彼得·本纳;马丁·科勒;Jens Saak公司 矩阵方程，稀疏解算器：M-M.E.S.S公司。-2.0.1–（参数）模型降阶的原理、特点和应用。 （英语） Zbl 1480.93048号 Benner，Peter（编辑）等人，《复杂动力系统的模型简化》。2019年8月28日至30日，奥地利格拉茨格拉茨大学，根据研讨会上的陈述选择论文。查姆：Birkhäuser。ISNM，国际期刊。数字。数学。171, 369-392 (2021). 摘要：矩阵方程在（数值）线性代数和系统理论中无所不在。特别是在模型降阶（MOR）中，它们在许多基于平衡的线性动力系统降阶方法中发挥着关键作用。当这些系统由演化偏微分方程的空间离散化产生时，其系数矩阵通常较大且稀疏。此外，这些系统的输入和输出数量通常远小于空间自由度的数量。然后，在许多情况下，相应的大规模矩阵方程的解被观察到具有低（数值）秩。此功能被利用M-M.E.S.S公司。找到逼近解的连续较大的低阶分解。本文描述了实现背后的基本原理和包的特性，以及它在大规模线性时不变（LTI）系统和参数LTI系统的MOR中的应用。关于整个系列，请参见[1470.93005赞比亚比索]. 引用于4文件 MSC公司： 93B11号机组 系统结构简化 93B25型 代数方法 93二氧化碳 控制理论中的线性系统 93-04 系统和控制理论相关问题的软件、源代码等 软件：切布冯;Morembs公司;皮莫尔;sssMOR公司;MESS公司;莫尔帕克;莫拉布;收音机 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.Benner}等人，ISNM，国际期刊。数字。数学。171369--392（2021年；Zbl 1480.93048） 全文： DOI程序 arXiv公司 参考文献： [1] Jbilou，K.，Messaoudi，A.：对称Stein矩阵方程的计算方法。作者：Van Dooren，P.、Bhattacharyya，S.P.、Chan，R.H.、Olshevsky，V.、Routray，A.（编辑）《信号、系统和控制中的数值线性代数》。电气工程课堂讲稿，第80卷。施普林格，纽约（2011）。https://doi.org/10.1007/978-94-007-0602-6_14 ·Zbl 1251.65059号 [2] Driscoll，T.A.，Hale，N.，Trefethen，法律公告：Chebfun Guide。Pafnoty出版物（2014）。http://www.chebfun.org/docs/guide/ [3] Benner，P.，Goyal，P.：二次双线性系统的平衡截断模型降阶（2017）。arXiv预打印arXiv:1705.00160[math.OC] [4] Amsallem，D.，Farhat，C.：一种在线插值线性参数降阶模型的方法。SIAM J.科学。计算。33(5), 2169-2198 (2011). https://doi.org/10.1137/100813051 ·Zbl 1269.65059号 ·数字对象标识代码：10.1137/100813051 [5] Antoulas，A.C.：《大尺度动力系统近似》，《设计与控制进展》，第6卷。SIAM出版物，费城（2005）。https://doi.org/10.1137/1.9780898718713 ·兹比尔1112.93002 [6] Batten King，B.，Hovakimyan，N.，Evans，K.A.，Buhl，M.：分布参数系统的降阶控制器：LQG平衡截断和自适应方法。数学。计算。模型。43(9), 1136-1149 (2006). https://doi.org/10.1016/j.mcm.2005.05.031 ·Zbl 1136.93344号 ·doi:10.1016/j.mcm.2005.05.031 [7] Baur，U.、Beattie，C.A.、Benner，P.、Gugercin，S.：参数化模型简化的插值投影方法。SIAM J.科学。计算。33(5), 2489-2518 (2011). https://doi.org/10.1137/090776925 ·Zbl 1254.93032号 ·doi:10.1137/090776925 [8] 本迪克森，I.：《基本种族主义》。数学学报。25(1), 359-365 (1902). https://doi.org/10.1007/BF02419030 ·doi:10.1007/BF02419030 [9] Benner，P.，Bujanović，Z.，Kürschner，P，Saak，J.：RADI：大规模代数Riccati方程的低阶ADI型算法。数字。数学。138(2), 301-330 (2018). https://doi.org/10.1007/s00211-017-0907-5 ·Zbl 1385.65035号 ·文件编号：10.1007/s00211-017-0907-5 [10] Benner，P.，Grundel，S.，Hornung，N.：使用径向基函数的小误差参数模型降阶。高级计算。数学。41(5), 1231-1253 (2015). https://doi.org/10.1007/s10444-015-9410-7 ·Zbl 1348.65096号 ·doi:10.1007/s10444-015-9410-7 [11] Benner，P.，Gugercin，S.，Willcox，K.：参数系统模型简化方法综述。SIAM版本57（4），483-531（2015）。https://doi.org/10.1137/130932715 ·Zbl 1339.37089号 ·doi:10.1137/130932715 [12] Benner，P.，Heiland，J.：用于稳定层流的LQG-平衡截断低阶控制器。In：King，R.（编辑）《主动流量和燃烧控制》，2014年。《数值流体力学和多学科设计注释》，第127卷，第365-379页。施普林格国际出版公司（2015）。https://doi.org/10.1007/978-3-319-11967-0_22 ·Zbl 1308.76105号 [13] Benner，P.，Kürschner，P.:使用因子ADI方法计算Sylvester方程的实际低阶解。计算。数学。申请。67(9), 1656-1672 (2014). https://doi.org/10.1016/j.camwa/2014.03.004 ·Zbl 1364.65093号 ·doi:10.1016/j.camwa.2014.03.004 [14] Benner，P.，Kürschner，P，Saak，J.：大型非对称代数Riccati方程的低秩Newton-ADI方法。J.弗兰克尔。第353（5）号指令，1147-1167（2016）。https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2015.04.016 ·Zbl 1336.93056号 ·doi:10.1016/j.jfranklin.2015.04.016 [15] Benner，P.，Li，J.R.，Penzl，T.：大规模Lyapunov方程、Riccati方程和线性二次型最优控制问题的数值解。数字。线性代数。申请。15(9), 755-777 (2008). https://doi.org/10.1002/nla.622 ·Zbl 1212.65245号 ·doi:10.1002/nla.622 [16] Benner，P.，Saak，J.：钢型材优化冷却的半离散化传热模型。In：Benner，P.，Mehrmann，V.，Sorensen，D.（编辑）《大尺度系统的降维》。计算科学与工程讲义，第45卷，第353-356页。施普林格，柏林/海德堡（2005）。https://doi.org/10.1007/3-540-27909-1_19 ·兹比尔1170.80341 [17] Benner，P.、Saak，J.、Schieweck，F.、Skrzypacz，P.和Weichelt，香港：用于Stokes方程反馈镇定的非协调复合四边形有限元对。J.数字。数学。22(3), 191-220 (2014). https://doi.org/10.1515/jnma-2014-0009 ·Zbl 1303.65095号 ·doi:10.1515/jnma-2014-0009 [18] Benner，P.，Werner，S.W.R.：MORLAB-订单减少模型实验室（2020年）。arXiv预印本arXiv:2002.12682[Cs.MS]。https://doi.org/10.1007/978-3-030-72983-7_19 [19] Breiten，T.：大型动力系统模型简化的插值方法。德国马格德堡Otto-von-Guericke大学数学系论文（2013年）。https://doi.org/10.25673/3917 ·Zbl 1283.93003号 [20] Castagnotto，A.、Cruz Varona，M.、Jeschek，L.、Lohmann，B.：sss和sssMOR：在MATLAB中分析和简化大规模动态系统。at-Automatisierungstechnik 65（2），134-150（2017）。https://doi.org/10.1515/auto-2016-0137 [21] Fehr，J.、Grunert，D.、Holzwarth，P.、Fröhlich，B.、Walker，N.、Eberhard，P.：Morembs——弹性多体系统及其以外的模型降阶软件包。摘自：《模拟和优化的降阶建模（ROM）：强大的算法是科学计算的关键促成因素》，第141-166页。Springer International Publishing，Cham（2018）。https://doi.org/10.1007/978-3-319-75319-5_7 ·Zbl 1433.74004号 [22] Freitas，F.、Rommes，J.、Martins，N.：应用于大型稀疏电力系统描述符模型的基于Gramian的约简方法。IEEE传输。电力系统。23(3), 1258-1270 (2008). https://doi.org/10.109/TPWRS.2008.926693 ·doi:10.1109/TPWRS.2008.926693 [23] Geuß，M.，Butnaru，D.，Peherstorfer，B.，Bungartz，H.，Lohmann，B.：多维参数空间矩阵流形上基于稀疏网格插值的参数模型降阶。摘自：《欧洲控制会议记录》，法国斯特拉斯堡，第2727-2732页（2014年）。https://doi.org/10.109/ECC.2014.6862414 [24] Geuß，M.，Panzer，H.，Wirtz，A.，Lohmann，B.：通过矩阵插值降低参数模型阶数的一般框架。In:参数化系统模型简化研讨会II（MoRePaS II）（2012年） [25] Golub，G.H.，Van Loan，C.F.：《矩阵计算》，第4版。约翰·霍普金斯数学科学研究。约翰·霍普金斯大学出版社，巴尔的摩（2013）·Zbl 1268.65037号 [26] Gugercin，S.、Antoulas，A.C.、Beattie，C.:\（\cal）{H} _2\)大型线性动力系统的模型降阶。SIAM J.矩阵分析。申请。30(2), 609-638 (2008). https://doi.org/10.1137/060666123 ·Zbl 1159.93318号 ·doi:10.1137/060666123 [27] Gugercin，S.，Li，J.R.：大型系统平衡截断的Smith型方法。In：Benner，P.，Mehrmann，V.，Sorensen，D.（编辑）《大规模系统的降维》。计算科学与工程讲义，第45卷，第49-82页。施普林格，柏林/海德堡（2005）·Zbl 1215.93026号 [28] Heinkenschloss，M.，Sorensen，D.C.，Sun，K.：一类广义系统的平衡截断模型简化及其在Oseen方程中的应用。SIAM J.科学。计算。30(2), 1038-1063 (2008). https://doi.org/10.1137/070681910 ·Zbl 1216.76015号 ·doi:10.1137/070681910 [29] Himpe，C.：比较（基于经验的-Gramian）模型降阶算法（2020年）。arXiv预打印arXiv:2002.12226[math.OC]。https://doi.org/10.1007/978-3-030-72983-7_7 [30] Kleinman，D.L.：关于Riccati方程计算的迭代技术。IEEE传输。自动。控制13（1），114-115（1968）。https://doi.org/10.109/TAC.1968.1098829 ·doi:10.1109/TAC.1968.1098829 [31] Kürschner，P.：大规模矩阵方程的有效低阶解。德国马格德堡Otto-von-Guericke-Universityät大学论文（2016）。http://hdl.handle.net/11858/00-001M-0000-0029-CE18-2。Shaker Verlag，ISBN 978-3-8440-4385-3 [32] Lang，N.：大型线性时变控制系统和相关微分矩阵方程的数值方法。德国Chemnitz理工大学论文（2017年）。https://www.logos-verag.de/cgi-bin/buch/isbn/4700。Logos-Verlag，柏林，ISBN 978-3-8325-4700-4 [33] Lanzon，A.，Feng，Y.，Anderson，B.D.O.：求解带有不定二次项的代数Riccati方程的迭代算法。摘自：2007年欧洲控制会议（ECC），第3033-3039页（2007年）。https://doi.org/10.23919/ecc.2007.7068239 [34] Laub，A.J.，Heath，M.T.，Paige，C.C.，Ward，R.C.：系统平衡变换的计算和同时对角化算法的其他应用。IEEE传输。自动。控制32（2），115-122（1987）。https://doi.org/10.109/TAC.1987.1104549 ·Zbl 0624.93025号 ·doi:10.1109/TAC.1987.1104549 [35] Li，T.，Weng，P.C.Y.，Chu，E.K.w.，Lin，w.w.：大尺度Stein和Lyapunov方程，Smith方法和应用。数字。算法63（4），727-752（2013）。https://doi.org/10.1007/s11075-012-9650-2 ·Zbl 1271.65079号 [36] Lin，Y.，Simoncini，V.：代数Riccati方程的一种新的子空间迭代方法。数字。线性代数。申请。22(1), 26-47 (2015). https://doi.org/10.1002/nla.1936 ·Zbl 1363.65076号 ·doi:10.1002/nla.1936 [37] Möckel，J.，Reis，T.，Stykel，T.：微分代数系统模型简化的线性-二次高斯平衡。《国际期刊控制》84（10），1627-1643（2011）。https://doi.org/10.1080/00207179.2011.622791 ·Zbl 1236.93036号 ·doi:10.1080/00207179.2011.622791 [38] 摩尔，B.C.：线性系统的主成分分析：可控性、可观测性和模型简化。IEEE传输。自动。控制AC-26（1），17-32（1981）。https://doi.org/10.109/TAC.1981.1102568 ·Zbl 0464.93022号 [39] MORPACK（模型订单缩减包）。https://tu-dresden.de/ing/maschinenwesen/ifkm/dmt/forschung/projekte/morpack网站 [40] Mustafa，D.，Glover，K.：控制器减少\（\cal{高}_\infty \）-平衡截断。IEEE传输。自动。控制36（6），668-682（1991）。https://doi.org/10.1109/9.86941 ·数字对象标识代码：10.1109/9.86941 [41] Oberwolfach基准收集：钢型材。托管于MORwiki-模型订单缩减Wiki（2005）。http://modelreduction.org/index.php/Steel_Profile（http://modelreduction.org/index.php/Steel_Profile） [42] Panzer，H.，Mohring，J.，Eid，R.，Lohmann，B.：通过矩阵插值降低参数模型阶数。at-Automatisierungstechnik 58（8），475-484（2010） [43] Penzl，T.：大型稀疏Lyapunov方程的循环低秩Smith方法。SIAM J.科学。计算。21(4), 1401-1418 (2000). https://doi.org/10.1137/S1064827598347666 ·Zbl 0958.65052号 ·doi:10.1137/S1064827598347666 [44] Penzl，T.：Lyapunov方程解的特征值衰减界：对称情况。系统。控制信函。40, 139-144 (2000). https://doi.org/10.1016/S0167-6911(00)00010-4 ·兹比尔0977.93034 ·doi:10.1016/S0167-6911（00）00010-4 [45] Penzl，T.：Lyapack用户指南。技术报告SFB393/00-33，Sonderforschungsbereich 393，Numerische Simulation auf massiv parallelen Rechnern，TU Chemnitz，09107 Chemnitz.，Germany（2000）。可在http://www.tu-chemnitz.de/sfb393/sfb00pr.html [46] Poloni，F.，Reis，T.：大规模Lur’e方程的通货紧缩方法。SIAM J.矩阵分析。申请。33(4), 1339-1368 (2012). https://doi.org/10.1137/120861679 ·Zbl 1263.15015号 ·数字对象标识代码：10.1137/120861679 [47] Pontes Duff，I.，Kürschner，P.：离散时间系统有限时间平衡截断的数值计算和新的输出界。线性代数应用。623, 367-397. https://doi.org/10.1016/j.laa.2020.09.029 (2019). arXiv预打印arXiv:1902.01652[math.NA]·Zbl 1469.93010号 [48] Reis，T.，Stykel，T.：二阶系统的平衡截断模型简化。数学。计算。模型。动态。系统。14(5), 391-406 (2008). https://doi.org/10.1080/13873950701844170 ·Zbl 1151.93010号 ·doi:10.1080/13873950701844170 [49] Simoncini，V.，Druskin，V.：大型Lyapunov方程数值解投影方法的收敛性分析。SIAM J.数字。分析。47(2), 828-843 (2009). https://doi.org/10.1137/070699378 ·Zbl 1195.65058号 ·数字对象标识代码：10.1137/070699378 [50] Simoncini，V.，Szyld，D.B.，Monsalve，M.：关于求解大规模代数Riccati方程的两种数值方法。IMA J.数字。分析。34(3), 904-920 (2014). https://doi.org/10.1093/imanum/drt015 ·Zbl 1298.65083号 ·doi:10.1093/imanum/drt015 [51] Stillfjord，T.：大型微分Riccati方程的低阶二阶分裂。IEEE传输。自动。控制60（10），2791-2796（2015）。https://doi.org/10.1109/TAC.2015.2398889 ·Zbl 1360.65192号 ·doi:10.1109/TAC.2015.2398889 [52] Stillfjord，T.：大规模微分Riccati方程的自适应高阶分裂方案。数字。算法78，1129-1151（2018）。https://doi.org/10.1007/s11075-017-0416-8 ·Zbl 1404.65060号 ·doi:10.1007/s11075-017-0416-8 [53] Truhar，N.，Veselić，K.：使用Lyapunov方程估算线性振动系统最优阻尼器粘度的有效方法。SIAM J.矩阵分析。申请。31(1), 18-39 (2009). https://doi.org/10.1137/070683052 ·Zbl 1303.70021号 ·doi:10.1137/070683052 [54] Uddin，M.M.：大型稀疏结构描述符系统模型简化的计算方法。德国马格德堡Otto-von-Guericke大学数学系毕业论文（2015年）。http://nbn-resolution.de/urn:nbn:de:gbv:ma9:1-6535 [55] Yue，Y.，Feng，L.，Benner，P.：插值降阶模型的自适应极点匹配方法（2019）。arXiv预打印arXiv:1908.00820[数学 [56] Uddin，M.M.：大尺度动力系统近似的计算方法。CRC出版社，博卡拉顿（2019）。https://doi.org/10.10201/9781351028622 ·Zbl 1416.65005号 [57] Weichelt，香港：通过Riccati反馈稳定流动的数值方面。德国马格德堡Otto-von-Guericke-Universityät大学论文（2016）。http://nbn-resolution.de/urn:nbn:de:gbv:ma9:1-8693 [58] Tombs，M.S.，Postlethwaite，I.：稳定非最小状态空间系统的截断平衡实现。《国际期刊控制》46（4），1319-1330（1987）。https://doi.org/10.1080/00207178708933971 ·Zbl 0642.93015号 ·网址：10.1080/00207178708933971 [59] Rave，S.，Saak，J.：用于参数模型降阶的非平稳热块基准模型（2020）。arXiv预打印arXiv:2003.00846[math.NA]。https://doi.org/10.1007/978-3-030-72983-7_16 [60] Mlinarić，P.，Rave，S.，Saak，J.：使用pyMOR的参数模型降阶（2020）。arXiv预印arXiv:2003.05825[Cs.MS]。https://doi.org/10.1007/978-3-030-72983-7_17 [61] Chebfun开发人员：Chebfun-带函数的数值计算。https://www.chebfun.org/ [62] Baur，U.，Benner，P.：模型简化für parametrisierte Systeme durch balancirtes Abschneiden und Interpolation（使用平衡截断和插值对参数系统进行模型简化）。at-Automatisierungstechnik 57（8），411-420（2009）。https://doi.org/10.1524/auto.2009.0787 [63] Benner，P.，Saak，J.，Uddin，M.M.：结构化索引-2不稳定描述符系统的基于平衡的模型约简及其在流量控制中的应用。数字。阿尔盖布。控制优化。6(1), 1-20 (2016). https://doi.org/10.3934/naco.2016.6.1 ·Zbl 1330.93084号 ·doi:10.3934/naco.2016年6月1日 [64] Saak，J.：PDE控制和模型降阶中大规模代数矩阵方程的高效数值解。德国Chemnitz技术大学论文（2009年）。http://nbn-resolution.de/urn:nbn:de:bsz:ch1-200901642 [65] Saak，J.，Köhler，M.，Benner，P.：M-M.E.S.S.——矩阵方程稀疏解算器库。https://doi.org/10.5281/zenodo.632897。另请参见：https://www.mpi-magdeburg.mpg.de/projects/mess [66] Saak，J.，Voigt，M.：2018年2月21日至23日，奥地利维也纳，M-M.E.S.S.IFAC-PapersOnLine第九届维也纳国际数学建模会议MATHMOD 2018中约束机械系统的模型简化51（2），661-666（2018）。https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2018.03.112 [67] Schmidt，M.：输入/输出映射的系统离散化以及对分布参数系统控制的其他贡献。柏林技术大学博士论文（2007年）。https://doi.org/10.14279/deposionce-1600 [68] Shank，S.D.，Simoncini，V.，Szyld，D.B.：广义Lyapunov方程的有效低阶解。数字。数学。134, 327-342 (2016). https://doi.org/10.1007/s00211-015-0777-7 ·Zbl 1348.65078号 ·doi:10.1007/s00211-015-0777-7 [69] Simoncini，V.：求解大规模Lyapunov矩阵方程的新迭代方法。SIAM J.科学。计算。29(3), 1268-1288 (2007). https://doi.org/10.1137/06066120X ·Zbl 1146.65038号 ·doi:10.1137/06066120X文件 [70] Simoncini，V.：大型代数Riccati方程的有理Krylov子空间投影方法的分析。SIAM J.矩阵分析。申请。37(4), 1655-1674 (2016). https://doi.org/10.1137/16M1059382 ·Zbl 06655499号 ·doi:10.1137/16M1059382 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。