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巴林德·班韦;弗朗西斯科·菲特;丹尼尔·拉夫兰

有限域上的Del-Pezzo曲面及其Frobenius迹。 （英文） Zbl 1442.14087号

数学。程序。外倾角。菲洛斯。Soc公司。 167，编号1，35-60（2019）.
设\（S\）是定义在\（q=p^{r}\）元有限域上的射影几何连通光滑有理曲面，\（mathbb{F}（F）_{q} \）。\（\mathbb）的每个有限扩展上\（S\）的有理点的个数{F}（F）_{q} ）完全由Frobenius元素的迹决定{F}（F）_{q} ）\）作用于Picard组\（\mathrm{Pic}\bar{S}\）。让我们用\（a（S）\）表示这条轨迹。Picard群上的Frobenius作用保持了正则丛和交集形式。如果（S\）是（1\leq d\leq 6\）的度为（d\）的del Pezzo曲面，经过适当的识别，我们可以认为Frobenious元素的作用是根系的Weyl群的元素（W（E_{9-d}））。在这种情况下，我们可以获得度为（d）的del Pezzo曲面的可能值的有限列表。我们用（mathcal）表示这个学位列表{答}_{d} \）。
在本文中，作者完全确定了每一个素数幂（q）和（a）{答}_{d} \）（\（d=1,2,3,4\）），是否存在度\（d\）超过\（mathbb）的del Pezzo表面\（S\）{F}（F）_{q} \）满足\（a（S）=a\）。（定理1.1、定理1.3、定理1.4和定理1.5）
对于有限域上的Del-Pezzo曲面，设（C（S）是（W（E_{9-d}））中Frobenius元的共轭类。那么，（C（S））比（S）的（a（S）更精细。我们用\（\mathcal表示{宋体}_{d} （\mathbb{F}（F）_{q} （mathbb）上度为\（d\）的del Pezzo曲面的同构类集{F}（F）_{q} \）。假设\（C\）是\（W（E_{9-d}）\）的共轭类。作者证明了以下几点。
定理1.7。对于\（d\leq 6\），我们有\[\lim_{q\to\infty}\frac{sum_{S\in\mathcal{宋体}_{d} （\mathbb{F}（F）_{q} ），C（S）=C}\frac{1}{AutS}}{sum_{S\in\mathcal{宋体}_{d} （\mathbb{F}（F）_{q} ）}\压裂{1}{AutS}}=\压裂{|C|}{|W（E_{9-d}）|}。\]
定理1.9。对于\（d\leq 3\），我们有\[\lim_{q\to\infty}\frac{|\{S\in\mathcal｛S｝_{d} （\mathbb{F}（F）_{q} ），C（S）=C\｝|｝｛|\mathcal｛S｝_{d} （\mathbb{F}（F）_{q} ）|}=\压裂{|C|}{|W（E_{9-d}）|}。\]特别地，对于一个足够大的（q），每一个（W（E_{9-d}）的共轭类都可以实现为（mathbb）上度为（d）的del Pezzo曲面的Frobenius元的共轭类{F}（F）_{q} \）。（推论1.8.）
审核人：Junmyeong Jang（蔚山）

引用于10文件

MSC公司：

14国集团15 代数几何中的有限地面场
2014年6月26日 有理曲面和直纹曲面

关键词：

Del Pezzo表面;有限域;弗罗贝尼乌斯行动

软件：

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\textit{B.Banwait}等人，数学。程序。外倾角。菲洛斯。Soc.167，No.1，35--60（2019；Zbl 1442.14087）
全文： 内政部 arXiv公司

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