彼得·阿尔伯斯;姜俊秀 负线性束的Rabinowitz-Floer同源性和Floer-Gysin序列。 （英语） Zbl 1530.57028号 高级数学。 431，文章ID 109252130 p.（2023）. 作者构造了一个新版本的Rabinowitz-Floer同调，用于零绕组数生成元上的闭辛流形上的负复线束{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma_\tau））。它们证明了\（\text）有一个Floer Gysin序列{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，Sigma_\tau）），他们给出了接触流形的可序性问题的应用，并计算了{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma_\tau）\）显式地表示复射影空间上的负复线丛。他们还导出了完全Rabinowitz-Floer同调的短精确序列，即不受缠绕数的限制，并且在某些情况下计算了完全Rabinowitz-Flor同调。设（wp:E\rightarrow M）是一个闭的、连通的辛流形（（M，\omega））上的负复线丛，具有积分辛形式和第一Chern类（c_1^E=-M[\omega]\），其中（M\in\mathbb{N}\）。选取（E）上的厄米度量，并让（r）作为径向坐标，作者定义了圆子丛\[\Sigma_\tau:=\{e\在e\mid m\pi r^2（e）=\tau\}中，\quad\tau>0，\]当\（\τ\）的大小不相关时，它们用\（\ Sigma \）表示圆束。他们在\（\Sigma\）上选择一个连接1形式\（\alpha\），这样\（\wp^\ast（m\omega）=d\alpha\，其中\。1形式\（\alpha\）是\（\Sigma\）上的一种联系形式，它自然延伸到\（E\backslash\mathcal{O} _E（_E）\)，其中\（\mathcal{O} _E（_E）\)是\（\wp:E\rightarrow M\）的零zection。复线束的总空间\（E\）具有非精确辛形式\（\Omega=\wp^\ast\Omega+d（\pi r^2\alpha）\）。本文主要关注的是（E，Sigma_\tau）的Rabinowitz-Floer同源性的改进版本，该同源性是使用[U.弗劳恩费尔德，国际数学。Res.不。2004年，第42、2179–2269号（2004年；Zbl 1088.53058号)]涉及绕组编号。更具体地说，它们定义了\（\text｛射频｝_\ast^{\mathfrak{m} 0}（E，\Sigma_\tau）\），通过限制为在\（\Sigma _\tau\）上周期Reeb轨道的生成器，以及不相交的盖帽圆盘同伦类\（\mathcal{O} _E（_E）\)即绕组号为零的绕组。假设涉及切丛（T_ast M）的第一个Chern类（c_1^{TM}）的各种条件，一个实数（lambda），使得（pi_2（M））上的（c_1_{TM}=lambda\omega）和一个数（mathbb中的nu{Z}（Z）_+\)因此，用（A1）、（A2）和（A3）表示的（ω（\pi_2（M））=nu\mathbb{Z}），作者证明了以下定理。假设（A1）意味着Novikov环（Lambda）同构于（mathbb{Z}），假设（A2）和（A3）意味着（Lambda\）是Laurent多项式环（mathbb{Z}[t，t^{-1}]\）。 定理1.1。假设\（（M，\omega）\）满足条件（A1）或（A2）。（a）零缠绕数的Rabinowitz-Floer同调\[\文本{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma_\tau），\quad\ast\in\mathbb{Z}\]是定义的，并且在\（\tau>0\）的变化下是不变的。此外，它还允许迭代生成器给出的（Lambda）-模块结构，详细信息请参见备注7.6。（b）（Lambda）-模存在一个长的精确序列，即Floer-Gysin序列\[\cdots\rightarrow\text（右箭头）{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma）向右箭头\text{跳频}_\ast（M）\stackrel{\Psi^{c_1^E}}{\longrightarrow}\text{跳频}_{\ast-2}（M）\rightarrow\text{RFH}_{\ast-1}^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma）\右箭头\cdots\]其中，映射\（\Psi^{c_1^E}\）是带有\（-c_1^E\）的Floer-cap乘积。此外，这与行动过滤有关，详见7.5号提案。（c）在（A1）或（A2）与\（lambda\ nu\leq-\ frac{1}{2}\text{dim}M\）的情况下，我们有一个\（lambda\）-模同构\[\文本{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} 0}（E，\Sigma）\cong H_｛\ast+\frac｛\text｛dim｝M｝｛2｝｝｝（\Sigma；\Lambda），\]（b）中的Floer Gysin序列恢复了束（Sigma\rightarrow M）的经典Gysin顺序，系数为（Lambda）。（d）在本部分中，我们使用符号\（（E^m，\Sigma^m）\）来表示\（E^m\）和\（\Sigma^m\）的度\（m\），即\（c_1^｛E^m｝=-m[\omega]\）。存在自然迁移和投影同态\[T： \text（文本）{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E^m，\Sigma^m）\rightarrow\text{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E^1，\Sigma^1），\]\[P： \text（文本）{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E^1，\Sigma^1）\rightarrow\text{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E^m，\Sigma^m）\]这样，组成\（P\circ T\）和\（T\ circ P\）都与标量乘法\（m\）一致。（e）在本部分中，我们假设（A1）或（A3）。让\（\text{续}_0（\Sigma，\xi）是（（\Simma，\xi=\text{ker}\alpha）上的接触同态群的单位元，并让（\widetilde{\text{Cont}}_0（\Sigram，\xi））是它的普适覆盖。然后同源性\（\text{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma，\{\varphi_t\}）{续}_0定义了带有（\varphi_0=\text{id}）的（\Sigma，\xi），并且存在一个\（\mathbb{Z}\）-模同构\[\文本{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma，\｛\varphi_t\｝）\cong\text｛射频｝_\ast^{\mathfrak{m} 0}（E，\西格玛）\]此外，如果\（\text{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma）\neq 0），则\（\widetilde{\text{Cont}}_0（\Sigma-，\xi）\）在意义上是可排序的[Y.Eliashberg先生和波特罗维奇，几何。功能。分析。10，第6期，1448–1476（2000年；Zbl 0986.53036号)]和每个\（\varphi\in\text{续}_0（\Sigma，\xi）\）相对于\（\alpha\）有一个转换点[S.桑德《国际数学杂志》。23，第2号，文章ID 1250042，14 p.（2012；Zbl 1243.53131号)].在这个定理的（e）部分中，[30]指的是[Y.Eliashberg先生和波特罗维奇，几何。功能。分析。10，第6期，1448–1476（2000年；Zbl 0986.53036号)][53]指的是[S.桑德《国际数学杂志》。23，第2号，文章ID 1250042，14 p.（2012；Zbl 1243.53131号)]. （e）部分的证明使用了[P.阿尔伯斯和W.J.梅里，J.辛几何。第16期，第6期，1481–1547（2019年；Zbl 1423.53106号)].作者使用他们的结果计算｛射频｝_\上一篇{m} _0（0）}（E，\ Sigma）\）当\（E\）是线丛\（\mathcal{O}（O）_{mathbb{CP}^n}（-m）\rightarrow\mathbb}CP}^n），使用Fubini-Study形式\（\omega_{text{FS}}\）on \（\mathbb{CP}^n）进行规范化，使\（\omega_{text}FS}}）在复线上的积分为1。在这种情况下，（Sigma）与透镜空间（L（m，1））不同。作者还研究了完整的Rabinowitz-Floer同源性{RFH}_\ast（E，\Sigma_\tau）），其中绕组编号不受限制。他们证明了Floer Gysin序列的模拟，表明它分裂成一个短的精确序列，并计算出{RFH}_\ast（\mathcal{O}（O）_{\mathbb{CP}^n}（-m），\Sigma_\tau））。审核人：David E.Hurtubise（阿尔图纳） MSC公司： 57兰特 弗洛尔同源性 53D40型 Floer同调和上同调的辛方面 关键词：Rabinowitz-Floer同源;负极线束;Floer Gysin精确序列 引文：Zbl 1088.53058号;Zbl 0986.53036号;Zbl 1243.53131号;Zbl 1423.53106号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.Albers}和\textit{J.Kang}，高级数学。431，文章ID 109252130 p.（2023；Zbl 1530.57028） 全文： DOI程序 arXiv公司 参考文献： [1] Abouzaid，M.，辛上同调和维特博定理，（《几何和拓扑中的自由循环空间》，《几何和拓扑学中的自由环空间》，IRMA Lect.Math.Theor.Phys.，第24卷（2015年），《欧洲数学》。Soc.：欧洲数学。苏黎世），271-485·Zbl 1385.53078号 [2] 阿尔伯斯，P。；弗劳恩费尔德，美国，《叶状交集和拉比诺维茨-弗洛尔同源性》，J.托波尔。分析。，2, 1, 77-98 (2010) ·Zbl 1196.53050号 [3] 阿尔伯斯，P。；美国弗劳恩费尔德，Givental非线性Maslov指数的变分方法，Geom。功能。分析。，22, 5, 1033-1050 (2012) ·兹比尔1276.53090 [4] 阿尔伯斯，P。；Frauenfeld，U.，Bubbles and onis，J.不动点理论应用。，19, 1, 85-112 (2016) ·Zbl 1417.37186号 [5] 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