Mansouri，幺模李群上亚椭圆Lapla-cian的热核的短时渐近性。J.功能。分析。262（2012），编号9，3891-3928 Zbl 1253.43006 MR 2899982·Zbl 1253.43006号 ·doi:10.1016/j.jfa.2012.02.004 [73] A.西科拉，在L2上！齐次群上“拟齐次”算子谱乘子的L1范数。事务处理。阿默尔。数学。Soc.351（1999），编号9，3743-3755 Zbl 0936.42009 MR 1670160·Zbl 0936.42009号 ·doi:10.1090/S0002-9947-99-0201-5 [74] B.Simon，非谐振子的耦合常数解析性。。 ·doi:10.1016/0003-4916（70）90240-X [75] 《物理学年鉴》58（1970），76-136 MR 416322 [76] E.-M.Stein，《谐波分析：实变量方法、正交性和振荡积分》。在普林斯顿大学数学系T·S·墨菲的协助下。序列号。，43，单色。哈蒙。分析。，三、 普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1993 Zbl 0821.42001 MR 1232192·兹比尔0821.42001 [77] M.E.Taylor，非交换谐波分析。数学。调查专题。22，美国数学学会，普罗维登斯，RI，1986 Zbl 0604.43001 MR 852988·Zbl 0604.43001号 ·doi:10.1090/surv/022 [78] S.Thangavelu，海森堡群的调和分析。程序。数学。159，Birkhäuser Boston，马萨诸塞州波士顿，1998 Zbl 0892.43001 MR 1633042·Zbl 0892.43001号 ·doi:10.1007/978-1-4612-1772-5 [79] F.Trèves，拓扑向量空间，分布和核。多佛出版公司，明尼苏达州，纽约州，2006 Zbl 1111.46001 MR 2296978·Zbl 1111.46001号 [80] C.Vizman，李群上喷射束的群结构。J.Lie Theory 23（2013），第3期，885-897 Zbl 1286.58001 MR 3115183·Zbl 1286.58001号 [81] M.Zworski，半经典分析。毕业生。学生数学。138，美国数学学会，普罗维登斯，RI，2012 Zbl 1252.58001 MR 2952218·doi:10.1090/gsm/138 [82] Hajer Bahouri CNRS&Sorbonne University，实验室Jacques-Louis Lions（LJLL）UMR 7598，4，Place Jussieu，75005 Paris，France；hajer.bahouri@sorbonne-universite.fr [83] 达维德·巴里拉里（Davide Barilari）帕多瓦“图利奥·列维-西维塔”大学马特马提卡研究生院，途经意大利帕多瓦Trieste 63；barilari@math.unipd.it [84] Isabelle Gallagher DMA UMR 8553，巴黎75005 rue d'Ulm 45号PSL研究型大学CNRS埃科尔·诺曼雷校区；和UFR de mathematiques，巴黎城市大学，8 Pl.Aurélie Nemours，75013 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。